Sebuah kubus ABCD ⋅ EFGH memiliki panjang rusuk 8 cm . Tentukan jarak AH dan DF .

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah 3 4 ​ 6 ​ cm. Perhatikan gambar kubus ABCD ⋅ EFGH berikut. Titik-titik pada garis AH dan DF yaitu A ( 8 , 0 , 0 ) , H ( 0 , 0 , 8 ) , D ( 0 , 0 , 0 ) dan F ( 8 , 8 , 8 ) , dimana a adalah vektor posisi titik A , h adalah vektor posisi titik H , d adalah vektor posisi titik D , dan f ​ adalah vektor posisi titik F . Vektor kedua garis yaitu : AH ⇀ ​ = = = = ​ h − a ⎝ ⎛ ​ 0 0 8 ​ ⎠ ⎞ ​ − ⎝ ⎛ ​ 8 0 0 ​ ⎠ ⎞ ​ ⎝ ⎛ ​ 0 − 8 0 − 0 8 − 0 ​ ⎠ ⎞ ​ ⎝ ⎛ ​ − 8 0 8 ​ ⎠ ⎞ ​ ​ DF ⇀ ​ = = = ​ f ​ − d ⎝ ⎛ ​ 8 8 8 ​ ⎠ ⎞ ​ − ⎝ ⎛ ​ 0 0 0 ​ ⎠ ⎞ ​ ⎝ ⎛ ​ 8 8 8 ​ ⎠ ⎞ ​ ​ Misalkan vektor normal kedua garis adalah u , maka diperoleh : u ​ = = = = = = = = ​ AH ⇀ × DF ⇀ ⎝ ⎛ ​ − 8 0 8 ​ ⎠ ⎞ ​ × ⎝ ⎛ ​ 8 8 8 ​ ⎠ ⎞ ​ ∣ ∣ ​ i − 8 8 ​ j 0 8 ​ k 8 8 ​ ∣ ∣ ​ ∣ ∣ ​ 0 8 ​ 8 8 ​ ∣ ∣ ​ i − ∣ ∣ ​ − 8 8 ​ 8 8 ​ ∣ ∣ ​ j + ∣ ∣ ​ − 8 8 ​ 0 8 ​ ∣ ∣ ​ k ( ( 0 × 8 ) − ( 8 × 8 ) ) i − ( ( − 8 × 8 ) − ( 8 × 8 ) ) + ( ( − 8 × 8 ) − ( 0 × 8 ) ) k ( 0 − 64 ) i − ( − 64 − 64 ) j + ( − 64 − 0 ) k − 64 i + 128 j − 64 k ⎝ ⎛ ​ − 64 128 − 64 ​ ⎠ ⎞ ​ ​ Maka panjang u diperoleh dengan rumus menentukan panjang vektor pada tiga dimensi, yaitu : ∣ ∣ ​ u ∣ ∣ ​ ​ = = = = = = ​ x 2 + y 2 + z 2 ​ ( − 64 ) 2 + 12 8 2 + ( − 64 ) 2 ​ 4.096 + 16.384 + 4.096 ​ 24.576 ​ 4.096 × 6 ​ 64 6 ​ ​ Misalkan dipilih salah satu vektor yang menghubungkan AH dan DF yaitu FH ⇀ . FH ⇀ ​ = = = = ​ h − f ​ ⎝ ⎛ ​ 0 0 8 ​ ⎠ ⎞ ​ − ⎝ ⎛ ​ 8 8 8 ​ ⎠ ⎞ ​ ⎝ ⎛ ​ 0 − 8 0 − 8 8 − 8 ​ ⎠ ⎞ ​ ⎝ ⎛ ​ − 8 − 8 0 ​ ⎠ ⎞ ​ ​ d adalah panjang proyeksi FH ⇀ ke u , diperoleh : d ​ = = = = = = = = = ​ ∣ ∣ ​ ∣ u ∣ FH ⇀ ∙ u ​ ∣ ∣ ​ ∣ ∣ ​ 64 6 ​ ( − 8 − 8 0 ​ ) ( − 64 128 − 64 ​ ) ​ ∣ ∣ ​ ∣ ∣ ​ 64 6 ​ ( ( − 8 ) × ( − 64 ) ) + ( ( − 8 ) × 128 ) + ( 0 × ( − 64 ) ) ​ ∣ ∣ ​ ∣ ∣ ​ 64 6 ​ 512 − 1.024 ​ ∣ ∣ ​ ∣ ∣ ​ 64 6 ​ − 512 ​ ∣ ∣ ​ 64 6 ​ 512 ​ 6 ​ 8 ​ × 6 ​ 6 ​ ​ 6 8 ​ 6 ​ 3 4 ​ 6 ​ ​ Dengan demikian, jarak AH dan DF adalah 3 4 ​ 6 ​ cm.