Diketahui sinα=53​ dan cosβ=1312​ dengan αdanβ sudut lancip. Nilai sin(α+β)=...

Diketahui , dengan segitiga siku-siku bantu :

Karena A dan B adalah sudut pada kuadran yang sama dan nilai sin bernilai positif sedangkan cos pernilai negatif, maka A dan B adalah sudut di kuadran dua.

Selanjutnya ingat rumus trigonometri berikut:

Berdasarkan rumus di atas, maka :

Jadi, tidak ada jawaban yang sesuai pada pilihan jawaban.

Ingat kembali:

-Rumus trigonometri:

$$\begin{gathered} \sin 2\mathrm{A}=2\sin \mathrm{A}\cdot \cos \mathrm{A} \\ \cos 2\mathrm{A}=1-{\sin }^2\mathrm{A} \\ \cos \left(\mathrm{A}+\mathrm{B}\right)=\cos \mathrm{A}\cos \mathrm{B}-\sin \mathrm{A}\sin \mathrm{B} \end{gathered}$$

-Perbandingan sisi pada trigonometri:

$$\begin{gathered} \sin \alpha =\frac{\mathrm{depan}}{\mathrm{miring}} \\ \cos \alpha =\frac{\mathrm{samping}}{\mathrm{miring}} \end{gathered}$$

Misalkan $$\mathrm{A}=18^{\circ }$$ maka

$$\begin{array}{rcl}5\mathrm{A}& =& 90^{\circ }\\ 2\mathrm{A}+3\mathrm{A}& =& 90\\ 2\mathrm{A}& =& \left(90-3\mathrm{A}\right)\end{array}$$  

sehingga diperoleh:

$$\begin{array}{rcl}\sin 2\mathrm{A}& =& \sin \left(90-3\mathrm{A}\right)\\ \sin 2\mathrm{A}& =& \cos 3\mathrm{A}\\ 2\sin \mathrm{A}\cdot \cos \mathrm{A}& =& \cos (2\mathrm{A}+\mathrm{A})\\ 2\sin \mathrm{A}\cdot \cos \mathrm{A}& =& \cos 2\mathrm{A}\cdot \cos \mathrm{A}-\sin 2\mathrm{A}\cdot \sin \mathrm{A}\\ 2\sin \mathrm{A}\cdot \cos \mathrm{A}& =& \cos 2\mathrm{A}\cdot \cos \mathrm{A}-2\sin \mathrm{A}\cdot \cos \mathrm{A}\cdot \sin \mathrm{A}\\ 2\sin \mathrm{A}\cdot \cos \mathrm{A}& =& \cos \mathrm{A}\left(\cos 2\mathrm{A}-2\sin \mathrm{A}\cdot \sin \mathrm{A}\right)\\ 2\sin \mathrm{A}& =& \cos 2\mathrm{A}-2\sin \mathrm{A}\cdot \sin \mathrm{A}\\ 2\sin \mathrm{A}& =& 1-2{\sin }^2\mathrm{A}-2{\sin }^2\mathrm{A}\\ 2\sin \mathrm{A}& =& 1-4{\sin }^2\mathrm{A}\\ 4{\sin }^2\mathrm{A}+2\sin \mathrm{A}-1& =& 0\\ & & \\ \mathrm{Misalkan}\sin \mathrm{A}& =& x,\mathrm{maka}:\\ 4{\sin }^2\mathrm{A}+2\sin \mathrm{A}-1& =& 0\\ 4x^2+2x-1& =& 0\end{array}$$

Dengan menggunakan rumus ABC, dengan $$a=4,b=2\mathrm{dan}c=-1$$, maka:

$$\begin{array}{rcl}{x}_{1,2}& =& \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ & =& \frac{-2\pm \sqrt{2^2-4\cdot 4\cdot \left(-1\right)}}{2\left(4\right)}\\ & =& \frac{-2\pm \sqrt{4+16}}{8}\\ & =& \frac{-2\pm \sqrt{20}}{8}\\ & =& \frac{-2\pm 2\sqrt{5}}{8}\\ x_{1,2}& =& \frac{-1\pm \sqrt{5}}{4}\end{array}$$ 

Karena $$\mathrm{A}=18^{\circ }$$ berada pada kuadran pertama maka memiliki nilai positif, sehingga nilai $$\sin \mathrm{A}$$ yang memenuhi yaitu:

$$\sin \mathrm{A}=\frac{-1+\sqrt{5}}{4}$$

Ingat:

$$\begin{gathered} \sin \mathrm{A}=\frac{\mathrm{depan}}{\mathrm{miring}}=\frac{-1+\sqrt{5}}{4} \\ \to \mathrm{depan}=-1+\sqrt{5} \\ \to \mathrm{miring}=4 \end{gathered}$$

Dengan menggunakan teorema phythagoras:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{samping}& =& \sqrt{{\mathrm{miring}}^2-{\mathrm{depan}}^2}\\ \mathrm{samping}& =& \sqrt{4^2-{\left(1-\sqrt{5}\right)}^2}\\ \mathrm{samping}& =& \sqrt{16-\left(1-2\sqrt{5}-5\right)}\\ \mathrm{samping}& =& \sqrt{10+2\sqrt{5}}\end{array}$$

Sehingga,

$$\begin{array}{rcl}\cos \mathrm{A}& =& \frac{\mathrm{samping}}{\mathrm{miring}}\\ & =& \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4},\\ \mathrm{karena}\mathrm{A}& =& 18^{\circ },\mathrm{maka}:\\ \cos 18^{\circ }& =& \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}\end{array}$$  

Dengan demikian, nilai dari $$\cos 18^{\circ }$$ adalah $$\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}$$

Jadi, jawaban yang tepat adalah C

Ingat,

Perbandingan Sisi (Trigonometri)

$$\begin{gathered} \sin \mathrm{A}=\frac{\mathrm{depan}}{\mathrm{miring}} \\ \cos \mathrm{A}=\frac{\mathrm{samping}}{\mathrm{miring}} \end{gathered}$$

Rumus Perbandingan Trigonometri untuk Penjumlahan Dua Sudut: sin (A+B)

$$\sin \left(\mathrm{A}+\mathrm{B}\right)=\sin \mathrm{A}\cos \mathrm{B}+\cos \mathrm{A}\sin \mathrm{B}$$

Berdasarkan rumus tersebut, diperoleh sebagai berikut

Jika $$\sin \alpha =p=\frac{p}{1}=\frac{\mathrm{depan}}{\mathrm{miring}}$$ maka sisi depan $$p$$ dan sisi miring $$1$$

Jika $$\sin \beta =q=\frac{q}{1}=\frac{\mathrm{depan}}{\mathrm{miring}}$$ maka sisi depan $$q$$ dan sisi miring $$1$$

Menentukan sisi samping segitiga siku-siku kiri dengan teorema pythagoras  $$\sqrt{1^2-p^2}=\sqrt{1-p^2}$$

Sehingga, 

$$\begin{array}{rcl}\cos \alpha & =& \frac{\mathrm{samping}}{\mathrm{miring}}=\frac{\sqrt{1-p^2}}{1}=\sqrt{1-p^2}\end{array}$$

Menentukan sisi samping segitiga siku-siku kanan dengan teorema pythagoras $$\sqrt{1^2-q^2}=\sqrt{1-q^2}$$

Sehingga, 

$$\begin{array}{rcl}\cos \beta & =& \frac{\mathrm{samping}}{\mathrm{miring}}=\frac{\sqrt{1-q^2}}{1}=\sqrt{1-q^2}\end{array}$$

Menentukan $$\sin \left(\alpha +\beta \right)$$

$$\begin{array}{rcl}\sin \left(\alpha +\beta \right)& =& \sin \alpha \cos \beta +\sin \beta \cos \alpha \\ & =& p\sqrt{1-q^2}+q\sqrt{1-p^2}\end{array}$$

Dengan demikian, jika $$\sin \alpha =p$$ dan $$\sin \beta =q$$, maka $$\sin \left(\alpha +\beta \right)$$ sama dengan $$p\sqrt{1-q^2}+q\sqrt{1-p^2}$$

Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah E. 

Ingat bahwa :

Rumus jumlah dua sudut yaitu

$$Sin\left(A+B\right)=\sin A\cos B+\cos A\sin B$$

Rumus jumlah dan selisih Trigonometri

$$\begin{array}{rcl}\sin A+\sin B& =& 2\cos \frac{1}{2}\left(A+B\right)\cos \frac{1}{2}\left(A-B\right)\\ \cos A+\cos B& =& 2\cos \frac{1}{2}\left(A+B\right)\cos \frac{1}{2}\left(A-B\right)\end{array}$$

Sudut berelasi

$$\sin \left(90^{\circ }-\alpha \right)=\cos \alpha$$

$$\sin \left(180^{\circ }-\alpha \right)=\sin \alpha$$

$$\sin \left(360^{\circ }-\alpha \right)=-\sin \alpha$$

$$\cos \left(-\alpha \right)=\cos \alpha$$

Sudut rangkap pada sinus 

$$\begin{array}{rcl}\sin 2A& =& 2\sin A\cos A\\ \sin A& =& 2\sin \frac{1}{2}A\cos \frac{1}{2}A\end{array}$$

Sudut rangkap pada cosinus

$$\begin{array}{rcl}\cos 2A& =& 1-2{\sin }^{2}A\\ 1-\cos 2A& =& 2{\sin }^{2}A\end{array}$$

Pada segitiga ABC, maka berlaku

$$\begin{array}{rcl}A+B+C& =& 180^{\circ }\\ C& =& 180^{\circ }-\left(A+B\right)\\ \cos \frac{C}{2}& =& \cos \left(\frac{180^{\circ }-\left(A+B\right)}{2}\right)\\ & =& \cos \left(90^{\circ }-\frac{\left(A+B\right)}{2}\right)\\ & =& \sin \left(\frac{A+B}{2}\right)\\ \sin 2C& =& \sin 2\left(180^{\circ }-\left(A+B\right)\right)\\ \sin 2C& =& \sin \left(360^{\circ }-2\left(A+B\right)\right)\\ & =& -\sin 2\left(A+B\right)\\ \sin C& =& \sin \left(\frac{180^{\circ }-\left(A+B\right)}{2}\right)\\ & =& \sin \left(90^{\circ }-\frac{\left(A+B\right)}{2}\right)\\ & =& \cos \left(\frac{A+B}{2}\right)\end{array}$$

Pertama akan ditentukan terlebih dahulu hasil dari $$Sin2A+\sin 2B+\sin 2C$$

$$\begin{array}{rcl}\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C& =& \sin 2A+\sin 2B-\sin 2\left(A+B\right)\\ & =& \sin 2A+\sin 2B-\sin \left(2A+2B\right)\\ & =& \sin 2A+\sin 2B-\left(\sin 2A\cos 2B+\cos 2A\sin 2B\right)\\ & =& \sin 2A-\sin 2A\cos 2B+\sin 2B-\cos 2A\sin 2B\\ & =& \sin 2A\left(1-\cos 2B\right)+\sin 2B\left(1-\cos 2A\right)\\ & =& 2\sin A\cos A\cdot 2{\sin }^{2}B+2\sin B\cos B\cdot 2{\sin }^{2}A\\ & =& 4\sin A\sin B\left[\cos A\sin B+\cos B\sin A\right]\\ & =& 4\sin A\sin B\left[\sin A\cos B+\cos A\sin B\right]\\ & =& 4\sin A\sin B\left[\sin \left(A+B\right)\right]\\ & =& 4\sin A\sin B\sin \left(180^{\circ }-C\right)\\ & =& 4\sin A\sin B\sin C\end{array}$$

Kemudian akan dicari hasil dari $$\sin A+\sin B+\sin C$$

$$\begin{array}{rcl}\sin A+\sin B+\sin C& =& \left(\sin A+\sin B\right)+\sin C\\ & =& 2\sin \left(\frac{A+B}{2}\right)\cos \left(\frac{A-B}{2}\right)+2\sin \frac{C}{2}\cos \frac{C}{2}\\ & =& 2\cos \frac{C}{2}\left(\cos \left(\frac{A-B}{2}\right)+\sin \frac{C}{2}\right)\\ & =& 2\cos \frac{C}{2}\left(\cos \left(\frac{A-B}{2}\right)+\cos \left(\frac{A+B}{2}\right)\right)\\ & =& 2\cos \frac{C}{2}\left(2\cos \frac{1}{2}\left(\frac{A-B+A+B}{2}\right)\cos \frac{1}{2}\left(\frac{A-B-A-B}{2}\right)\right)\\ & =& 2\cos \frac{C}{2}\left(2\cos \left(\frac{2A}{4}\right)\cos \left(\frac{-2B}{4}\right)\right)\\ & =& 4\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}\end{array}$$

Maka

$$\begin{array}{rcl}\frac{\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C}{\sin A+\sin B+\sin C}& =& \frac{4\sin A\sin B\sin C}{4\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}}\\ & =& \frac{4\cdot 2\sin \frac{A}{2}\cos \frac{A}{2}\cdot 2\sin \frac{B}{2}\cos \frac{B}{2}\cdot 2\sin \frac{C}{2}\cos \frac{C}{2}}{4\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}}\\ & =& 8\sin \left(\frac{A}{2}\right)\sin \left(\frac{B}{2}\right)\sin \left(\frac{C}{2}\right)\left(\mathrm{terbukti}\right)\end{array}$$ 

Dengan demikian terbukti bahwa $$\frac{\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C}{\sin A+\sin B+\sin C}=8\sin \left(\frac{A}{2}\right)\sin \left(\frac{B}{2}\right)\sin \left(\frac{C}{2}\right)$$

 

Mencari himpunan penyelesaian:

  
 

 

Himpunan penyelesaian yang memenuhi  adalah sebagai berikut:

  

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah .