Pertanyaan

Diketahui ( a n ) dan ( b n ) adalah dua barisan aritmetika dengan a 1 = 5 , a 2 = 8 , b 1 = 3 dan b 2 = 7 . Jika A = { a 1 , a 2 , ... , a 100 } dan B = { b 1 , b 2 , ... , b 100 } , maka banyaknya anggota A ∩ B adalah ....

Diketahui $(a_{n})$ dan $(b_{n})$ adalah dua barisan aritmetika dengan $a_{1} = 5, a_{2} = 8, b_{1} = 3$ dan $b_{2} = 7$ . Jika $A = {a_{1}, a_{2}, ..., a_{100}}$ dan $B = {b_{1}, b_{2}, ..., b_{100}}$ , maka banyaknya anggota $A \cap B$ adalah ....

$20$
$21$
$22$
$24$
$25$

N. Puspita

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang benar adalah E.

Pembahasan

Rumus suku ke-n barisan aritmetika: U n = a + ( n − 1 ) b , dimana b = U n − U n − 1 . Penyelesaian: Himpunan A U n = = = = a + ( n − 1 ) b 5 + ( n − 1 ) 3 5 + 3 n − 3 2 + 3 n suku-suku barisan ( a n ) : a 1 = 5 a 2 = 8 a 3 = 2 + 3 ( 3 ) = 2 + 9 = 11 a 100 = 2 + 3 ( 100 ) = 2 + 300 = 302 sehingga, himpunan A yang terdiri atas elemen barisan ( a n ) adalah A = { a 1 , a 2 , ... , a 100 } = { 5 , 8 , 11 , ... , 302 } → b = 3 Himpunan B U n = = = = a + ( n − 1 ) b 3 + ( n − 1 ) 4 3 + 4 n − 4 4 n − 1 suku-suku barisan ( b n ) : b 1 = 3 b 2 = 7 b 3 = 4 ( 3 ) − 1 = 12 − 1 = 11 b 100 = 4 ( 100 ) − 1 = 400 − 1 = 399 sehingga, himpunan B yang terdiri atas elemen barisan ( b n ) adalah B = { b 1 , b 2 , ... , b 100 } = { 3 , 7 , 11 , ... , 399 } → b = 4 Perhatikan bahwa nilai a n dan b n akan sama setiap penambahan 12 (KPK dari beda 3 dan 4) dengan bilangan awal 11. Bentuk barisan aritmetika A ∩ B = { 11 , 23 , .... , ( U n ≤ 302 ) } → b = 12 maka banyaknya anggota A ∩ B dapat diperoleh sebagai berikut. U n = a + ( n − 1 ) b ≤ 302 ⇔ 11 + ( n − 1 ) 12 ≤ 302 ⇔ 11 + 12 n − 12 ≤ 302 ⇔ 12 n − 1 ≤ 302 ⇔ 12 n ≤ 302 + 1 ⇔ 12 n ≤ 303 ⇔ n ≤ 12 303 ⇔ n ≤ 25 4 1 Jadi, banyaknya bilangan ada 25. Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah E.

Rumus suku ke-n barisan aritmetika: $U_{n} = a + (n - 1) b$ , dimana $b = U_{n} - U_{n - 1}$ .

Penyelesaian:

Himpunan A

$U_{n} = = = = a + (n - 1) b 5 + (n - 1) 3 5 + 3 n - 3 2 + 3 n$

suku-suku barisan $(a_{n})$ :

$a_{1} = 5 a_{2} = 8 a_{3} = 2 + 3 (3) = 2 + 9 = 11 a_{100} = 2 + 3 (100) = 2 + 300 = 302$

sehingga, himpunan A yang terdiri atas elemen barisan $(a_{n})$ adalah

$A = {a_{1}, a_{2}, ..., a_{100}} = {5, 8, 11, ..., 302} \to b = 3$

Himpunan B

$U_{n} = = = = a + (n - 1) b 3 + (n - 1) 4 3 + 4 n - 4 4 n - 1$

suku-suku barisan $(b_{n})$ :

$b_{1} = 3 b_{2} = 7 b_{3} = 4 (3) - 1 = 12 - 1 = 11 b_{100} = 4 (100) - 1 = 400 - 1 = 399$

sehingga, himpunan B yang terdiri atas elemen barisan $(b_{n})$ adalah

$B = {b_{1}, b_{2}, ..., b_{100}} = {3, 7, 11, ..., 399} \to b = 4$

Perhatikan bahwa nilai $a_{n}$ dan $b_{n}$ akan sama setiap penambahan 12 (KPK dari beda 3 dan 4) dengan bilangan awal 11. Bentuk barisan aritmetika

$A \cap B = {11, 23, ...., (U_{n} \leq 302)} \to b = 12$

maka banyaknya anggota $A \cap B$ dapat diperoleh sebagai berikut.

$U_{n} = a + (n - 1) b \leq 302 \Leftrightarrow 11 + (n - 1) 12 \leq 302 \Leftrightarrow 11 + 12 n - 12 \leq 302 \Leftrightarrow 12 n - 1 \leq 302 \Leftrightarrow 12 n \leq 302 + 1 \Leftrightarrow 12 n \leq 303 \Leftrightarrow n \leq \frac{303}{12} \Leftrightarrow n \leq 25 \frac{1}{4}$

Jadi, banyaknya bilangan ada 25.

Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah E.

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

5.0 (3 rating)

Pertanyaan serupa

Diketahui suatu barisan geometri yang terdiri atas empat suku dengan rasio 2 1 dan suatu barisan aritmetika yang terdiri atas tiga suku dengan beda b . Jumlah semua suku barisan geometri tersebut da...

5.0

Jawaban terverifikasi

Jumlah suku ke-15 dan ke-9 suatu barisan aritmetika dengan suku-sukunya bilangan asli adalah 90. Jika beda barisan tersebut adalah 7, maka suku ke-15 adalah ....

0.0

Jawaban terverifikasi

Misalkan, a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 adalah suatu deret aritmetika yang berjumlah 75 . Jika a 2 = 8 , maka nilai a 6 adalah …

4.0

Jawaban terverifikasi

Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan ( x 2 − 7 x + a ) ( x 2 − 13 x + 4 a ) = 0 terdiri atas tiga bilangan yang membentuk barisan aritmetika. Maka nilai terbesar adalah ...

5.0

Jawaban terverifikasi

Jumlah tiga suku pertama barisan aritmatika adalah 45 , sedangkan jumlah dari logaritma ketiga suku tersebut adalah lo g 435 . Jika suku pertama kurang dari beda barisan tersebut, suku keenam barisan ...

0.0

Jawaban terverifikasi