Roboguru

Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan (x2−7x+a)(x2−13x+4a)=0 terdiri atas tiga bilangan yang membentuk barisan aritmetika. Maka nilai terbesar a adalah ...

Pertanyaan

Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan open parentheses x squared minus 7 x plus a close parentheses open parentheses x squared minus 13 x plus 4 a close parentheses equals 0 terdiri atas tiga bilangan yang membentuk barisan aritmetika. Maka nilai terbesar a adalah ...

  1. 5 

  2. 8 

  3. 10 

  4. 12 

  5. 16 

Pembahasan Soal:

Ingat rumus suku ke-n barisan aritmetika berikut.

U subscript text n end text end subscript equals a plus open parentheses text n end text minus 1 close parentheses b

dengan b equals U subscript text n end text end subscript minus U subscript text n end text minus 1 end subscript 

Jika diketahui persamaan kuadrat a x squared plus b x plus c equals 0 mempunyai akar x subscript 1 dan x subscript 2, maka

x subscript 1 plus x subscript 2 equals negative b over a

x subscript 1 times x subscript 2 equals c over a

Misal persamaan open parentheses x squared minus 7 x plus a close parentheses equals 0 mempunyai akar-akar persamaan p dan q.

Persamaan open parentheses x squared minus 13 x plus 4 a close parentheses equals 0 mempunyai akar-akar persamaan p dan r.

Dengan menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat, diperoleh persamaan-persamaan berikut.

Untuk open parentheses x squared minus 7 x plus a close parentheses equals 0 diperoleh persamaan (1)

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell p plus q end cell equals cell negative b over a end cell row blank equals cell negative fraction numerator open parentheses negative 7 close parentheses over denominator 1 end fraction end cell row blank equals 7 end table

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell p times q end cell equals cell c over a end cell row blank equals cell a over 1 end cell row blank equals a end table

Untuk open parentheses x squared minus 13 x plus 4 a close parentheses equals 0 diperoleh persamaan (2)

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell p plus r end cell equals cell negative b over a end cell row blank equals cell negative fraction numerator open parentheses negative 13 close parentheses over denominator 1 end fraction end cell row blank equals 13 end table

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell p times r end cell equals cell c over a end cell row blank equals cell fraction numerator 4 a over denominator 1 end fraction end cell row blank equals cell 4 a end cell end table

Dari persamaan (1) dan (2) dapat ditentukan persamaan (3) berikut.

table row cell p plus q end cell equals 7 row cell p plus r end cell equals 13 row cell q minus r end cell equals cell negative 6 end cell end table minus

Karena tiga bilangan tersebut merupakan barisan aritmetika, kemungkinan-kemungkinan yang terjadi, yaitu:

1. p equals U subscript 1 comma space q equals U subscript 2 comma space r equals U subscript 3

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell q minus p end cell equals cell r minus q end cell row cell 2 q end cell equals cell p plus r end cell row cell 2 q end cell equals 13 row q equals cell 13 over 2 end cell end table

Nilai p dapat ditentukan sebagai berikut.

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell p plus q end cell equals 7 row cell p plus 13 over 2 end cell equals 7 row p equals cell 1 half end cell end table

Diperoleh nilai a equals p times q equals 1 half times 13 over 2 equals 13 over 4

2. q equals U subscript 1 comma space p equals U subscript 2 comma space r equals U subscript 3

Diperoleh persamaan 4 berikut.

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell p minus q end cell equals cell r minus p end cell row cell 2 p end cell equals cell q plus r end cell end table

Eliminasi persamaan (3) dan (4) diperoleh persamaan (5) berikut.

table row cell q minus r end cell equals cell negative 6 space space space space space end cell row cell q plus r end cell equals cell 2 p space plus end cell row cell 2 q end cell equals cell negative 6 plus 2 p end cell row cell 2 q minus 2 p end cell equals cell negative 6 end cell row cell q minus p end cell equals cell negative 3 end cell row cell p minus q end cell equals 3 end table

Dari persamaan (4) dan (5) diperoleh

table row cell p plus q end cell equals 7 row cell p minus q end cell equals 3 row cell 2 p end cell equals 10 row p equals 5 end table plus

q equals 2

Diperoleh nilai a equals p times q equals 5 times 2 equals 10 

Oleh karena itu, jawaban yang tepat adalah C.

Pembahasan terverifikasi oleh Roboguru

Dijawab oleh:

H. Eka

Mahasiswa/Alumni Universitas Pendidikan Indonesia

Terakhir diupdate 07 September 2021

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

Pertanyaan yang serupa

Diketahui fungsi kuadrat f(x)=x2−(k+3)x+3k dan f(a)=f(b)=0. Jika 2a−3, ab, dan a+3b membentuk barisan aritmetika maka nilai k adalah ....

Pembahasan Soal:

Diketahui fungsi kuadrat f(x)=x2(k+3)x+3k dan f(a)=f(b)=0 maka diperoleh:

x1+x2=abx1x2=aca+b=1((k+3))a+b=k+3ab=13kab=3k 

Diketahui bahwa 2a3 (U1), ab (U2), dan a+3b (U3) membentuk barisan aritmetika. Dengan mengaplikasikan rumus beda pada barisan aritmetika, diperoleh:

U2U1ab(2a3)ab+ab2ab2ab2(3k)6k6k3k3kkk===========U3U2a+3baba+3b+2a33a+3b33(a+b)33(k+3)33k+9366362 

Dengan demikian, nilai k adalah 2.

Oleh karena itu, jawaban yang tepat adalah A.

0

Roboguru

Diketahui x1​ dan x2​ merupakan akar-akar x2+2ax+b2=0. Jika x12​+x22​=10, maka nilai b2 adalah....

Pembahasan Soal:

Ingat:

ax2+bx+cx1+x2x1x2===0abac

Diketahui:

x2+2ax+b2=0

Berarti :

x1+x2x1x2x12+x22(x1+x2)22x1x2(2a)22b24a22b22b2=======2ab210101010104a2

Bagi kedua ruas dengan 2, maka:

b2=5+2a2b2=2a25

Jadi, jawaban yang tepat adalah D.

 

0

Roboguru

Persamaan x2−ax−(a+1)=0 mempunyai akar-akar x1​>1 dan x2​<1 untuk ,,,,

Pembahasan Soal:

Ingat!

Jika persamaan kuadrat y=ax2+bx+c memiliki akar-akar x1 dan x2, maka

x1+x2=ab

x1x2=ac

Diketahui persamaan x2ax(a+1)=0 mempunyai akar-akar x1>1 dan x2<1, maka

x11>0 dan x21<0

Karena negatif dikali dengan positif hasilnya negarif atau kurang dari nol, maka

(x11)(x21)x1x2(x1+x2)+1(a+1)a+1a1a+12aa<<<<<>000000\

Oleh karena itu, jawaban yang tepat adalah A.

0

Roboguru

Diketahui a, b, dan c adalah tiga suku pertama suatu barisan aritmetika dengan b&gt;0. Jika a+b+c=b2−10 maka nilai b adalah ....

Pembahasan Soal:

Diketahui ab, dan c adalah tiga suku pertama suatu barisan aritmetika. Maka U1=aU2=b, dan U3 = c. Dengan mengaplikasikan rumus mencari beda pada barisan aritmetika, maka diperoleh:

U2U1baa+c===U3U2cb2b 

Substitusi nilai a+c=2b pada persamaan a+b+c=b210, sehingga diperoleh:

a+b+c2b+b3bb23b10(b5)(b+2)=====b210b210b21000 

b=5ataub=2 

Karena b>0 maka nilai yang memenuhi adalah b=5.

Dengan demikian, nilai b adalah 5.

Oleh karena itu, jawaban yang tepat adalah D.

0

Roboguru

Diketahui f(x) dan g(x) memenuhi f(x)+3g(x)=x2+x+6 2f(x)+4g(x)=2x2+4 Untuk semua x, jika x1​ dan x2​ memenuhi f(x)=g(x), maka nilai x1​⋅x2​ adalah ...

Pembahasan Soal:

Jika diketahui persamaan kuadrat ax2+bx+c=0,a=0 mempunyai akar x1 dan x2, maka hasil kali akar-akar persamaan kuadrat tersebut dapat ditentukan sebagai berikut.

x1x2=ac

Sistem persamaan pada soal di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan metode gabungan, yaitu eliminasi dan substitusi berikut.

Misal a=f(x) dan b=g(x) diperoleh 2 persamaan berikut.

a+3b=x2+x+6

2a+4b=2x2+4

Eliminasi a dari kedua persamaan tersebut sebagai berikut.

a+3b=x2+x+62a+4b=2x2+4×2×12a+6b2a+4b2bb====2x2+2x+122x2+42x+8x+4

Substitusi b=x+4 ke persamaan pertama sehingga diperoleh

a+3ba+3(x+4)a+3x+12a====x2+x+6x2+x+6x2+x+6x22x6

Karena a=b sehingga diperoleh

ax+4x23x10===x22x6x22x60

Dengan menggunakan rumus hasil kali akar-akar persamaan kuadrat diperoleh

x1x2===ac11010

Oleh karena itu, jawaban yang tepat adalah E.

0

Roboguru

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Produk Ruangguru

Produk Lainnya

Hubungi Kami

Ikuti Kami

©2021 Ruangguru. All Rights Reserved