Pertanyaan

Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan ( x 2 − 7 x + a ) ( x 2 − 13 x + 4 a ) = 0 terdiri atas tiga bilangan yang membentuk barisan aritmetika. Maka nilai terbesar adalah ...

Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan $(x^{2} - 7 x + a) (x^{2} - 13 x + 4 a) = 0$ terdiri atas tiga bilangan yang membentuk barisan aritmetika. Maka nilai terbesar $a$ adalah ...

$5$
$8$
$10$
$12$
$16$

H. Eka

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Pendidikan Indonesia

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang tepat adalah C.

Pembahasan

Ingat rumus suku ke-n barisan aritmetika berikut. U n = a + ( n − 1 ) b dengan b = U n − U n − 1 Jika diketahui persamaan kuadrat a x 2 + b x + c = 0 mempunyai akar x 1 dan x 2 , maka x 1 + x 2 = − a b x 1 ⋅ x 2 = a c Misal persamaan ( x 2 − 7 x + a ) = 0 mempunyai akar-akar persamaan dan q . Persamaan ( x 2 − 13 x + 4 a ) = 0 mempunyai akar-akar persamaan dan r . Dengan menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat, diperoleh persamaan-persamaan berikut. Untuk ( x 2 − 7 x + a ) = 0 diperoleh persamaan (1) p + q = = = − a b − 1 ( − 7 ) 7 p ⋅ q = = = a c 1 a a Untuk ( x 2 − 13 x + 4 a ) = 0 diperoleh persamaan (2) p + r = = = − a b − 1 ( − 13 ) 13 p ⋅ r = = = a c 1 4 a 4 a Dari persamaan (1) dan (2) dapat ditentukan persamaan (3)berikut. p + q p + r q − r = = = 7 13 − 6 − Karena tiga bilangan tersebut merupakan barisan aritmetika, kemungkinan-kemungkinan yang terjadi, yaitu: 1. p = U 1 , q = U 2 , r = U 3 q − p 2 q 2 q q = = = = r − q p + r 13 2 13 Nilai dapat ditentukan sebagai berikut. p + q p + 2 13 p = = = 7 7 2 1 Diperoleh nilai a = p ⋅ q = 2 1 ⋅ 2 13 = 4 13 2. q = U 1 , p = U 2 , r = U 3 Diperoleh persamaan 4 berikut. p − q 2 p = = r − p q + r Eliminasi persamaan (3) dan (4) diperoleh persamaan (5) berikut. q − r q + r 2 q 2 q − 2 p q − p p − q = = = = = = − 6 2 p + − 6 + 2 p − 6 − 3 3 Dari persamaan (4) dan (5) diperoleh p + q p − q 2 p p = = = = 7 3 10 5 + q = 2 Diperoleh nilai a = p ⋅ q = 5 ⋅ 2 = 10 Oleh karena itu, jawaban yang tepat adalah C.

Ingat rumus suku ke-n barisan aritmetika berikut.

$U_{n} = a + (n - 1) b$

dengan $b = U_{n} - U_{n - 1}$

Jika diketahui persamaan kuadrat $a x^{2} + b x + c = 0$ mempunyai akar $x_{1}$ dan $x_{2}$ , maka

$x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$

$x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}$

Misal persamaan $(x^{2} - 7 x + a) = 0$ mempunyai akar-akar persamaan $p$ dan $q$ .

Persamaan $(x^{2} - 13 x + 4 a) = 0$ mempunyai akar-akar persamaan $p$ dan $r$ .

Dengan menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat, diperoleh persamaan-persamaan berikut.

Untuk $(x^{2} - 7 x + a) = 0$ diperoleh persamaan (1)

$p + q = = = - \frac{b}{a} - \frac{( - 7 )}{1} 7$

$p \cdot q = = = \frac{c}{a} \frac{a}{1} a$

Untuk $(x^{2} - 13 x + 4 a) = 0$ diperoleh persamaan (2)

$p + r = = = - \frac{b}{a} - \frac{( - 13 )}{1} 13$

$p \cdot r = = = \frac{c}{a} \frac{4 a}{1} 4 a$

Dari persamaan (1) dan (2) dapat ditentukan persamaan (3) berikut.

$p + q p + r q - r = = = 713 - 6 -$

Karena tiga bilangan tersebut merupakan barisan aritmetika, kemungkinan-kemungkinan yang terjadi, yaitu:

1. $p = U_{1}, q = U_{2}, r = U_{3}$

$q - p 2 q 2 q q = = = = r - q p + r 13 \frac{13}{2}$

Nilai $p$ dapat ditentukan sebagai berikut.

$p + q p + \frac{13}{2} p = = = 77 \frac{1}{2}$

Diperoleh nilai $a = p \cdot q = \frac{1}{2} \cdot \frac{13}{2} = \frac{13}{4}$

2. $q = U_{1}, p = U_{2}, r = U_{3}$

Diperoleh persamaan 4 berikut.

$p - q 2 p = = r - p q + r$

Eliminasi persamaan (3) dan (4) diperoleh persamaan (5) berikut.

$q - r q + r 2 q 2 q - 2 p q - p p - q = = = = = = - 6 2 p + - 6 + 2 p - 6 - 3 3$

Dari persamaan (4) dan (5) diperoleh

$p + q p - q 2 p p = = = = 73105 +$

$q = 2$

Diperoleh nilai $a = p \cdot q = 5 \cdot 2 = 10$

Oleh karena itu, jawaban yang tepat adalah C.

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

5.0 (4 rating)

Nayla faravisa Qalbiah

Pembahasan lengkap banget Ini yang aku cari! Mudah dimengerti Bantu banget Makasih ❤️

Nindita Widya Ayu Saputri

Makasih ❤️

Pertanyaan serupa

Diketahui persamaan x 2 + p x + q = 0 mempunyai akar-akar positif x 1 dan x 2 . Jika x 1 , 6 , x 2 adalah tiga suku pertama barisan geometri dan x 1 , x 2 , 14 tiga suku pertama barisan ar...

5.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui persamaan x 2 + p x + q = 0 mempunyai akar-akar positif x 1 dan x 2 . Jika x 1 , 6 , x 2 adalah tiga suku pertama barisan geometri dan x 1 , x 2 , 14 tiga suku pertama barisan ar...

5.0

Jawaban terverifikasi

Persamaan x 2 − a x − ( a + 1 ) = 0 mempunyai akar-akar x 1 > 1 dan x 2 < 1 untuk ,,,,

4.7

Jawaban terverifikasi

Persamaan x 2 − a x − ( a + 1 ) = 0 mempunyai akar-akar x 1 > 1 dan x 2 < 1 untuk ,,,,

4.7

Jawaban terverifikasi

Diketahui , b , dan adalah tiga suku pertama suatu barisan aritmetika dengan b > 0 . Jika a + b + c = b 2 − 10 maka nilai b adalah ....

4.6

Jawaban terverifikasi