Iklan

Iklan

Pertanyaan

Diketahui berlaku untuk setiap bilangan bulat n ≥ p . Jika p adalah suatu bilangan bulat, maka nilai minimum yang mungkin untuk p adalah ....

Diketahui begin mathsize 14px style 24 plus 48 plus 96 plus horizontal ellipsis plus 3 times 2 to the power of straight n equals 3 open parentheses 2 to the power of straight n plus 1 end exponent minus 8 close parentheses end style berlaku untuk setiap bilangan bulat ≥ p. Jika adalah suatu bilangan bulat, maka nilai minimum yang mungkin untuk p adalah ....

  1. 0space space space space  

  2. 1space space space space  

  3. 2space space space space  

  4. 3space space space space  

  5. 4space space space space  

Iklan

I. Sutiawan

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Pasundan

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang tepat adalah D.

jawaban yang tepat adalah D.

Iklan

Pembahasan

Perhatikan bahwa Dari bentuk ini, dapat diperhatikan bahwa suku pertama dari bentuk di ruas kiri berbentuk dengan n = 3 . Dari informasi ini, dapat dikatakan bahwa kesamaan ini berlaku untuk setiap bilangan bulat n ≥ 3 . Untuk menyatakan pernyataan ini benar untuk setiap bilangan bulat n ≥ 3 , akan digunakan pembuktian dengan induksi matematika. Oleh karena itu, akan dibuktikan bahwa untuk setiap bilangan bulat n ≥ 3 . Perhatikan pernyataan untuk setiap bilangan bulat n ≥ 3 . Karena akan dibuktikan pernyataan untuk setiap bilangan bulat n ≥ 3 , maka langkah pertamanya adalah buktikan benar. LANGKAH 1 : Buktikan benar. Perhatikan pernyataan maka Ruas kiri : 24 Ruas kanan : Karena ruas kiri = ruas kanan, maka benar. LANGKAH 2 : Buktikan untuk sembarang bilangan bulat k ≥ 3 , jika bernilai benar mengakibatkan bernilai benar. Perhatikan pernyataan Asumsikan bernilai benar. Perhatikan Dari ruas kiri Sehingga didapatkan ruas kiri = ruas kanan. Maka, bernilai benar. Karena 1. benar. 2. Untuk sembarang bilangan bulat k ≥ 3 , jika bernilai benar mengakibatkan bernilai benar. Maka, benar untuk setiap bilangan bulat n ≥ 3 , menurut prinsip induksi matematika. Terbukti bahwa untuk setiap bilangan bulat n ≥ 3 . Akibatnya nilai minimum yang mungkin untuk p adalah 3. Jadi, jawaban yang tepat adalah D.

Perhatikan bahwa

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 24 plus 48 plus 96 plus horizontal ellipsis plus 3 times 2 to the power of straight n end cell equals cell 3 open parentheses 2 to the power of straight n plus 1 end exponent minus 8 close parentheses end cell row cell 3 times 8 plus 3 times 16 plus 3 times 32 plus horizontal ellipsis plus 3 times 2 to the power of straight n end cell equals cell 3 open parentheses 2 to the power of straight n plus 1 end exponent minus 8 close parentheses end cell row cell 3 times 2 cubed plus 3 times 2 to the power of 4 plus 3 times 2 to the power of 5 plus horizontal ellipsis plus 3 times 2 to the power of straight n end cell equals cell 3 open parentheses 2 to the power of straight n plus 1 end exponent minus 8 close parentheses end cell end table end style 

Dari bentuk ini, dapat diperhatikan bahwa suku pertama dari bentuk di ruas kiri berbentuk begin mathsize 14px style 3 times 2 to the power of straight n end style dengan = 3 .

Dari informasi ini, dapat dikatakan bahwa kesamaan ini berlaku untuk setiap bilangan bulat ≥ 3 .

Untuk menyatakan pernyataan ini benar untuk setiap bilangan bulat ≥ 3 , akan digunakan pembuktian dengan induksi matematika.

 

Oleh karena itu, akan dibuktikan bahwa undefined untuk setiap bilangan bulat ≥ 3 .

 

Perhatikan pernyataan

begin mathsize 14px style straight P subscript straight n colon 24 plus 48 plus 96 plus horizontal ellipsis plus 3 times 2 to the power of straight n equals 3 open parentheses 2 to the power of straight n plus 1 end exponent minus 8 close parentheses end style 

untuk setiap bilangan bulat ≥ 3 .

 

Karena akan dibuktikan pernyataan untuk setiap bilangan bulat ≥ 3 , maka langkah pertamanya adalah buktikan begin mathsize 14px style straight P subscript 3 end style benar.

 

LANGKAH 1 : Buktikan begin mathsize 14px style bold P subscript 3 end style benar.

Perhatikan pernyataan

undefined 

maka

begin mathsize 14px style straight P subscript 3 colon 24 equals 3 open parentheses 2 to the power of 3 plus 1 end exponent minus 8 close parentheses end style 

Ruas kiri : 24

Ruas kanan :

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 3 open parentheses 2 to the power of 3 plus 1 end exponent minus 8 close parentheses end cell equals cell 3 open parentheses 2 to the power of 4 minus 8 close parentheses end cell row blank equals cell 3 open parentheses 16 minus 8 close parentheses end cell row blank equals cell 3 times 8 end cell row blank equals 24 end table end style 

Karena ruas kiri = ruas kanan, maka undefined benar.

 

LANGKAH 2 : Buktikan untuk sembarang bilangan bulat ≥ 3 , jika undefined bernilai benar mengakibatkan undefined bernilai benar.

Perhatikan pernyataan

undefined 

Asumsikan

begin mathsize 14px style straight P subscript straight k colon 24 plus 48 plus 96 plus horizontal ellipsis plus 3 times 2 to the power of straight k equals 3 open parentheses 2 to the power of straight k plus 1 end exponent minus 8 close parentheses end style 

bernilai benar.

Perhatikan

begin mathsize 14px style straight P subscript straight k plus 1 end subscript colon 24 plus 48 plus 96 plus horizontal ellipsis plus 3 times 2 to the power of straight k plus 3 times 2 to the power of straight k plus 1 end exponent equals 3 open parentheses 2 to the power of open parentheses straight k plus 1 close parentheses plus 1 end exponent minus 8 close parentheses end style 

Dari ruas kiri undefined 

begin mathsize 14px style 24 plus 48 plus 96 plus horizontal ellipsis plus 3 times 2 to the power of straight k plus 3 times 2 to the power of straight k plus 1 end exponent equals 3 open parentheses 2 to the power of straight k plus 1 end exponent minus 8 close parentheses plus 3 times 2 to the power of straight k plus 1 end exponent equals 3 open parentheses open parentheses 2 to the power of straight k plus 1 end exponent minus 8 close parentheses plus 2 to the power of straight k plus 1 end exponent close parentheses equals 3 open parentheses 2 to the power of straight k plus 1 end exponent plus 2 to the power of straight k plus 1 end exponent minus 8 close parentheses equals 3 open parentheses 2 to the power of straight k plus 1 end exponent times 2 minus 8 close parentheses equals 3 open parentheses 2 to the power of open parentheses straight k plus 1 close parentheses plus 1 end exponent minus 8 close parentheses end style 

Sehingga didapatkan ruas kiri = ruas kanan.
Maka, undefined bernilai benar.

 

Karena

1.    undefined benar.

2.    Untuk sembarang bilangan bulat ≥ 3 , jika undefined bernilai benar mengakibatkan undefined bernilai benar.

Maka, undefined benar untuk setiap bilangan bulat ≥ 3 , menurut prinsip induksi matematika.

 

Terbukti bahwa undefined untuk setiap bilangan bulat ≥ 3 . Akibatnya nilai minimum yang mungkin untuk p adalah 3.

Jadi, jawaban yang tepat adalah D.

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

362

Iklan

Iklan

Pertanyaan serupa

Perhatikan pernyataan berikut! P n ​ : 3 2 ​ + 9 2 ​ + 27 2 ​ + ⋯ + 3 n 2 ​ = 2 − 3 n 1 ​ untuk setiap bilangan asli n . Dengan menggunakan induksi matematika, dapat disimpulkan bahwa ....

12

5.0

Jawaban terverifikasi

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Roboguru

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Download di Google PlayDownload di AppstoreDownload di App Gallery

Produk Ruangguru

Hubungi Kami

Ruangguru WhatsApp

+62 815-7441-0000

Email info@ruangguru.com

info@ruangguru.com

Contact 02140008000

02140008000

Ikuti Kami

©2024 Ruangguru. All Rights Reserved PT. Ruang Raya Indonesia