Pertanyaan

Diberikan pernyataan sebagai berikut. untuk setiap bilangan asli n . Dengan menggunakan induksi matematika, dapat disimpulkan bahwa ....

Diberikan pernyataan sebagai berikut.

$sum from i equals 1 to n of fraction numerator i plus 2 over denominator i times open parentheses i plus 1 close parentheses times 2 to the power of i end fraction equals 1 minus fraction numerator 1 over denominator open parentheses n plus 1 close parentheses times 2 to the power of n end fraction$

untuk setiap bilangan asli $n$ .

Dengan menggunakan induksi matematika, dapat disimpulkan bahwa ....

pernyataan tidak terbukti, karena tahap pertama tidak bisa dibuktikan meskipun tahap kedua bisa dibuktikan
pernyataan tidak terbukti, karena tahap kedua tidak bisa dibuktikan meskipun tahap pertama bisa dibuktikan
pernyataan tidak terbukti, karena tahap pertama dan kedua tidak bisa dibuktikan
pernyataan terbukti dengan induksi matematika
tidak ada yang dapat disimpulkan

N. Syafriah

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang tepat adalah D.

Pembahasan

Diberikan pernyataan sebagai berikut. untuk setiap bilangan asli . Karena akan dibuktikan pernyataan untuk setiap bilangan asli , yaitu , maka langkah pertamanya adalah buktikan benar. LANGKAH 1: Buktikan benar. Perhatikan pernyataan berikut. Substitusikan nilai seperti berikut ini. Dari ruas kiri, didapatkan perhitungan sebagai berikut. Dari ruas kanan, didapat perhitungan sebagai berikut. Karena ruas kiri sama denganruas kanan, maka benar. LANGKAH 2: Buktikan untuk sembarang bilangan asli , bernilai benar mengakibatkan bernilai benar. Perhatikan pernyataan berikut. Asumsikan pernyataan tersebut benar untuk sembarang bilangan asli seperti berikut ini. Substitusikan nilai sebagai berikut. Dari ruas kiri didapat perhitungan sebagai berikut. Dapat diperhatikan bahwa ruas kiri sama denganruas kanan. Jadi, bernilai benar. Dari penjabaran di atas, didapatkan informasi berikut. benar. Untuk sembarang bilangan asli , jika bernilai benar mengakibatkan bernilai benar. Akibatnya, benar untuk setiap bilangan asli , menurut prinsip induksi matematika. Dengan demikian, pada proses pembuktian dengan induksi matematika di atas, didapatkan bahwa pernyataan terbukti dengan induksi matematika. Jadi, jawaban yang tepat adalah D.

Diberikan pernyataan sebagai berikut.

$P subscript n colon sum from i equals 1 to n of fraction numerator i plus 2 over denominator i times open parentheses i plus 1 close parentheses times 2 to the power of i end fraction equals 1 minus fraction numerator 1 over denominator open parentheses n plus 1 close parentheses times 2 to the power of n end fraction$

untuk setiap bilangan asli .

Karena akan dibuktikan pernyataan untuk setiap bilangan asli , yaitu , maka langkah pertamanya adalah buktikan P subscript 1 benar.

LANGKAH 1: Buktikan benar.

Perhatikan pernyataan berikut.

Substitusikan nilai n equals 1 seperti berikut ini.

$P subscript 1 colon sum from i equals 1 to 1 of fraction numerator i plus 2 over denominator i times open parentheses i plus 1 close parentheses times 2 to the power of i end fraction equals 1 minus fraction numerator 1 over denominator open parentheses 1 plus 1 close parentheses times 2 to the power of 1 end fraction$

Dari ruas kiri, didapatkan perhitungan sebagai berikut.

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell sum from i equals 1 to 1 of fraction numerator i plus 2 over denominator i times open parentheses i plus 1 close parentheses times 2 to the power of i end fraction end cell equals cell fraction numerator 1 plus 2 over denominator 1 times open parentheses 1 plus 1 close parentheses times 2 to the power of 1 end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 3 over denominator 1 times 2 times 2 end fraction end cell row blank equals cell 3 over 4 end cell end table$

Dari ruas kanan, didapat perhitungan sebagai berikut.

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 1 minus fraction numerator 1 over denominator open parentheses 1 plus 1 close parentheses times 2 to the power of 1 end fraction end cell equals cell 1 minus fraction numerator 1 over denominator 2 times 2 end fraction end cell row blank equals cell 1 minus 1 fourth end cell row blank equals cell 3 over 4 end cell end table end style$

Karena ruas kiri sama dengan ruas kanan, maka P subscript 1 benar.

LANGKAH 2: Buktikan untuk sembarang bilangan asli , bernilai benar mengakibatkan bernilai benar.

Perhatikan pernyataan berikut.

Asumsikan pernyataan tersebut benar untuk sembarang bilangan asli seperti berikut ini.

$P subscript k colon sum from i equals 1 to k of fraction numerator i plus 2 over denominator i times open parentheses i plus 1 close parentheses times 2 to the power of i end fraction equals 1 minus fraction numerator 1 over denominator open parentheses k plus 1 close parentheses times 2 to the power of k end fraction$

Substitusikan nilai n equals k plus 1 sebagai berikut.

$P subscript k plus 1 end subscript colon sum from i equals 1 to k plus 1 of fraction numerator i plus 2 over denominator i times open parentheses i plus 1 close parentheses times 2 to the power of i end fraction equals 1 minus fraction numerator 1 over denominator open parentheses open parentheses k plus 1 close parentheses plus 1 close parentheses times 2 to the power of k plus 1 end exponent end fraction$

Dari ruas kiri P subscript k plus 1 end subscript didapat perhitungan sebagai berikut.

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell sum from i equals 1 to k plus 1 of fraction numerator i plus 2 over denominator i times open parentheses i plus 1 close parentheses times 2 to the power of i end fraction end cell row blank equals cell sum from i equals 1 to k of fraction numerator i plus 2 over denominator i times open parentheses i plus 1 close parentheses times 2 to the power of i end fraction plus fraction numerator open parentheses k plus 1 close parentheses plus 2 over denominator open parentheses k plus 1 close parentheses times open parentheses open parentheses k plus 1 close parentheses plus 1 close parentheses times 2 to the power of open parentheses k plus 1 close parentheses end exponent end fraction end cell row blank equals cell open parentheses 1 minus fraction numerator 1 over denominator open parentheses k plus 1 close parentheses times 2 to the power of k end fraction close parentheses plus fraction numerator open parentheses k plus 1 close parentheses plus 2 over denominator open parentheses k plus 1 close parentheses times open parentheses open parentheses k plus 1 close parentheses plus 1 close parentheses times 2 to the power of open parentheses k plus 1 close parentheses end exponent end fraction end cell row blank equals cell 1 minus fraction numerator 1 over denominator open parentheses k plus 1 close parentheses times 2 to the power of k end fraction plus fraction numerator k plus 3 over denominator open parentheses k plus 1 close parentheses times open parentheses k plus 2 close parentheses times 2 to the power of k times 2 to the power of 1 end fraction end cell row blank equals cell 1 minus fraction numerator 1 over denominator open parentheses k plus 1 close parentheses times 2 to the power of k end fraction times open parentheses 1 minus fraction numerator k plus 3 over denominator open parentheses k plus 2 close parentheses times 2 end fraction close parentheses end cell row blank equals cell 1 minus fraction numerator 1 over denominator open parentheses k plus 1 close parentheses times 2 to the power of k end fraction times open parentheses 1 minus fraction numerator k plus 3 over denominator 2 k plus 4 end fraction close parentheses end cell row blank equals cell 1 minus fraction numerator 1 over denominator open parentheses k plus 1 close parentheses times 2 to the power of k end fraction times open parentheses fraction numerator 2 k plus 4 over denominator 2 k plus 4 end fraction minus fraction numerator k plus 3 over denominator 2 k plus 4 end fraction close parentheses end cell row blank equals cell 1 minus fraction numerator 1 over denominator open parentheses k plus 1 close parentheses times 2 to the power of k end fraction times fraction numerator open parentheses 2 k plus 4 close parentheses minus open parentheses k plus 3 close parentheses over denominator 2 k plus 4 end fraction end cell row blank equals cell 1 minus fraction numerator 1 over denominator open parentheses k plus 1 close parentheses times 2 to the power of k end fraction times fraction numerator k plus 1 over denominator 2 open parentheses k plus 2 close parentheses end fraction end cell row blank equals cell 1 minus fraction numerator 1 over denominator up diagonal strike open parentheses k plus 1 close parentheses end strike times 2 to the power of k end fraction times fraction numerator up diagonal strike k plus 1 end strike over denominator 2 open parentheses k plus 2 close parentheses end fraction end cell row blank equals cell 1 minus 1 over 2 to the power of k times fraction numerator 1 over denominator 2 open parentheses k plus 2 close parentheses end fraction end cell row blank equals cell 1 minus fraction numerator 1 over denominator open parentheses k plus 2 close parentheses times 2 to the power of k plus 1 end exponent end fraction end cell row blank equals cell 1 minus fraction numerator 1 over denominator open parentheses open parentheses k plus 1 close parentheses plus 1 close parentheses times 2 to the power of k plus 1 end exponent end fraction end cell end table$

Dapat diperhatikan bahwa ruas kiri sama dengan ruas kanan. Jadi, P subscript k plus 1 end subscript bernilai benar.

Dari penjabaran di atas, didapatkan informasi berikut.

benar.
Untuk sembarang bilangan asli , jika bernilai benar mengakibatkan bernilai benar.

Akibatnya, P subscript n benar untuk setiap bilangan asli , menurut prinsip induksi matematika.

Dengan demikian, pada proses pembuktian dengan induksi matematika di atas, didapatkan bahwa pernyataan terbukti dengan induksi matematika.

Jadi, jawaban yang tepat adalah D.

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

0.0 (0 rating)

Pertanyaan serupa

Perhatikan pernyataan berikut! P n : 3 2 + 9 2 + 27 2 + ⋯ + 3 n 2 = 2 − 3 n 1 untuk setiap bilangan asli n . Dengan menggunakan induksi matematika, dapat disimpulkan bahwa ....

5.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui berlaku untuk setiap bilangan bulat n ≥ p . Jika p adalah suatu bilangan bulat, maka nilai minimum yang mungkin untuk p adalah ....

362

4.0

Jawaban terverifikasi

Perhatikan pernyataan berikut untuk setiap bilangan bulat n ≥ 4 . Dengan menggunakan induksi matematika, dapat disimpulkan bahwa ....

5.0

Jawaban terverifikasi

Untuk setiap bilangan asli n , diketahui pernyataan-pernyataan sebagai berikut. 1 ) 2 + 6 + 18 + 54 + ⋯ + 2 ⋅ 3 n − 1 = 3 n − 1 2 ) 3 + 9 + 27 + 81 + ⋯ + 3 n = 2 3 n + 1 − 1 Menggunakan induks...

466

5.0

Jawaban terverifikasi

Untuk setiap bilangan asli n , diketahui pernyataan-pernyataan sebagai berikut : Menggunakan induksi matematika, pernyataan yang bernilai benar ditunjukkan oleh nomor ....

681

5.0

Jawaban terverifikasi