Roboguru

Diberikan pernyataan sebagai berikut. untuk setiap bilangan asli n. Dengan menggunakan induksi matematika, dapat disimpulkan bahwa ....

Pertanyaan

Diberikan pernyataan sebagai berikut.

sum from i equals 1 to n of fraction numerator i plus 2 over denominator i times open parentheses i plus 1 close parentheses times 2 to the power of i end fraction equals 1 minus fraction numerator 1 over denominator open parentheses n plus 1 close parentheses times 2 to the power of n end fraction

untuk setiap bilangan asli n.

Dengan menggunakan induksi matematika, dapat disimpulkan bahwa ....

  1. pernyataan tidak terbukti, karena tahap pertama tidak bisa dibuktikan meskipun tahap kedua bisa dibuktikanspace 

  2. pernyataan tidak terbukti, karena tahap kedua tidak bisa dibuktikan meskipun tahap pertama bisa dibuktikanspace 

  3. pernyataan tidak terbukti, karena tahap pertama dan kedua tidak bisa dibuktikanspace 

  4. pernyataan terbukti dengan induksi matematikaspace 

  5. tidak ada yang dapat disimpulkanspace 

Pembahasan Soal:

Diberikan pernyataan sebagai berikut.

P subscript n colon sum from i equals 1 to n of fraction numerator i plus 2 over denominator i times open parentheses i plus 1 close parentheses times 2 to the power of i end fraction equals 1 minus fraction numerator 1 over denominator open parentheses n plus 1 close parentheses times 2 to the power of n end fraction

untuk setiap bilangan asli n.

Karena akan dibuktikan pernyataan untuk setiap bilangan asli n, yaitu begin mathsize 14px style n greater or equal than 1 end style, maka langkah pertamanya adalah buktikan P subscript 1 benar.

LANGKAH 1: Buktikan P subscript 1 benar.

Perhatikan pernyataan berikut.

P subscript n colon sum from i equals 1 to n of fraction numerator i plus 2 over denominator i times open parentheses i plus 1 close parentheses times 2 to the power of i end fraction equals 1 minus fraction numerator 1 over denominator open parentheses n plus 1 close parentheses times 2 to the power of n end fraction

Substitusikan nilai n equals 1 seperti berikut ini.

P subscript 1 colon sum from i equals 1 to 1 of fraction numerator i plus 2 over denominator i times open parentheses i plus 1 close parentheses times 2 to the power of i end fraction equals 1 minus fraction numerator 1 over denominator open parentheses 1 plus 1 close parentheses times 2 to the power of 1 end fraction

Dari ruas kiri, didapatkan perhitungan sebagai berikut.

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell sum from i equals 1 to 1 of fraction numerator i plus 2 over denominator i times open parentheses i plus 1 close parentheses times 2 to the power of i end fraction end cell equals cell fraction numerator 1 plus 2 over denominator 1 times open parentheses 1 plus 1 close parentheses times 2 to the power of 1 end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 3 over denominator 1 times 2 times 2 end fraction end cell row blank equals cell 3 over 4 end cell end table

Dari ruas kanan, didapat perhitungan sebagai berikut.

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 1 minus fraction numerator 1 over denominator open parentheses 1 plus 1 close parentheses times 2 to the power of 1 end fraction end cell equals cell 1 minus fraction numerator 1 over denominator 2 times 2 end fraction end cell row blank equals cell 1 minus 1 fourth end cell row blank equals cell 3 over 4 end cell end table end style

Karena ruas kiri sama dengan ruas kanan, maka P subscript 1 benar.

LANGKAH 2: Buktikan untuk sembarang bilangan asli k , P subscript k bernilai benar mengakibatkan P subscript k plus 1 end subscript bernilai benar.

Perhatikan pernyataan berikut.

P subscript n colon sum from i equals 1 to n of fraction numerator i plus 2 over denominator i times open parentheses i plus 1 close parentheses times 2 to the power of i end fraction equals 1 minus fraction numerator 1 over denominator open parentheses n plus 1 close parentheses times 2 to the power of n end fraction

Asumsikan pernyataan tersebut benar untuk sembarang bilangan asli k seperti berikut ini.

P subscript k colon sum from i equals 1 to k of fraction numerator i plus 2 over denominator i times open parentheses i plus 1 close parentheses times 2 to the power of i end fraction equals 1 minus fraction numerator 1 over denominator open parentheses k plus 1 close parentheses times 2 to the power of k end fraction

Substitusikan nilai n equals k plus 1 sebagai berikut.

P subscript k plus 1 end subscript colon sum from i equals 1 to k plus 1 of fraction numerator i plus 2 over denominator i times open parentheses i plus 1 close parentheses times 2 to the power of i end fraction equals 1 minus fraction numerator 1 over denominator open parentheses open parentheses k plus 1 close parentheses plus 1 close parentheses times 2 to the power of k plus 1 end exponent end fraction

Dari ruas kiri P subscript k plus 1 end subscript didapat perhitungan sebagai berikut.

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell sum from i equals 1 to k plus 1 of fraction numerator i plus 2 over denominator i times open parentheses i plus 1 close parentheses times 2 to the power of i end fraction end cell row blank equals cell sum from i equals 1 to k of fraction numerator i plus 2 over denominator i times open parentheses i plus 1 close parentheses times 2 to the power of i end fraction plus fraction numerator open parentheses k plus 1 close parentheses plus 2 over denominator open parentheses k plus 1 close parentheses times open parentheses open parentheses k plus 1 close parentheses plus 1 close parentheses times 2 to the power of open parentheses k plus 1 close parentheses end exponent end fraction end cell row blank equals cell open parentheses 1 minus fraction numerator 1 over denominator open parentheses k plus 1 close parentheses times 2 to the power of k end fraction close parentheses plus fraction numerator open parentheses k plus 1 close parentheses plus 2 over denominator open parentheses k plus 1 close parentheses times open parentheses open parentheses k plus 1 close parentheses plus 1 close parentheses times 2 to the power of open parentheses k plus 1 close parentheses end exponent end fraction end cell row blank equals cell 1 minus fraction numerator 1 over denominator open parentheses k plus 1 close parentheses times 2 to the power of k end fraction plus fraction numerator k plus 3 over denominator open parentheses k plus 1 close parentheses times open parentheses k plus 2 close parentheses times 2 to the power of k times 2 to the power of 1 end fraction end cell row blank equals cell 1 minus fraction numerator 1 over denominator open parentheses k plus 1 close parentheses times 2 to the power of k end fraction times open parentheses 1 minus fraction numerator k plus 3 over denominator open parentheses k plus 2 close parentheses times 2 end fraction close parentheses end cell row blank equals cell 1 minus fraction numerator 1 over denominator open parentheses k plus 1 close parentheses times 2 to the power of k end fraction times open parentheses 1 minus fraction numerator k plus 3 over denominator 2 k plus 4 end fraction close parentheses end cell row blank equals cell 1 minus fraction numerator 1 over denominator open parentheses k plus 1 close parentheses times 2 to the power of k end fraction times open parentheses fraction numerator 2 k plus 4 over denominator 2 k plus 4 end fraction minus fraction numerator k plus 3 over denominator 2 k plus 4 end fraction close parentheses end cell row blank equals cell 1 minus fraction numerator 1 over denominator open parentheses k plus 1 close parentheses times 2 to the power of k end fraction times fraction numerator open parentheses 2 k plus 4 close parentheses minus open parentheses k plus 3 close parentheses over denominator 2 k plus 4 end fraction end cell row blank equals cell 1 minus fraction numerator 1 over denominator open parentheses k plus 1 close parentheses times 2 to the power of k end fraction times fraction numerator k plus 1 over denominator 2 open parentheses k plus 2 close parentheses end fraction end cell row blank equals cell 1 minus fraction numerator 1 over denominator up diagonal strike open parentheses k plus 1 close parentheses end strike times 2 to the power of k end fraction times fraction numerator up diagonal strike k plus 1 end strike over denominator 2 open parentheses k plus 2 close parentheses end fraction end cell row blank equals cell 1 minus 1 over 2 to the power of k times fraction numerator 1 over denominator 2 open parentheses k plus 2 close parentheses end fraction end cell row blank equals cell 1 minus fraction numerator 1 over denominator open parentheses k plus 2 close parentheses times 2 to the power of k plus 1 end exponent end fraction end cell row blank equals cell 1 minus fraction numerator 1 over denominator open parentheses open parentheses k plus 1 close parentheses plus 1 close parentheses times 2 to the power of k plus 1 end exponent end fraction end cell end table

Dapat diperhatikan bahwa ruas kiri sama dengan ruas kanan. Jadi, P subscript k plus 1 end subscript bernilai benar.

Dari penjabaran di atas, didapatkan informasi berikut.

  1. P subscript 1 benar.
  2. Untuk sembarang bilangan asli k, jika P subscript k bernilai benar mengakibatkan P subscript k plus 1 end subscript bernilai benar.

Akibatnya, P subscript n benar untuk setiap bilangan asli n, menurut prinsip induksi matematika.

Dengan demikian, pada proses pembuktian dengan induksi matematika di atas, didapatkan bahwa pernyataan terbukti dengan induksi matematika.

Jadi, jawaban yang tepat adalah D.

Pembahasan terverifikasi oleh Roboguru

Dijawab oleh:

W. Sholihah

Terakhir diupdate 07 Oktober 2021

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

Pertanyaan yang serupa

Diketahui  berlaku untuk setiap bilangan bulat n ≥ p. Jika p adalah suatu bilangan bulat, maka nilai minimum yang mungkin untuk p adalah ....

0

Roboguru

Perhatikan pernyataan berikut! Pn​:32​+92​+272​+⋯+3n2​=2−3n1​ untuk setiap bilangan asli n. Dengan menggunakan induksi matematika, dapat disimpulkan bahwa ....

0

Roboguru

Untuk setiap bilangan asli n, diketahui pernyataan-pernyataan sebagai berikut. 1)2+6+18+54+⋯+2⋅3n−1=3n−12)3+9+27+81+⋯+3n=23n+1−1​  Menggunakan induksi matematika, pernyataan yang bernilai benar ditu...

1

Roboguru

Untuk setiap bilangan asli n , diketahui pernyataan-pernyataan sebagai berikut :   Menggunakan induksi matematika, pernyataan yang bernilai benar ditunjukkan oleh nomor ....

3

Roboguru

Perhatikan pernyataan berikut   untuk setiap bilangan bulat n ≥ 4 . Dengan menggunakan induksi matematika, dapat disimpulkan bahwa ....

0

Roboguru

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Produk Ruangguru

Produk Lainnya

Hubungi Kami

Ikuti Kami

©2021 Ruangguru. All Rights Reserved