Pertanyaan

Perhatikan pernyataan berikut untuk setiap bilangan bulat n ≥ 4 . Dengan menggunakan induksi matematika, dapat disimpulkan bahwa ....

Perhatikan pernyataan berikut

$begin mathsize 14px style sum from straight i equals 4 to straight n of open parentheses product from straight j equals 1 to 3 of straight i close parentheses equals fraction numerator straight n open parentheses straight n plus 1 close parentheses minus 12 over denominator 2 end fraction times fraction numerator straight n open parentheses straight n plus 1 close parentheses plus 12 over denominator 2 end fraction end style$

untuk setiap bilangan bulat n ≥ 4 .

Dengan menggunakan induksi matematika, dapat disimpulkan bahwa ....

pernyataan salah karena terdapat kesalahan pada langkah pertama
pernyataan salah karena terdapat kesalahan pada langkah kedua
pernyataan salah karena terdapat kesalahan pada langkah pertama maupun pada langkah kedua
pernyataan terbukti benar tanpa ada kesalahan
tidak ada yang dapat disimpulkan

Y. Laksmi

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Negeri Semarang

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang tepat adalah D.

Pembahasan

Perhatikan pernyataan untuk setiap bilangan bulat n ≥ 4 . Karena akan dibuktikan pernyataan untuk setiap bilangan bulat n ≥ 4 , maka langkah pertamanya adalah buktikan benar. LANGKAH 1 : Buktikan benar. Perhatikan pernyataan maka Ruas kiri : Ruas kanan : Karena ruas kiri = ruas kanan, maka benar. LANGKAH 2 : Buktikan untuk sembarang bilangan bulat k ≥ 4 , bernilai benar mengakibatkan bernilai benar. Perhatikan pernyataan Asumsikan bernilai benar. Perhatikan Dari ruas kiri Dapat diperhatikan bahwa ruas kiri = ruas kanan. Sehingga, P k +1 bernilai benar. Karena 1. benar. 2. Untuk sembarang bilangan bulat k ≥ 4 , jika bernilai benar mengakibatkan bernilai benar. Maka, benar untuk setiap bilangan bulat n ≥ 4 , menurut prinsip induksi matematika. Sehingga, pada proses pembuktian dengan induksi matematika di atas, didapatkan bahwa pernyataan terbukti benar tanpa ada kesalahan. Jadi, jawaban yang tepat adalah D.

Perhatikan pernyataan

$begin mathsize 14px style straight P subscript straight n colon sum from straight i equals 4 to straight n of open parentheses product from straight j equals 1 to 3 of straight i close parentheses equals fraction numerator straight n open parentheses straight n plus 1 close parentheses minus 12 over denominator 2 end fraction times fraction numerator straight n open parentheses straight n plus 1 close parentheses plus 12 over denominator 2 end fraction end style$

untuk setiap bilangan bulat n ≥ 4 .

Karena akan dibuktikan pernyataan untuk setiap bilangan bulat n ≥ 4 , maka langkah pertamanya adalah buktikan benar.

LANGKAH 1 : Buktikan benar.

Perhatikan pernyataan

maka

$begin mathsize 14px style straight P subscript 4 colon sum from straight i equals 4 to 4 of open parentheses product from straight j equals 1 to 3 of straight i close parentheses equals fraction numerator 4 open parentheses 4 plus 1 close parentheses minus 12 over denominator 2 end fraction times fraction numerator 4 open parentheses 4 plus 1 close parentheses plus 12 over denominator 2 end fraction end style$

Ruas kiri :

Ruas kanan :

$begin mathsize 14px style fraction numerator 4 open parentheses 4 plus 1 close parentheses minus 12 over denominator 2 end fraction times fraction numerator 4 open parentheses 4 plus 1 close parentheses plus 12 over denominator 2 end fraction equals fraction numerator 4 times 5 minus 12 over denominator 2 end fraction times fraction numerator 4 times 5 plus 12 over denominator 2 end fraction equals fraction numerator 20 minus 12 over denominator 2 end fraction times fraction numerator 20 plus 12 over denominator 2 end fraction equals 8 over 2 times 32 over 2 equals 4 times 16 equals 64 end style$

Karena ruas kiri = ruas kanan, maka benar.

LANGKAH 2 : Buktikan untuk sembarang bilangan bulat k ≥ 4 , bernilai benar mengakibatkan bernilai benar.

Perhatikan pernyataan

Asumsikan

$begin mathsize 14px style straight P subscript straight k colon sum from straight i equals 4 to straight k of open parentheses product from straight j equals 1 to 3 of straight i close parentheses equals fraction numerator straight k open parentheses straight k plus 1 close parentheses minus 12 over denominator 2 end fraction times fraction numerator straight k open parentheses straight k plus 1 close parentheses plus 12 over denominator 2 end fraction end style$

bernilai benar.

Perhatikan

$begin mathsize 14px style straight P subscript straight k plus 1 end subscript colon sum from straight i equals 4 to straight k plus 1 of open parentheses product from straight j equals 1 to 3 of straight i close parentheses equals fraction numerator open parentheses straight k plus 1 close parentheses open parentheses open parentheses straight k plus 1 close parentheses plus 1 close parentheses minus 12 over denominator 2 end fraction times fraction numerator open parentheses straight k plus 1 close parentheses open parentheses open parentheses straight k plus 1 close parentheses plus 1 close parentheses plus 12 over denominator 2 end fraction end style$

Dari ruas kiri

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell sum from straight i equals 4 to straight k plus 1 of open parentheses product from straight j equals 1 to 3 of straight i close parentheses end cell row blank equals cell sum from straight i equals 4 to straight k of open parentheses product from straight j equals 1 to 3 of straight i close parentheses plus sum from straight i equals straight k plus 1 to straight k plus 1 of open parentheses product from straight j equals 1 to 3 of straight i close parentheses end cell row blank equals cell fraction numerator straight k open parentheses straight k plus 1 close parentheses minus 12 over denominator 2 end fraction times fraction numerator straight k open parentheses straight k plus 1 close parentheses plus 12 over denominator 2 end fraction plus product from straight j equals 1 to 3 of open parentheses straight k plus 1 close parentheses end cell row blank equals cell fraction numerator open parentheses straight k open parentheses straight k plus 1 close parentheses minus 12 close parentheses open parentheses straight k open parentheses straight k plus 1 close parentheses plus 12 close parentheses over denominator 4 end fraction plus open parentheses straight k plus 1 close parentheses times open parentheses straight k plus 1 close parentheses times open parentheses straight k plus 1 close parentheses end cell row blank equals cell fraction numerator open parentheses straight k open parentheses straight k plus 1 close parentheses close parentheses squared minus 12 squared over denominator 4 end fraction plus open parentheses straight k plus 1 close parentheses cubed end cell row blank equals cell fraction numerator straight k squared open parentheses straight k plus 1 close parentheses squared minus 144 over denominator 4 end fraction plus fraction numerator 4 open parentheses straight k plus 1 close parentheses cubed over denominator 4 end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator straight k squared open parentheses straight k plus 1 close parentheses squared plus 4 open parentheses straight k plus 1 close parentheses cubed minus 144 over denominator 4 end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator open parentheses straight k plus 1 close parentheses squared open parentheses straight k squared plus 4 open parentheses straight k plus 1 close parentheses close parentheses minus 144 over denominator 4 end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator open parentheses straight k plus 1 close parentheses squared open parentheses straight k squared plus 4 straight k plus 4 close parentheses minus 144 over denominator 4 end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator open parentheses straight k plus 1 close parentheses squared open parentheses straight k plus 2 close parentheses squared minus 144 over denominator 4 end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator open parentheses open parentheses straight k plus 1 close parentheses open parentheses straight k plus 2 close parentheses close parentheses squared minus 12 squared over denominator 4 end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator open parentheses open parentheses straight k plus 1 close parentheses open parentheses straight k plus 2 close parentheses minus 12 close parentheses open parentheses open parentheses straight k plus 1 close parentheses open parentheses straight k plus 2 close parentheses plus 12 close parentheses over denominator 4 end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator open parentheses straight k plus 1 close parentheses open parentheses straight k plus 2 close parentheses minus 12 over denominator 2 end fraction times fraction numerator open parentheses straight k plus 1 close parentheses open parentheses straight k plus 2 close parentheses plus 12 over denominator 2 end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator open parentheses straight k plus 1 close parentheses open parentheses open parentheses straight k plus 1 close parentheses plus 1 close parentheses minus 12 over denominator 2 end fraction times fraction numerator open parentheses straight k plus 1 close parentheses open parentheses open parentheses straight k plus 1 close parentheses plus 1 close parentheses plus 12 over denominator 2 end fraction end cell end table end style$

Dapat diperhatikan bahwa ruas kiri = ruas kanan.
Sehingga, Pk+1 bernilai benar.

Karena

1. benar.

2. Untuk sembarang bilangan bulat k ≥ 4 , jika bernilai benar mengakibatkan bernilai benar.

Maka, benar untuk setiap bilangan bulat n ≥ 4 , menurut prinsip induksi matematika.

Sehingga, pada proses pembuktian dengan induksi matematika di atas, didapatkan bahwa pernyataan terbukti benar tanpa ada kesalahan.

Jadi, jawaban yang tepat adalah D.

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

5.0 (1 rating)

elwalley

Makasih ❤️

Pertanyaan serupa

Untuk setiap bilangan asli n , diketahui pernyataan-pernyataan sebagai berikut : Menggunakan induksi matematika, pernyataan yang bernilai benar ditunjukkan oleh nomor ....

3.5

Jawaban terverifikasi

Perhatikan pernyataan berikut! untuk setiap bilangan asli n . Dengan menggunakan induksi matematika, dapat disimpulkan bahwa ....

0.0

Jawaban terverifikasi

Untuk setiap bilangan asli n , diketahui pernyataan-pernyataan sebagai berikut. Menggunakan induksi matematika, pernyataan yang bernilai benar ditunjukkan oleh nomor ....

0.0

Jawaban terverifikasi

Untuk setiap bilangan asli n , diketahui pernyataan-pernyataan sebagai berikut. 1 ) i = 1 ∑ n 2 i 1 = 1 − 2 n 1 2 ) i = 1 ∑ n ( 5 ⋅ 6 i ) = 6 n + 1 − 6 Dengan menggunakan induksi matemat...

5.0

Jawaban terverifikasi

Untuk setiap bilangan asli n , diketahui pernyataan-pernyataan sebagai berikut : Menggunakan induksi matematika, pernyataan yang bernilai benar ditunjukkan oleh nomor ....

3.5

Jawaban terverifikasi