Roboguru

Diberikan suatu daerah yang dibatasi oleh y=5x−2x2, y=x, dan berada pada kuadran I. Jika daerah tersebut diputar sejauh 360∘ mengelilingi sumbu-x, maka volume dari benda yang akan terbentuk adalah … satuan volume.

Pertanyaan

Diberikan suatu daerah yang dibatasi oleh begin mathsize 14px style y equals 5 x minus 2 x squared end stylebegin mathsize 14px style y equals x end style, dan berada pada kuadran I. Jika daerah tersebut diputar sejauh begin mathsize 14px style 360 degree end style mengelilingi sumbu-begin mathsize 14px style italic x end style, maka volume dari benda yang akan terbentuk adalah … satuan volume.

  1. begin mathsize 14px style fraction numerator 8 italic pi over denominator 3 end fraction end style 

  2. begin mathsize 14px style fraction numerator 20 italic pi over denominator 3 end fraction end style 

  3. begin mathsize 14px style fraction numerator 28 italic pi over denominator 5 end fraction end style 

  4. begin mathsize 14px style fraction numerator 48 italic pi over denominator 5 end fraction end style 

  5. begin mathsize 14px style fraction numerator 224 italic pi over denominator 15 end fraction end style 

Pembahasan Soal:

Perhatikan gambar berikut!

Diketahui  daerah tersebut dibatasi oleh begin mathsize 14px style y equals 5 x minus 2 x squared end stylebegin mathsize 14px style y equals x end style, dan berada pada kuadran I. Pertama, akan ditentukan interval daerahnya dengan cara mencari titik potong dari kedua kurva.

Misal begin mathsize 14px style italic y subscript 1 equals italic x end style dan begin mathsize 14px style italic y subscript 2 equals 5 italic x minus sign 2 italic x squared end style. Titik potongnya dapat dicari dengan cara sebagai berikut.

Error converting from MathML to accessible text. 

Didapat interval dari daerah antara kedua kurva tersebut adalah begin mathsize 14px style 0 less or equal than italic x less or equal than 2. end style Dengan kata lain, batas bawah dari integral yang akan dicari adalah begin mathsize 14px style 0 end style dan batas atasnya adalah begin mathsize 14px style 2 end style.

Kemudian, perhatikan jika kedua kurva tersebut diputar sejauh undefined mengelilingi sumbu-begin mathsize 14px style italic x comma end style maka volume yang paling besar adalah milik begin mathsize 14px style italic y equals 5 italic x minus sign 2 italic x squared end style dan yang paling kecil adalah milik begin mathsize 14px style italic y equals italic x end style.  Oleh karena itu, volume dari daerah di antara kedua kurva adalah

begin mathsize 14px style V equals pi integral subscript 0 superscript 2 open parentheses open parentheses f left parenthesis x right parenthesis close parentheses squared minus open parentheses g left parenthesis x right parenthesis close parentheses squared close parentheses space d x end style

dengan begin mathsize 14px style f left parenthesis x right parenthesis equals 5 x minus 2 x squared end style dan begin mathsize 14px style g left parenthesis x right parenthesis equals x end style.

Perhatikan perhitungan berikut ini!

 begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row V equals cell pi integral subscript 0 superscript 2 open parentheses open parentheses f left parenthesis x right parenthesis close parentheses squared minus open parentheses g left parenthesis x right parenthesis close parentheses squared close parentheses space d x end cell row blank equals cell pi integral subscript 0 superscript 2 open parentheses open parentheses 5 x minus 2 x squared close parentheses squared minus open parentheses x close parentheses squared close parentheses space d x end cell row blank equals cell pi integral subscript 0 superscript 2 open parentheses 25 x squared minus 20 x cubed plus 4 x to the power of 4 minus x squared close parentheses space d x end cell row blank equals cell pi integral subscript 0 superscript 2 open parentheses 24 x squared minus 20 x cubed plus 4 x to the power of 4 close parentheses space d x end cell row blank equals cell 4 pi integral subscript 0 superscript 2 open parentheses 6 x squared minus 5 x cubed plus x to the power of 4 close parentheses space d x end cell row blank equals cell 4 pi open square brackets 6 over 3 x cubed minus 5 over 4 x to the power of 4 plus 1 fifth x to the power of 5 close square brackets subscript 0 superscript 2 end cell row blank equals cell 4 pi open parentheses 6 over 3 times 2 cubed minus 5 over 4 times 2 to the power of 4 plus 1 fifth times 2 to the power of 5 minus open parentheses 6 over 3 times 0 cubed minus 5 over 4 times 0 to the power of 4 plus 1 fifth times 0 to the power of 5 close parentheses close parentheses end cell row blank equals cell 4 pi open parentheses 48 over 3 minus 20 plus 32 over 5 minus 0 close parentheses end cell row blank equals cell 4 pi open parentheses 16 minus 20 plus 32 over 5 close parentheses end cell row blank equals cell 4 pi open parentheses 12 over 5 close parentheses end cell row blank equals cell fraction numerator 48 pi over denominator 5 end fraction end cell end table end style

Dengan demikian, volume benda putar yang dimaksud adalah begin mathsize 14px style fraction numerator 48 pi over denominator 5 end fraction end style satuan volume.

Jadi, jawaban yang tepat adalah D. 

Pembahasan terverifikasi oleh Roboguru

Dijawab oleh:

R. Azizatul

Mahasiswa/Alumni Universitas Negeri Yogyakarta

Terakhir diupdate 04 Oktober 2021

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

Pertanyaan yang serupa

Diberikan daerah yang dibatasi oleh y=2x2 dan kuadran I pada interval 1≤x≤2. Jika daerah tersebut diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360∘, maka volume dari benda putar yang akan terbentuk adalah … sa...

Pembahasan Soal:

Perhatikan gambar berikut ini!

Jika daerah yang diarsir diputar mengelilingi sumbu-undefined sejauh undefined pada interval undefined, maka volume yang didapat adalah sebagai berikut.

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row V equals cell pi integral subscript 1 superscript 2 open parentheses f left parenthesis x right parenthesis close parentheses squared space d x end cell row blank equals cell pi integral subscript 1 superscript 2 open parentheses 2 x squared close parentheses squared space d x end cell row blank equals cell pi integral subscript 1 superscript 2 4 x to the power of 4 space d x end cell row blank equals cell pi open square brackets 4 over 5 x to the power of 5 close square brackets subscript 1 superscript 2 end cell row blank equals cell fraction numerator 4 pi over denominator 5 end fraction open parentheses 2 to the power of 5 minus 1 to the power of 5 close parentheses end cell row blank equals cell fraction numerator 4 pi over denominator 5 end fraction open parentheses 32 minus 1 close parentheses end cell row blank equals cell fraction numerator 4 pi over denominator 5 end fraction times 31 end cell row blank equals cell fraction numerator 124 pi over denominator 5 end fraction end cell end table end style

Jadi, jawaban yang tepat adalah B. 

0

Roboguru

Diberikan suatu daerah yang dibatasi oleh kurva y=51​x​,y=2x​,dan garis x=5. Jika daerah tersebut adalah hasil perputaran 360∘ mengelilingi sumbu-x, maka volume dari benda yang akan terbentuk adalah …...

Pembahasan Soal:

Perhatikan gambar berikut ini!

 

Diketahui sebuah daerah yang dibatasi oleh kurva begin mathsize 14px style y equals square root of 1 fifth x end root space comma space y equals square root of 2 x end root comma blank end styledan garis begin mathsize 14px style italic x equals 5 end style.

Pertama, akan ditentukan interval daerahnya.

Perhatikan bahwa begin mathsize 14px style italic y equals square root of 1 fifth italic x end root space dan space italic y equals square root of 2 italic x end root end style berpotongan di begin mathsize 14px style italic x equals 0 end style. Sehingga batas bawah interval daerahnya adalah begin mathsize 14px style 0 end style. Kemudian, daerah tersebut juga dibatasi oleh undefined. Sehingga batas atas interval daerahnya adalah begin mathsize 14px style 5 end style. Didapat intervalnya adalah begin mathsize 14px style 0 less or equal than italic x less or equal than 5 end style.

Kemudian, perhatikan jika kedua kurva tersebut diputar sejauh undefined mengelilingi sumbu-undefined maka volume yang paling besar adalah milik begin mathsize 14px style italic y equals square root of 2 italic x end root end style  dan yang paling kecil adalah milik begin mathsize 14px style italic y equals square root of 1 fifth italic x end root end style.  Sehingga, volume dari daerah di antara kedua kurva adalah

begin mathsize 14px style V equals pi integral subscript 0 superscript 5 open parentheses open parentheses f left parenthesis x right parenthesis close parentheses squared minus open parentheses g left parenthesis x right parenthesis close parentheses squared close parentheses space d x end style

dengan begin mathsize 14px style italic f open parentheses italic x close parentheses equals square root of 2 italic x end root space dan space italic g open parentheses italic x close parentheses equals square root of 1 fifth italic x end root end style 

Perhatikan perhitungan berikut ini!

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row V equals cell pi integral subscript 0 superscript 5 open parentheses open parentheses f left parenthesis x right parenthesis close parentheses squared minus open parentheses g left parenthesis x right parenthesis close parentheses squared close parentheses space d x end cell row blank equals cell pi integral subscript 0 superscript 5 open parentheses open parentheses square root of 2 x end root close parentheses squared minus open parentheses square root of 1 fifth x end root close parentheses squared close parentheses space d x end cell row blank equals cell pi integral subscript 0 superscript 5 open parentheses 2 x minus 1 fifth x close parentheses space d x end cell row blank equals cell pi integral subscript 0 superscript 5 9 over 5 x space d x end cell row blank equals cell pi open square brackets 9 over 10 x squared close square brackets subscript 0 superscript 5 end cell row blank equals cell fraction numerator 9 pi over denominator 10 end fraction open parentheses 5 squared minus 0 squared close parentheses end cell row blank equals cell fraction numerator 9 pi over denominator 10 end fraction open parentheses 25 close parentheses end cell row blank equals cell fraction numerator 45 pi over denominator 2 end fraction end cell end table end style

Jadi, jawabannya adalah A. 

0

Roboguru

Diberikan suatu daerah yang dibatasi oleh kurva y=31​x2, y=x, dan berada pada kuadran I. Jika daerah tersebut diputar sejauh 360∘ mengelilingi sumbu-x, maka volume dari benda yang akan terbentuk adala...

Pembahasan Soal:

Perhatikan gambar berikut ini!

Diketahui daerah yang dibatasi oleh kurva Error converting from MathML to accessible text.dan berada pada kuadran I. Pertama, akan ditentukan interval daerahnya.

Misal undefined dan begin mathsize 14px style italic y subscript 2 equals 1 third italic x squared end style. Titik potong dari kedua kurva tersebut dapat dicari dengan cara sebagai berikut.

begin mathsize 14px style y subscript 1 equals y subscript 2 x equals 1 third x squared 0 equals 1 third x squared minus x 0 equals x open parentheses 1 third minus x close parentheses x equals 0 space atau space x equals 1 third end style 

Didapat interval dari daerah antara kedua kurva tersebut adalah Error converting from MathML to accessible text.Dengan kata lain, batas bawah dari integral yang akan dicari adalah undefined dan batas atasnya adalah begin mathsize 14px style 3 end style.

Kemudian, perhatikan bahwa jika ke dua kurva tersebut diputar sejauh undefined mengelilingi sumbu-undefined maka volume yang paling besar adalah milik undefined dan yang paling kecil adalah milik begin mathsize 14px style italic y equals 1 third italic x squared end style

Dengan demikian, volume dari daerah di antara kedua kurva adalah

begin mathsize 14px style V equals pi integral subscript 0 superscript 3 open parentheses open parentheses f left parenthesis x right parenthesis close parentheses squared minus open parentheses g left parenthesis x right parenthesis close parentheses squared close parentheses space d x end style

dengan begin mathsize 14px style f left parenthesis x right parenthesis equals x end style dan begin mathsize 14px style g left parenthesis x right parenthesis equals 1 third x squared end style.

Perhatikan perhitungan berikut!

 begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row V equals cell pi integral subscript 0 superscript 3 open curly brackets open parentheses f left parenthesis x right parenthesis close parentheses squared minus open parentheses g left parenthesis x right parenthesis close parentheses squared close curly brackets d x end cell row blank equals cell pi integral subscript 0 superscript 3 open curly brackets open parentheses x close parentheses squared minus open parentheses 1 third x squared close parentheses squared close curly brackets d x end cell row blank equals cell pi integral subscript 0 superscript 3 open curly brackets x squared minus 1 over 9 x to the power of 4 close curly brackets d x end cell row blank equals cell pi open square brackets 1 third x cubed minus 1 over 45 x to the power of 5 close square brackets subscript 0 superscript 3 end cell row blank equals cell pi open square brackets open parentheses 1 third times 3 cubed minus 1 over 45 times 3 to the power of 5 close parentheses minus open parentheses 1 third times 0 cubed minus 1 over 45 times 0 to the power of 5 close parentheses close square brackets end cell row blank equals cell pi open square brackets open parentheses 27 over 3 minus 243 over 45 close parentheses minus 0 close square brackets end cell row blank equals cell pi open parentheses 9 minus 27 over 5 close parentheses end cell row blank equals cell pi open parentheses 18 over 5 close parentheses end cell row blank equals cell 18 over 5 pi end cell end table end style

Jadi, jawabannya adalah C. 

0

Roboguru

Perhatikan gambar grafik berikut ini! Diberikan kurva y=3x dan daerah dengan interval 0≤x≤3 seperti pada gambar di atas. Jika daerah tersebut diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360∘, maka volume d...

Pembahasan Soal:

Perhatikan jika daerah yang diarsir tersebut diputar mengelilingi sumbu-undefined sejauh Error converting from MathML to accessible text.pada interval undefined, maka akan terbentuk sebuah kerucut seperti pada gambar berikut ini.

Jika dilakukan substitusi begin mathsize 14px style x equals 3 end style ke begin mathsize 14px style italic y equals 3 italic x end style, akan didapat begin mathsize 14px style y equals 3 times 3 equals 9 end style. Dengan demikian, didapat batas pada sumbu-begin mathsize 14px style y end style positif, yaitu begin mathsize 14px style y equals 9 end style.

Kemudian, karena dia diputar mengelilingi sumbu-undefined sejauh begin mathsize 14px style 360 degree end style, maka didapat batas pada sumbu-begin mathsize 14px style y end style negatif, yaitu begin mathsize 14px style y equals negative 9 end style.

Dapat diperhatikan bahwa benda tersebut akan berbentuk sebuah kerucut dengan tinggi begin mathsize 14px style 3 end style dan panjang jari-jari begin mathsize 14px style 9 end style.

Akibatnya, volumenya adalah sebagai berikut.

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row V equals cell 1 third pi r squared t end cell row blank equals cell pi over 3 times 9 squared times 3 end cell row blank equals cell 81 pi end cell end table end style

Jadi, jawabannya adalah E. 

0

Roboguru

Diberikan daerah di kuadran I yang dibatasi oleh kurva y=−x2+16 pada interval 7≤y≤15. Jika daerah tersebut diputar sejauh 360∘ mengelilingi sumbu-y, maka volume dari benda yang akan terbentuk adalah …...

Pembahasan Soal:

Perhatikan jika daerah di kuadran I yang dibatasi oleh kurva begin mathsize 14px style italic y equals minus sign italic x squared plus 16 end style pada interval begin mathsize 14px style 7 less or equal than y less or equal than 15 end style akan diputar mengelilingi sumbu-undefined sejauh undefined,maka didapat volume benda putar sebagai berikut.

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row V equals cell pi integral subscript 7 superscript 15 open parentheses f left parenthesis y right parenthesis close parentheses squared space d y end cell row blank equals cell pi integral subscript 7 superscript 15 open parentheses square root of 16 minus y end root close parentheses squared space d y end cell row blank equals cell pi integral subscript 7 superscript 15 open parentheses 16 minus y close parentheses space d y end cell row blank equals cell pi open square brackets 16 y minus 1 half y squared close square brackets subscript 7 superscript 15 end cell row blank equals cell pi open parentheses 16 times 15 minus 1 half times 15 squared minus open parentheses 16 times 7 minus 1 half times 7 squared close parentheses close parentheses end cell row blank equals cell pi open parentheses 240 minus 225 over 2 minus 112 plus 49 over 2 close parentheses end cell row blank equals cell 40 pi end cell end table end style 

Jadi, jawabannya adalah E.

0

Roboguru

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Produk Ruangguru

Produk Lainnya

Hubungi Kami

Ikuti Kami

©2021 Ruangguru. All Rights Reserved