Roboguru

Diberikan sebuah barisan ditentukan oleh   dan . Buktikan bahwa  habis dibagi .

Pertanyaan

Diberikan sebuah barisan ditentukan oleh 

begin mathsize 14px style U subscript n equals 5 to the power of n plus 12 n minus 1 end style dan begin mathsize 14px style U subscript n plus 1 end subscript equals 5 U subscript n end style.

Buktikan bahwa undefined habis dibagi begin mathsize 14px style 16 end style

Pembahasan Soal:

Langkah-langkah induksi:

  1. Buktikan untuk bilangan 1, pernyataan tersebut benar.
  2. Nyatakan untuk bilangan asli sembarang, misalnya k, pernyataan tersebut diasumsikan benar.
  3. Buktikan untuk bilangan asli k plus 1 pernyataan tersebut juga benar. 

Maka:

Langkah 1: 

Untuk n equals 1, maka

U1===51+12(1)15+12116   

16 habis dibagi 16, sehingga Un benar untuk n equals 1.

Langkah 2:

Andaikan untuk n equals k pernyataan tersebut benar, maka Un=5n+12n1 habis dibagi 16, sehingga:

Uk=5k+12k1   

Langkah 3:

Untuk n equals k plus 1, maka

Uk+1======5k+1+12(k+1)15.5k+12k+1215.5k+12k+11+60k60k5+5(5.5k+60k5)+12k60k+11+55habisdibagi16(5k+12k1)+1648k5habisdibagi16(5k+12k1)+habisdibagi1616(13k)  

Dengan demikian, Un=5n+12n1 habis dibagi 16.

Pembahasan terverifikasi oleh Roboguru

Dijawab oleh:

I. Sutiawan

Mahasiswa/Alumni Universitas Pasundan

Terakhir diupdate 13 September 2021

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

Pertanyaan yang serupa

Untuk setiap bilangan bulat positif , buktikan dengan prinsip induksi matematika setiap pernyataan berikut. c.   dibagi  bersisa nol

Pembahasan Soal:

Untuk n = 1 maka

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 5 to the power of 2.1 end exponent minus 1 end cell equals cell 5 squared minus 1 end cell row blank equals cell 24 rightwards arrow habis space dibagi space 3 space end cell end table

Unktuk n = k diasumsikan habis di bagi 3

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 5 to the power of 2. straight k end exponent minus 1 end cell equals cell 3 straight p end cell row cell 5 to the power of 2 straight k end exponent end cell equals cell 3 straight p plus 1 space end cell end table

Unktuk n = k+1 maka

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 5 to the power of 2 left parenthesis straight k plus 1 right parenthesis end exponent minus 1 end cell equals cell 5 to the power of 2 straight k end exponent.5 squared minus 1 end cell row cell 5 to the power of 2 straight k plus 1 end exponent minus 1 end cell equals cell left parenthesis 3 straight p plus 1 right parenthesis.5 squared minus 1 end cell row cell 5 to the power of 2 straight k plus 1 end exponent minus 1 end cell equals cell 7 straight p plus 24 end cell row cell 5 to the power of 2 straight k plus 1 end exponent minus 1 end cell equals cell 3 left parenthesis 25 straight p plus 8 right parenthesis rightwards arrow habis space dibagi space 3 end cell row blank blank space end table

Jadi terbukti bahwa 5 to the power of 2 straight n end exponent minus 1 habis di bagi 3

1

Roboguru

Buktikan dengan prinsip induksi matematika, untuk setiap bilangan asli n.  habis dibagi

Pembahasan Soal:

Membuktikan dengan induksi matematika dimana

Untuk n = 1 maka

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell straight n open parentheses straight n squared plus 2 close parentheses end cell equals cell 1 open parentheses 1 squared plus 2 close parentheses end cell row blank equals cell 1.3 end cell row blank equals cell 3 rightwards arrow space Habis space dibagi space 3 end cell end table

Untuk n = k diasumsikan habis dibagi 3 maka

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell straight n open parentheses straight n squared plus 2 close parentheses end cell equals cell straight k open parentheses straight k squared plus 2 close parentheses end cell row blank equals cell straight k open parentheses straight k squared plus 2 close parentheses equals 3 straight p rightwards arrow space Habis space dibagi space 3 end cell row blank blank blank end table

Untuk n = k+1 maka

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell straight n open parentheses straight n squared plus 2 close parentheses end cell equals cell left parenthesis straight k plus 1 right parenthesis open parentheses left parenthesis straight k plus 1 right parenthesis squared plus 2 close parentheses end cell row blank equals cell left parenthesis straight k plus 1 right parenthesis open parentheses straight k squared plus 2 straight k plus 3 close parentheses end cell row blank equals cell left parenthesis straight k plus 1 right parenthesis open parentheses straight k squared plus 2 right parenthesis left parenthesis 2 straight k plus 1 close parentheses end cell row blank equals cell 3 straight p plus 2 straight k squared plus straight k plus straight k squared plus 2 straight k plus 3 end cell row blank equals cell 3 straight p plus 3 straight k squared plus 3 straight k plus 3 end cell row blank equals cell 3 open parentheses straight p plus straight k squared plus straight k plus 1 close parentheses rightwards arrow space Habis space dibagi space 3 end cell row blank blank blank end table

Jadi terbukti bahwa untuk setiap bilangan asli n dalam pernyataan straight n open parentheses straight n squared plus 2 close parentheses habis dibagi begin mathsize 14px style 3 end style dimana hasilnya table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell 3 open parentheses straight p plus straight k squared plus straight k plus 1 close parentheses end cell row blank blank blank end table

 

0

Roboguru

Perhatikan pernyataan berikut   habis dibagi 16 untuk setiap bilangan asli n. Dengan menggunakan induksi matematika, dapat disimpulkan bahwa ....

Pembahasan Soal:

Perhatikan pernyataan

undefined  habis dibagi 16

untuk setiap bilangan asli n.

Karena akan dibuktikan pernyataan untuk setiap bilangan asli n, yaitu n ≥ 1 , maka langkah pertamanya adalah buktikan P1 benar.

 

LANGKAH 1 : Buktikan P1 benar.

Perhatikan pernyataan

undefined  habis dibagi 16

Kemudian didapat

begin mathsize 14px style P subscript 1 colon 5 to the power of 2 open parentheses 1 close parentheses end exponent minus 3 to the power of 2 open parentheses 1 close parentheses end exponent end style  habis dibagi 16

Perhatikan bahwa begin mathsize 14px style 5 to the power of 2 open parentheses 1 close parentheses end exponent minus 3 to the power of 2 open parentheses 1 close parentheses end exponent equals 5 squared minus 3 squared equals 25 minus 9 equals 16 end style  

Karena 16 habis dibagi 16, maka begin mathsize 14px style 5 to the power of 2 open parentheses 1 close parentheses end exponent minus 3 to the power of 2 open parentheses 1 close parentheses end exponent end style  habis dibagi 16.

Sehingga P1 benar.

LANGKAH 2 : Buktikan untuk sembarang bilangan asli k, jika Pk bernilai benar mengakibatkan Pk+1 bernilai benar.

Perhatikan pernyataan

undefined  habis dibagi 16

Asumsikan

begin mathsize 14px style P subscript k colon 5 to the power of 2 k end exponent minus 3 to the power of 2 k end exponent end style  habis dibagi 16

bernilai benar.

Perhatikan

begin mathsize 14px style P subscript k plus 1 end subscript colon 5 to the power of 2 open parentheses k plus 1 close parentheses end exponent minus 3 to the power of 2 open parentheses k plus 1 close parentheses end exponent end style  habis dibagi 16

Perhatikan bahwa

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 5 to the power of 2 open parentheses k plus 1 close parentheses end exponent minus 3 to the power of 2 open parentheses k plus 1 close parentheses end exponent end cell equals cell 5 to the power of 2 k plus 2 end exponent minus 3 to the power of 2 k plus 2 end exponent end cell row blank equals cell 5 squared bullet 5 to the power of 2 k end exponent minus 3 squared bullet 3 to the power of 2 k end exponent end cell row blank equals cell 25 bullet 5 to the power of 2 k end exponent minus 9 bullet 3 to the power of 2 k end exponent end cell row blank equals cell 25 bullet 5 to the power of 2 k end exponent minus 25 bullet 3 to the power of 2 k end exponent plus 16 bullet 3 to the power of 2 k end exponent end cell row blank equals cell 25 open parentheses 5 to the power of 2 k end exponent minus 3 to the power of 2 k end exponent close parentheses plus 16 bullet 3 to the power of 2 k end exponent end cell end table end style   

Karena begin mathsize 14px style 5 to the power of 2 k end exponent minus 3 to the power of 2 k end exponent end style  habis dibagi 16, maka begin mathsize 14px style 25 open parentheses 5 to the power of 2 k end exponent minus 3 to the power of 2 k end exponent close parentheses end style  habis dibagi 16.

Karena 16 habis dibagi 16, maka begin mathsize 14px style 16 bullet 3 to the power of 2 k end exponent end style  habis dibagi 16.

Sehingga begin mathsize 14px style 25 open parentheses 5 to the power of 2 k end exponent minus 3 to the power of 2 k end exponent close parentheses plus 16 bullet 3 to the power of 2 k end exponent end style  habis dibagi 16 atau begin mathsize 14px style 5 to the power of 2 open parentheses k plus 1 close parentheses end exponent minus 3 to the power of 2 open parentheses k plus 1 close parentheses end exponent end style  habis dibagi 16.

Maka, Pk+1  bernilai benar.

Karena

  1. P1  benar.
  2. Untuk sembarangan bilangan asli k, jika Pk bernilai benar mengakibatkan Pk+1 bernilai benar.

Maka, Pn benar untuk setiap bilangan asli n, menurut prinsip induksi matematika.

Sehingga, pada proses pembuktian dengan induksi matematika di atas, didapatkan bahwa pernyataan terbukti benar tanpa ada kesalahan.

Jadi, jawabannya adalah D.

0

Roboguru

Untuk setiap bilangan asli  diketahui pernyataan-pernyataan sebagai berikut. 1)     habis dibagi 4 2)     habis dibagi 4 Menggunakan induksi matematika, pernyataan yang bernilai benar ditunjukkan o...

Pembahasan Soal:

Pernyataan 1

Perhatikan pernyataan berikut!

begin mathsize 14px style P subscript n colon 3 to the power of 2 n end exponent plus 1 end style habis dibagi 4

untuk setiap bilangan asli size 14px n size 14px.

Karena akan dibuktikan pernyataan untuk setiap bilangan asli begin mathsize 14px style n end style, yaitu begin mathsize 14px style n greater or equal than 1 end style, maka langkah pertamanya adalah buktikan begin mathsize 14px style P subscript 1 end style benar.

 

LANGKAH 1 : Buktikan undefined benar.

Perhatikan pernyataan berikut!

undefined habis dibagi 4

Oleh karena itu, diperoleh begin mathsize 14px style P subscript 1 end style sebagai berikut.

begin mathsize 14px style P subscript 1 colon 3 to the power of 2 open parentheses 1 close parentheses end exponent plus 1 end style habis dibagi 4

Perhatikan bahwa begin mathsize 14px style 3 to the power of 2 left parenthesis 1 right parenthesis end exponent plus 1 equals 3 squared plus 1 equals 10. end style  

Karena 10 tidak habis dibagi 4, maka begin mathsize 14px style 3 to the power of 2 open parentheses 1 close parentheses end exponent plus 1 end style tidak habis dibagi 4.

Dengan demikian, begin mathsize 14px style P subscript 1 end style salah sehingga kita simpulkan pernyataan 1 salah.

 

Pernyataan 2

Perhatikan pernyataan

begin mathsize 14px style P subscript n colon 3 to the power of 2 n end exponent minus 1 end style habis dibagi 4

untuk setiap bilangan asli begin mathsize 14px style n end style.

Karena akan dibuktikan pernyataan untuk setiap bilangan asli begin mathsize 14px style n end style, yaitu begin mathsize 14px style n greater or equal than 1 end style, maka langkah pertamanya adalah buktikan begin mathsize 14px style P subscript 1 end style benar.

 

LANGKAH 1 : Buktikan begin mathsize 14px style bold italic P subscript bold 1 end style benar.

Perhatikan pernyataan berikut!

begin mathsize 14px style P subscript n colon 3 to the power of 2 n end exponent minus 1 end style habis dibagi 4

Oleh karena itu, diperoleh begin mathsize 14px style P subscript 1 end style sebagai berikut.

begin mathsize 14px style P subscript 1 colon 3 to the power of 2 open parentheses 1 close parentheses end exponent minus 1 end style  habis dibagi 4

Perhatikan bahwa begin mathsize 14px style 3 to the power of 2 open parentheses 1 close parentheses end exponent minus 1 equals 3 squared minus 1 equals 9 minus 1 equals 8. end style 

Karena 8 habis dibagi 4, maka begin mathsize 14px style 3 to the power of 2 open parentheses 1 close parentheses end exponent minus 1 end style habis dibagi 4.

Dengan demikian, begin mathsize 14px style P subscript 1 end style benar.

 

LANGKAH 2 : Buktikan untuk sembarang bilangan asli begin mathsize 14px style bold italic k end style, jika begin mathsize 14px style bold italic P subscript bold k end style bernilai benar mengakibatkan begin mathsize 14px style bold italic P subscript bold k bold plus bold 1 end subscript end style bernilai benar.

Perhatikan pernyataan berikut!

undefined habis dibagi 4

Asumsikan

begin mathsize 14px style P subscript k colon 3 to the power of 2 k end exponent minus 1 end style habis dibagi 4

bernilai benar.

Perhatikan pernyataan berikut!

begin mathsize 14px style P subscript k plus 1 end subscript colon 3 to the power of 2 open parentheses k plus 1 close parentheses end exponent minus 1 end style habis dibagi 4

Perhatikan bahwa

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 3 to the power of 2 left parenthesis k plus 1 right parenthesis end exponent minus 1 end cell equals cell 3 to the power of 2 k plus 2 end exponent minus 1 end cell row blank equals cell 3 squared times 3 to the power of 2 k end exponent minus 1 end cell row blank equals cell 9 times 3 to the power of 2 k end exponent minus 1 end cell row blank equals cell 9 times 3 to the power of 2 k end exponent minus 9 plus 8 end cell row blank equals cell 9 left parenthesis 3 to the power of 2 k end exponent minus 1 right parenthesis plus 8 end cell end table end style

Karena begin mathsize 14px style 3 to the power of 2 k end exponent minus 1 end style habis dibagi 4, maka begin mathsize 14px style 9 open parentheses 3 to the power of 2 k end exponent minus 1 close parentheses end style habis dibagi 4.

Karena 8 habis dibagi 4, sehingga begin mathsize 14px style 9 open parentheses 3 to the power of 2 k end exponent minus 1 close parentheses plus 8 end style habis dibagi 4 atau begin mathsize 14px style 3 to the power of 2 open parentheses k plus 1 close parentheses end exponent minus 1 end style habis dibagi 4.

Dengan demikan, begin mathsize 14px style P subscript k plus 1 end subscript end style  bernilai benar.

Karena

  1. begin mathsize 14px style P subscript 1 end style benar.
  2. Untuk sembarangan bilangan asli begin mathsize 14px style k end style, jika begin mathsize 14px style P subscript k end style bernilai benar mengakibatkan begin mathsize 14px style P subscript k plus 1 end subscript end style bernilai benar.

Dengan demikian, begin mathsize 14px style P subscript n end style benar untuk setiap bilangan asli undefined, menurut prinsip induksi matematika.

Oleh karena itu, menggunakan induksi matematika, pernyataan yang bernilai benar ditunjukkan oleh nomor 2) saja.

Jadi, jawaban yang tepat adalah B.

0

Roboguru

Buktikan dengan prinsip induksi matematika, untuk setiap bilangan asli n.  adalah faktor dari

Pembahasan Soal:

Membuktikan dengan induksi matematika

Untuk n = 1

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell straight n cubed plus 2 straight n end cell equals cell 1 cubed plus 2.1 end cell row blank equals cell 1 plus 2 end cell row blank equals cell 3 rightwards arrow Faktor space 3 end cell end table

Untuk n = k diasumsikan bahwa faktor 3

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell straight n cubed plus 2 straight n end cell equals cell straight k cubed plus 2. straight k end cell row blank equals cell straight k cubed plus 2 straight k rightwards arrow Faktor space 3 end cell row blank blank blank end table

Untuk n = k+1 maka

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell straight n cubed plus 2 straight n end cell equals cell open parentheses straight k plus 1 close parentheses cubed plus 2. left parenthesis straight k plus 1 right parenthesis end cell row blank equals cell left parenthesis straight k squared plus 2 straight k plus 1 right parenthesis plus open parentheses straight k plus 1 close parentheses plus 2 straight k plus 2 end cell row blank equals cell straight k cubed plus straight k squared plus 2 straight k squared plus 2 straight k plus straight k plus 1 plus 2 straight k plus 2 end cell row blank equals cell open parentheses straight k cubed plus 2 straight k close parentheses plus 3 open parentheses straight k squared plus straight k plus 1 close parentheses rightwards arrow Faktor space 3 end cell row blank blank blank end table

Jadi terbukti bahwa begin mathsize 14px style 3 end style adalah faktor dari straight n cubed plus 2 straight n karena table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell open parentheses straight k cubed plus 2 straight k close parentheses space dan space 3 open parentheses straight k squared plus straight k plus 1 close parentheses end cell row blank blank blank end table

1

Roboguru

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Produk Ruangguru

Produk Lainnya

Hubungi Kami

Ikuti Kami

©2021 Ruangguru. All Rights Reserved