Pertanyaan

Diberikan pernyataan 1 + 2 + 3 + ⋯ + n = 2 ( n + 2 1 ) 2 untuk setiap bilangan asli n . Dengan menggunakan induksi matematika, dapat disimpulkan bahwa ....

Diberikan pernyataan

$1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{( n + \frac{1}{2} ) ^{2}}{2}$

untuk setiap bilangan asli $n$ .

Dengan menggunakan induksi matematika, dapat disimpulkan bahwa ....

pernyataan tidak terbukti, karena tahap pertama tidak bisa dibuktikan meskipun tahap kedua bisa dibuktikan
pernyataan tidak terbukti, karena tahap kedua tidak bisa dibuktikan meskipun tahap pertama bisa dibuktikan
pernyataan tidak terbukti, karena tahap pertama dan kedua tidak bisa dibuktikan
pernyataan terbukti dengan induksi matematika
tidak ada yang dapat disimpulkan

N. Syafriah

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang tepat adalah A.

Pembahasan

Dimisalkan pernyataan sebagai berikut. untuk setiap bilangan asli . Karena akan dibuktikan pernyataan untuk setiap bilangan asli , yaitu ,langkah pertamanya adalah buktikan benar. LANGKAH 1: Buktikan benar. Perhatikan pernyataan sebagai berikut! untuk setiap bilangan asli . Oleh karena itu, pernyataan bisa didapat dengan melakukan substitusi ke dalam pernyataan sebagai berikut. Ruas kiri pada pernyataan tersebut adalah 1. Kemudian, ruas kanan pada pernyataan tersebut dapat disederhanakan sebagai berikut. Dapat diperhatikan bahwa nilai di ruas kiri berbeda dengan nilai di ruas kanan. Oleh karena itu, bernilai SALAH . Dengan demikian,terdapat kesalahan pada langkah pertama. LANGKAH 2:Buktikan untuk sembarang bilangan asli , jika bernilai benar mengakibatkan bernilai benar. Perhatikan pernyataan sebagai berikut! untuk setiap bilangan asli . Asumsikan pernyataan bernilai BENAR . Pernyataan bisa didapat dengan melakukan substitusi ke dalam pernyataan sebagai berikut. Selanjutnya, akan dicek nilai kebenaran dari pernyataan . Pernyataan bisa didapat dengan melakukan substitusi ke dalam pernyataan sebagai berikut. Padaruas kiri , didapat perhitungan sebagai berikut. Dari penjabarandi atas,didapatkan bahwa bentuk pada ruas kiri sama dengan bentuk pada ruas kanannya sehingga bernilai benar. Dengan demikian, pada proses pembuktian dengan induksi matematika, disimpulkanbahwa pernyataan tidak terbuktikarena terdapat kesalahan pada langkah pertama. Jadi, jawaban yang tepat adalah A.

Dimisalkan pernyataan P subscript n sebagai berikut.

P subscript n colon space 1 plus 2 plus 3 plus horizontal ellipsis plus n equals open parentheses n plus begin display style 1 half end style close parentheses squared over 2

untuk setiap bilangan asli .

Karena akan dibuktikan pernyataan untuk setiap bilangan asli , yaitu n greater or equal than 1 , langkah pertamanya adalah buktikan P subscript 1 benar.

LANGKAH 1: Buktikan benar.

Perhatikan pernyataan P subscript n sebagai berikut!

P subscript n colon space 1 plus 2 plus 3 plus horizontal ellipsis plus n equals open parentheses n plus begin display style 1 half end style close parentheses squared over 2

untuk setiap bilangan asli .

Oleh karena itu, pernyataan P subscript 1 bisa didapat dengan melakukan substitusi n equals 1 ke dalam pernyataan P subscript n sebagai berikut.

P subscript 1 colon space 1 equals open parentheses 1 plus begin display style 1 half end style close parentheses squared over 2

Ruas kiri pada pernyataan tersebut adalah 1.

Kemudian, ruas kanan pada pernyataan tersebut dapat disederhanakan sebagai berikut.

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell open parentheses 1 plus begin display style 1 half end style close parentheses squared over 2 end cell equals cell open parentheses begin display style 3 over 2 end style close parentheses squared over 2 end cell row blank equals cell fraction numerator begin display style 9 over 4 end style over denominator 2 end fraction end cell row blank equals cell 9 over 4 divided by 2 end cell row blank equals cell 9 over 4 cross times 1 half end cell row blank equals cell 9 over 8 end cell end table$

Dapat diperhatikan bahwa nilai di ruas kiri berbeda dengan nilai di ruas kanan. Oleh karena itu, P subscript 1 bernilai SALAH.

Dengan demikian, terdapat kesalahan pada langkah pertama.

LANGKAH 2: Buktikan untuk sembarang bilangan asli , jika bernilai benar mengakibatkan bernilai benar.

Perhatikan pernyataan P subscript n sebagai berikut!

P subscript n colon space 1 plus 2 plus 3 plus horizontal ellipsis plus n equals open parentheses n plus begin display style 1 half end style close parentheses squared over 2

untuk setiap bilangan asli .

Asumsikan pernyataan P subscript k bernilai BENAR.

Pernyataan P subscript k bisa didapat dengan melakukan substitusi n equals k ke dalam pernyataan P subscript n sebagai berikut.

P subscript k colon space 1 plus 2 plus 3 plus horizontal ellipsis plus k equals open parentheses k plus begin display style 1 half end style close parentheses squared over 2

Selanjutnya, akan dicek nilai kebenaran dari pernyataan P subscript k plus 1 end subscript .

Pernyataan P subscript k plus 1 end subscript bisa didapat dengan melakukan substitusi n equals k plus 1 ke dalam pernyataan P subscript n sebagai berikut.

P subscript k plus 1 end subscript colon space 1 plus 2 plus 3 plus horizontal ellipsis plus k plus open parentheses k plus 1 close parentheses equals open parentheses open parentheses k plus 1 close parentheses plus begin display style 1 half end style close parentheses squared over 2

Pada ruas kiri P subscript k plus 1 end subscript , didapat perhitungan sebagai berikut.

$1 plus 2 plus 3 plus horizontal ellipsis plus k plus open parentheses k plus 1 close parentheses equals open parentheses k plus begin display style 1 half end style close parentheses squared over 2 plus open parentheses k plus 1 close parentheses equals fraction numerator k squared plus k plus begin display style 1 fourth end style over denominator 2 end fraction plus fraction numerator 2 k plus 2 over denominator 2 end fraction equals fraction numerator k squared plus 3 k plus begin display style 9 over 4 end style over denominator 2 end fraction equals open parentheses k plus begin display style 3 over 2 end style close parentheses squared over 2 equals open parentheses open parentheses k plus 1 close parentheses plus begin display style 1 half end style close parentheses squared over 2$

Dari penjabaran di atas, didapatkan bahwa bentuk pada ruas kiri P subscript k plus 1 end subscript sama dengan bentuk pada ruas kanannya sehingga bernilai benar.

Dengan demikian, pada proses pembuktian dengan induksi matematika, disimpulkan bahwa pernyataan tidak terbukti karena terdapat kesalahan pada langkah pertama.

Jadi, jawaban yang tepat adalah A.

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

5.0 (1 rating)

Pertanyaan serupa

Untuk setiap bilangan asli n , diketahui pernyataan-pernyataan sebagai berikut : 1) 2) Menggunakan induksi matematika, pernyataan yang bernilai benar ditunjukkan oleh nomor ....

2.0

Jawaban terverifikasi

Perhatikan pernyataan berikut! P n : 3 2 + 9 2 + 27 2 + ⋯ + 3 n 2 = 2 − 3 n 1 untuk setiap bilangan asli n . Dengan menggunakan induksi matematika, dapat disimpulkan bahwa ....

5.0

Jawaban terverifikasi

Untuk setiap bilangan asli n , diketahui pernyataan-pernyataan sebagai berikut : Menggunakan induksi matematika, pernyataan yang bernilai benar ditunjukkan oleh nomor ....

3.5

Jawaban terverifikasi

Untuk setiap bilangan asli n , diketahui pernyataan-pernyataan sebagai berikut. 1 ) i = 1 ∑ n a i = a − 1 a n + 1 − a 2 ) i = 1 ∑ n a 2 i = a 2 − 1 a 2 n + 1 − a 2 Menggunakan induksi ma...

5.0

Jawaban terverifikasi

Perhatikan pernyataan berikut! untuk setiap bilangan asli n . Dengan menggunakan induksi matematika, dapat disimpulkan bahwa ....

0.0

Jawaban terverifikasi