Roboguru

Diberikan pernyataan  1+2+3+⋯+n=2(n+21​)2​ untuk setiap bilangan asli n. Dengan menggunakan induksi matematika, dapat disimpulkan bahwa ....

Pertanyaan

Diberikan pernyataan

 1 plus 2 plus 3 plus horizontal ellipsis plus n equals open parentheses n plus begin display style 1 half end style close parentheses squared over 2

untuk setiap bilangan asli n.

Dengan menggunakan induksi matematika, dapat disimpulkan bahwa ....

  1. pernyataan tidak terbukti, karena tahap pertama tidak bisa dibuktikan meskipun tahap kedua bisa dibuktikanspace 

  2. pernyataan tidak terbukti, karena tahap kedua tidak bisa dibuktikan meskipun tahap pertama bisa dibuktikanspace 

  3. pernyataan tidak terbukti, karena tahap pertama dan kedua tidak bisa dibuktikanundefined 

  4. pernyataan terbukti dengan induksi matematikaundefined 

  5. tidak ada yang dapat disimpulkanundefined 

Pembahasan Soal:

Dimisalkan pernyataan P subscript n sebagai berikut.

 P subscript n colon space 1 plus 2 plus 3 plus horizontal ellipsis plus n equals open parentheses n plus begin display style 1 half end style close parentheses squared over 2

untuk setiap bilangan asli n.

Karena akan dibuktikan pernyataan untuk setiap bilangan asli n, yaitu n greater or equal than 1, langkah pertamanya adalah buktikan P subscript 1 benar.


LANGKAH 1: Buktikan bold italic P subscript bold 1 benar.

Perhatikan pernyataan P subscript n sebagai berikut!

 

 P subscript n colon space 1 plus 2 plus 3 plus horizontal ellipsis plus n equals open parentheses n plus begin display style 1 half end style close parentheses squared over 2

untuk setiap bilangan asli n.

Oleh karena itu, pernyataan P subscript 1 bisa didapat dengan melakukan substitusi n equals 1 ke dalam pernyataan P subscript n sebagai berikut.

P subscript 1 colon space 1 equals open parentheses 1 plus begin display style 1 half end style close parentheses squared over 2

Ruas kiri pada pernyataan tersebut adalah 1.

Kemudian, ruas kanan pada pernyataan tersebut dapat disederhanakan sebagai berikut.

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell open parentheses 1 plus begin display style 1 half end style close parentheses squared over 2 end cell equals cell open parentheses begin display style 3 over 2 end style close parentheses squared over 2 end cell row blank equals cell fraction numerator begin display style 9 over 4 end style over denominator 2 end fraction end cell row blank equals cell 9 over 4 divided by 2 end cell row blank equals cell 9 over 4 cross times 1 half end cell row blank equals cell 9 over 8 end cell end table

Dapat diperhatikan bahwa nilai di ruas kiri berbeda dengan nilai di ruas kanan. Oleh karena itu, P subscript 1 bernilai SALAH.

Dengan demikian, terdapat kesalahan pada langkah pertama.

 

LANGKAH 2: Buktikan untuk sembarang bilangan asli bold italic k, jika bold italic P subscript bold italic k bernilai benar mengakibatkan bold italic P subscript bold italic k bold plus bold 1 end subscript bernilai benar.

Perhatikan pernyataan P subscript n sebagai berikut!

 P subscript n colon space 1 plus 2 plus 3 plus horizontal ellipsis plus n equals open parentheses n plus begin display style 1 half end style close parentheses squared over 2

untuk setiap bilangan asli n.

Asumsikan pernyataan P subscript k bernilai BENAR.

Pernyataan P subscript k bisa didapat dengan melakukan substitusi n equals k ke dalam pernyataan P subscript n sebagai berikut.

P subscript k colon space 1 plus 2 plus 3 plus horizontal ellipsis plus k equals open parentheses k plus begin display style 1 half end style close parentheses squared over 2

Selanjutnya, akan dicek nilai kebenaran dari pernyataan P subscript k plus 1 end subscript.

Pernyataan P subscript k plus 1 end subscript bisa didapat dengan melakukan substitusi n equals k plus 1 ke dalam pernyataan P subscript n sebagai berikut.

P subscript k plus 1 end subscript colon space 1 plus 2 plus 3 plus horizontal ellipsis plus k plus open parentheses k plus 1 close parentheses equals open parentheses open parentheses k plus 1 close parentheses plus begin display style 1 half end style close parentheses squared over 2

Pada ruas kiri P subscript k plus 1 end subscript, didapat perhitungan sebagai berikut.

1 plus 2 plus 3 plus horizontal ellipsis plus k plus open parentheses k plus 1 close parentheses equals open parentheses k plus begin display style 1 half end style close parentheses squared over 2 plus open parentheses k plus 1 close parentheses equals fraction numerator k squared plus k plus begin display style 1 fourth end style over denominator 2 end fraction plus fraction numerator 2 k plus 2 over denominator 2 end fraction equals fraction numerator k squared plus 3 k plus begin display style 9 over 4 end style over denominator 2 end fraction equals open parentheses k plus begin display style 3 over 2 end style close parentheses squared over 2 equals open parentheses open parentheses k plus 1 close parentheses plus begin display style 1 half end style close parentheses squared over 2

Dari penjabaran di atas, didapatkan bahwa bentuk pada ruas kiri P subscript k plus 1 end subscript sama dengan bentuk pada ruas kanannya sehingga P subscript k plus 1 end subscript bernilai benar.

Dengan demikian, pada proses pembuktian dengan induksi matematika, disimpulkan bahwa pernyataan tidak terbukti karena terdapat kesalahan pada langkah pertama.

Jadi, jawaban yang tepat adalah A.

Pembahasan terverifikasi oleh Roboguru

Dijawab oleh:

N. Ulfah

Terakhir diupdate 07 Oktober 2021

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

Pertanyaan yang serupa

Perhatikan pernyataan berikut! untuk setiap bilangan asli n. Dengan menggunakan induksi matematika, dapat disimpulkan bahwa ...

0

Roboguru

Untuk setiap bilangan asli n, diketahui pernyataan-pernyataan sebagai berikut.       Menggunakan induksi matematika, pernyataan yang bernilai benar ditunjukkan oleh nomor ....

0

Roboguru

Untuk setiap bilangan asli n, diketahui pernyataan-pernyataan sebagai berikut : 1)   2)  Menggunakan induksi matematika, pernyataan yang bernilai benar ditunjukkan oleh nomor ....

0

Roboguru

Untuk setiap bilangan asli n, diketahui pernyataan-pernyataan sebagai berikut. 1)i=1∑n​ai=a−1an+1−a​2)i=1∑n​a2i=a2−1a2n+1−a2​ Menggunakan induksi matematika, pernyataan yang bernilai benar ditunjukk...

1

Roboguru

Perhatikan pernyataan berikut! Pn​:32​+92​+272​+⋯+3n2​=2−3n1​ untuk setiap bilangan asli n. Dengan menggunakan induksi matematika, dapat disimpulkan bahwa ....

0

Roboguru

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Produk Ruangguru

Produk Lainnya

Hubungi Kami

Ikuti Kami

©2021 Ruangguru. All Rights Reserved