Pertanyaan

Untuk setiap bilangan asli n , diketahui pernyataan-pernyataan sebagai berikut. 1 ) i = 1 ∑ n a i = a − 1 a n + 1 − a 2 ) i = 1 ∑ n a 2 i = a 2 − 1 a 2 n + 1 − a 2 Menggunakan induksi matematika, pernyataan yang bernilai benar ditunjukkan oleh nomor ....

Untuk setiap bilangan asli $n,$ diketahui pernyataan-pernyataan sebagai berikut.

$1) i = 1 \sum n a^{i} = \frac{a ^{n + 1} - a}{a - 1} 2) i = 1 \sum n a^{2 i} = \frac{a ^{2 n + 1} - a ^{2}}{a ^{2} - 1}$

Menggunakan induksi matematika, pernyataan yang bernilai benar ditunjukkan oleh nomor ....

1) saja
2) saja
1) dan 2)
tidak keduanya
tidak dapat ditentukan

N. Syafriah

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang tepat adalah A.

Pembahasan

Pernyataan 1 Diberikan pernyataan sebagai berikut untuk setiap bilangan asli . Karena akan dibuktikan pernyataan untuk setiap bilangan asli , yaitu ,maka langkah pertamanya adalah buktikan benar. LANGKAH 1 : Buktikan benar. Perhatikan pernyataan maka Ruas kiri = Ruas kanan = Karena ruas kiri = ruas kanan, maka benar. LANGKAH 2 : Buktikan untuk sembarang bilangan asli k, jika bernilai benar mengakibatkan bernilai benar. Perhatikan pernyataan Asumsikan bernilai benar. Perhatikan Dari ruas kiri , didapatkan hubungan sebagai berikut. Dengan demikian, didapatkan ruas kiri sama dengan ruas kanan. Jadi, bernilai benar. Karena 1. benar. 2. Untuk sembarang bilangan asli k, jika bernilai benar mengakibatkan bernilai benar. Oleh karena itu, benar untuk setiap bilangan asli , menurut prinsip induksi matematika. Pernyataan 2 Dapat diperhatikan bahwa pernyataan untuk setiap bilangan asli . Karena akan dibuktikan pernyataan untuk setiap bilangan asli , yaitu , maka langkah pertamanya adalah buktikan benar. LANGKAH 1 : Buktikan benar. Perhatikan pernyataan maka Ruas kiri = Ruas kanan = Karena ruas kiri tidak sama dengan ruas kanan, maka salah. Karena salah, maka tidak terbukti benar untuk setiap bilangan asli , menurut prinsip induksi matematika. Dengan demikian, menggunakan induksi matematika, pernyataan yang bernilai benar ditunjukkan oleh nomor 1) saja. Jadi, jawaban yang tepat adalah A.

Pernyataan 1

Diberikan pernyataan sebagai berikut

$begin mathsize 14px style P subscript n colon sum from i equals 1 to n of a to the power of i equals fraction numerator a to the power of n plus 1 end exponent minus a over denominator a minus 1 end fraction end style$

untuk setiap bilangan asli .

Karena akan dibuktikan pernyataan untuk setiap bilangan asli , yaitu , maka langkah pertamanya adalah buktikan benar.

LANGKAH 1 : Buktikan benar.

Perhatikan pernyataan

maka

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell P subscript 1 colon sum from i equals 1 to 1 of a to the power of i end cell equals cell fraction numerator a to the power of 1 plus 1 end exponent minus a over denominator a minus 1 end fraction end cell row cell P subscript 1 colon a to the power of 1 end cell equals cell fraction numerator a to the power of 1 plus 1 end exponent minus a over denominator a minus 1 end fraction end cell end table$

Ruas kiri =

Ruas kanan = $begin mathsize 14px style fraction numerator a to the power of 1 plus 1 end exponent minus a over denominator a minus 1 end fraction equals fraction numerator a squared minus a over denominator a minus 1 end fraction equals fraction numerator a open parentheses a minus 1 close parentheses over denominator a minus 1 end fraction equals a end style$

Karena ruas kiri = ruas kanan, maka benar.

LANGKAH 2 : Buktikan untuk sembarang bilangan asli k, jika bernilai benar mengakibatkan bernilai benar.

Perhatikan pernyataan

Asumsikan

$P subscript k colon sum from i equals 1 to k of a to the power of i equals fraction numerator a to the power of k plus 1 end exponent minus a over denominator a minus 1 end fraction$

bernilai benar.

Perhatikan

$begin mathsize 14px style P subscript k plus 1 end subscript colon sum from i equals 1 to k plus 1 of a to the power of i equals fraction numerator a to the power of open parentheses k plus 1 close parentheses plus 1 end exponent minus a over denominator a minus 1 end fraction end style$

Dari ruas kiri , didapatkan hubungan sebagai berikut.

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell sum from i equals 1 to k plus 1 of a to the power of i end cell equals cell sum from i equals 1 to k of a to the power of i plus a to the power of k plus 1 end exponent end cell row blank equals cell fraction numerator a to the power of k plus 1 end exponent minus a over denominator a minus 1 end fraction plus a to the power of k plus 1 end exponent end cell row blank equals cell fraction numerator a to the power of k plus 1 end exponent minus a over denominator a minus 1 end fraction plus fraction numerator a to the power of k plus 1 end exponent open parentheses a minus 1 close parentheses over denominator a minus 1 end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator a to the power of k plus 1 end exponent minus a over denominator a minus 1 end fraction plus fraction numerator a to the power of open parentheses k plus 1 close parentheses plus 1 end exponent minus a to the power of k plus 1 end exponent over denominator a minus 1 end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator a to the power of k plus 1 end exponent minus a plus a to the power of left parenthesis k plus 1 right parenthesis plus 1 end exponent minus a to the power of k plus 1 end exponent over denominator a minus 1 end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator a to the power of left parenthesis k plus 1 right parenthesis plus 1 end exponent minus a over denominator a minus 1 end fraction end cell end table$

Dengan demikian, didapatkan ruas kiri sama dengan ruas kanan.
Jadi, bernilai benar.

Karena

1. benar.

2. Untuk sembarang bilangan asli k, jika bernilai benar mengakibatkan bernilai benar.

Oleh karena itu, benar untuk setiap bilangan asli , menurut prinsip induksi matematika.

Pernyataan 2

Dapat diperhatikan bahwa pernyataan

$begin mathsize 14px style P subscript n colon sum from i equals 1 to n of a to the power of 2 i end exponent equals fraction numerator a to the power of 2 n plus 1 end exponent minus a squared over denominator a squared minus 1 end fraction end style$

untuk setiap bilangan asli .

Karena akan dibuktikan pernyataan untuk setiap bilangan asli , yaitu , maka langkah pertamanya adalah buktikan benar.

LANGKAH 1 : Buktikan benar.

Perhatikan pernyataan

maka

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell P subscript 1 colon sum from i equals 1 to 1 of a to the power of 2 i end exponent end cell equals cell fraction numerator a to the power of 2 times 1 plus 1 end exponent minus a squared over denominator a squared minus 1 end fraction end cell row cell P subscript 1 colon a to the power of 2 times 1 end exponent end cell equals cell fraction numerator a to the power of 2 times 1 plus 1 end exponent minus a squared over denominator a squared minus 1 end fraction end cell end table end style$

Ruas kiri =

Ruas kanan = $begin mathsize 12px style fraction numerator a to the power of 2 times 1 plus 1 end exponent minus a squared over denominator a squared minus 1 end fraction equals fraction numerator a cubed minus a squared over denominator a squared minus 1 end fraction equals fraction numerator a squared left parenthesis a minus 1 right parenthesis over denominator left parenthesis a minus 1 right parenthesis left parenthesis a plus 1 right parenthesis end fraction equals fraction numerator a squared over denominator a plus 1 end fraction end style$

Karena ruas kiri tidak sama dengan ruas kanan, maka salah.

Karena salah, maka tidak terbukti benar untuk setiap bilangan asli , menurut prinsip induksi matematika.

Dengan demikian, menggunakan induksi matematika, pernyataan yang bernilai benar ditunjukkan oleh nomor 1) saja.

Jadi, jawaban yang tepat adalah A.

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

5.0 (1 rating)

Pertanyaan serupa

Perhatikan pernyataan berikut! P n : 3 2 + 9 2 + 27 2 + ⋯ + 3 n 2 = 2 − 3 n 1 untuk setiap bilangan asli n . Dengan menggunakan induksi matematika, dapat disimpulkan bahwa ....

5.0

Jawaban terverifikasi

Perhatikan pernyataan berikut! P n : 3 2 + 9 2 + 27 2 + ⋯ + 3 n 2 = 2 − 3 n 1 untuk setiap bilangan asli n . Dengan menggunakan induksi matematika, dapat disimpulkan bahwa ....

5.0

Jawaban terverifikasi

Untuk membuktikan bahwa P n benar untuk setiap bilangan bulat n > 1 menggunakan induksi matematika, maka langkah pertama yang dilakukan adalah ....

5.0

Jawaban terverifikasi

Untuk setiap bilangan asli n , diketahui pernyataan-pernyataan sebagai berikut : 1) 2) Menggunakan induksi matematika, pernyataan yang bernilai benar ditunjukkan oleh nomor ....

2.0

Jawaban terverifikasi

Untuk setiap bilangan asli n , diketahui pernyataan-pernyataan sebagai berikut : Menggunakan induksi matematika, pernyataan yang bernilai benar ditunjukkan oleh nomor ....

3.5

Jawaban terverifikasi