Pertanyaan

Untuk setiap bilangan asli n , diketahui pernyataan-pernyataan sebagai berikut. 1 ) i = 1 ∑ n 2 i 1 = 1 − 2 n 1 2 ) i = 1 ∑ n ( 5 ⋅ 6 i ) = 6 n + 1 − 6 Dengan menggunakan induksi matematika, pernyataan yang bernilai benar ditunjukkan oleh nomor ....

Untuk setiap bilangan asli $n$ , diketahui pernyataan-pernyataan sebagai berikut.

$1) i = 1 \sum n \frac{1}{2 ^{i}} = 1 - \frac{1}{2 ^{n}} 2) i = 1 \sum n (5 \cdot 6^{i}) = 6^{n + 1} - 6$

Dengan menggunakan induksi matematika, pernyataan yang bernilai benar ditunjukkan oleh nomor ....

1) saja
2) saja
1) dan 2)
tidak keduanya
tidak dapat ditentukan

N. Syafriah

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang tepat adalah C.

Pembahasan

Pernyataan 1) Diberikan pernyataan sebagai berikut. untuk setiap bilangan asli . Karena akan dibuktikan pernyataan untuk setiap bilangan asli ,yaitu , maka langkah pertamanya adalah buktikan benar. LANGKAH 1: Buktikan benar. Perhatikan pernyataan berikut. Substitusikan nilai ke pernyataan tersebut sebagai berikut. Diperoleh ruas kirinya adalah dan r uas kanannyaadalah . Karena ruas kiri sama dengan ruas kanan, maka benar. LANGKAH 2: Buktikan untuk sembarang bilangan asli , jika bernilai benar mengakibatkan bernilai benar. Perhatikan pernyataan berikut ini. Asumsikan pernyataan tersebut benar untuk sembarang bilangan asli seperti berikut ini. Kemudian substitusikan nilai sebagai berikut. Dari ruas kiri pernyataan , didapatkan perhitungan sebagai berikut. ∑ i = 1 k + 1 2 i 1 = = = = = ∑ i = 1 k 2 i 1 + 2 k + 1 1 ( 1 − 2 k 1 ) + 2 k + 1 1 1 − 2 k ⋅ 2 2 + 2 k + 1 1 1 − 2 k + 1 2 + 2 k + 1 1 1 − 2 k + 1 1 Didapatkan ruas kiri sama dengan ruas kanan. Jadi, bernilai benar. Dari penjabaran di atas, didapatkan informasi berikut. benar. Untuk sembarang bilangan asli , jika bernilai benar mengakibatkan bernilai benar. Dengan demikian, benar untuk setiap bilangan asli menurut prinsip induksi matematika. Pernyataan 2) Diberikan pernyataan sebagai berikut. untuk setiap bilangan asli . Karena akan dibuktikan pernyataan untuk setiap bilangan asli yaitu , maka langkah pertamanya adalah buktikan benar. LANGKAH 1: Buktikan benar. Perhatikan pernyataan berikut. Substitusikan nilai ke pernyataan tersebut sebagai berikut. Diperoleh ruas kirinya adalah dan ruas kanannyaadalah . Karena ruas kiri sama dengan ruas kanan, maka benar. LANGKAH 2: Buktikan untuk sembarang bilangan asli , jika bernilai benar mengakibatkan bernilai benar. Perhatikan pernyataan berikut ini. Asumsikan pernyataan tersebut benar untuk sembarang bilangan asli seperti berikut ini. Kemudian substitusikan nilai sebagai berikut. Dari ruas kiri pernyataan , didapatkan perhitungan sebagai berikut. Didapatkan ruas kiri sama dengan ruas kanan. Jadi, bernilai benar. Dari penjabaran di atas, didapatkan informasi berikut. benar. Untuk sembarang bilangan asli , jika bernilai benar mengakibatkan bernilai benar. Dengan demikian, benar untuk setiap bilangan asli menurut prinsip induksi matematika. Oleh karena itu, dengan menggunakan induksi matematika, pernyataan yang bernilai benar ditunjukkan oleh nomor 1) dan 2). Jadi, jawaban yang tepat adalah C.

Pernyataan 1)

Diberikan pernyataan sebagai berikut.

untuk setiap bilangan asli .

Karena akan dibuktikan pernyataan untuk setiap bilangan asli , yaitu , maka langkah pertamanya adalah buktikan benar.

LANGKAH 1: Buktikan benar.

Perhatikan pernyataan berikut.

Substitusikan nilai n equals 1 ke pernyataan tersebut sebagai berikut.

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell P subscript 1 colon sum from i equals 1 to 1 of 1 over 2 to the power of i end cell equals cell 1 minus 1 over 2 to the power of 1 end cell row cell P subscript 1 colon 1 over 2 to the power of 1 end cell equals cell 1 minus 1 over 2 to the power of 1 end cell end table end style

Diperoleh ruas kirinya adalah dan ruas kanannya adalah .

Karena ruas kiri sama dengan ruas kanan, maka benar.

LANGKAH 2: Buktikan untuk sembarang bilangan asli , jika bernilai benar mengakibatkan bernilai benar.

Perhatikan pernyataan berikut ini.

Asumsikan pernyataan tersebut benar untuk sembarang bilangan asli seperti berikut ini.

Kemudian substitusikan nilai n equals k plus 1 sebagai berikut.

Dari ruas kiri pernyataan , didapatkan perhitungan sebagai berikut.

$\sum_{i = 1}^{k + 1} \frac{1}{2 ^{i}} = = = = = \sum_{i = 1}^{k} \frac{1}{2 ^{i}} + \frac{1}{2 ^{k + 1}} (1 - \frac{1}{2 ^{k}}) + \frac{1}{2 ^{k + 1}} 1 - \frac{2}{2 ^{k} \cdot 2} + \frac{1}{2 ^{k + 1}} 1 - \frac{2}{2 ^{k + 1}} + \frac{1}{2 ^{k + 1}} 1 - \frac{1}{2 ^{k + 1}}$

Didapatkan ruas kiri sama dengan ruas kanan. Jadi, bernilai benar.

Dari penjabaran di atas, didapatkan informasi berikut.

benar.
Untuk sembarang bilangan asli , jika bernilai benar mengakibatkan bernilai benar.

Dengan demikian, benar untuk setiap bilangan asli menurut prinsip induksi matematika.

Pernyataan 2)

Diberikan pernyataan sebagai berikut.

untuk setiap bilangan asli .

Karena akan dibuktikan pernyataan untuk setiap bilangan asli yaitu , maka langkah pertamanya adalah buktikan benar.

LANGKAH 1: Buktikan benar.

Perhatikan pernyataan berikut.

Substitusikan nilai n equals 1 ke pernyataan tersebut sebagai berikut.

Diperoleh ruas kirinya adalah dan ruas kanannya adalah .

Karena ruas kiri sama dengan ruas kanan, maka benar.

LANGKAH 2: Buktikan untuk sembarang bilangan asli , jika bernilai benar mengakibatkan bernilai benar.

Perhatikan pernyataan berikut ini.

Asumsikan pernyataan tersebut benar untuk sembarang bilangan asli seperti berikut ini.

Kemudian substitusikan nilai n equals k plus 1 sebagai berikut.

begin mathsize 14px style P subscript k plus 1 end subscript colon sum from i equals 1 to k plus 1 of left parenthesis 5 times 6 to the power of i right parenthesis equals 6 to the power of open parentheses k plus 1 close parentheses plus 1 end exponent minus 6 end style

Dari ruas kiri pernyataan , didapatkan perhitungan sebagai berikut.

Didapatkan ruas kiri sama dengan ruas kanan. Jadi, bernilai benar.

Dari penjabaran di atas, didapatkan informasi berikut.

benar.
Untuk sembarang bilangan asli , jika bernilai benar mengakibatkan bernilai benar.

Dengan demikian, benar untuk setiap bilangan asli menurut prinsip induksi matematika.

Oleh karena itu, dengan menggunakan induksi matematika, pernyataan yang bernilai benar ditunjukkan oleh nomor 1) dan 2).

Jadi, jawaban yang tepat adalah C.

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

5.0 (1 rating)

elwalley

Makasih ❤️

Pertanyaan serupa

Untuk setiap bilangan asli n , diketahui pernyataan-pernyataan sebagai berikut : Menggunakan induksi matematika, pernyataan yang bernilai benar ditunjukkan oleh nomor ....

3.5

Jawaban terverifikasi

Perhatikan pernyataan berikut! untuk setiap bilangan asli n . Dengan menggunakan induksi matematika, dapat disimpulkan bahwa ....

0.0

Jawaban terverifikasi

Untuk setiap bilangan asli n , diketahui pernyataan-pernyataan sebagai berikut. Menggunakan induksi matematika, pernyataan yang bernilai benar ditunjukkan oleh nomor ....

0.0

Jawaban terverifikasi

Untuk setiap bilangan asli n , diketahui pernyataan-pernyataan sebagai berikut : Menggunakan induksi matematika, pernyataan yang bernilai benar ditunjukkan oleh nomor ....

3.5

Jawaban terverifikasi

Untuk setiap bilangan asli n , diketahui pernyataan-pernyataan sebagai berikut. Menggunakan induksi matematika, pernyataan yang bernilai benar ditunjukkan oleh nomor ....

0.0

Jawaban terverifikasi