Pertanyaan

Untuk setiap bilangan asli n , diketahui pernyataan-pernyataan sebagai berikut. Menggunakan induksi matematika, pernyataan yang bernilai benar ditunjukkan oleh nomor ....

Untuk setiap bilangan asli n, diketahui pernyataan-pernyataan sebagai berikut.

$begin mathsize 14px style 1 right parenthesis space sum from i equals 1 to n of fraction numerator 1 over denominator open parentheses 2 i minus 1 close parentheses open parentheses 2 i plus 1 close parentheses end fraction equals fraction numerator n over denominator 2 n plus 1 end fraction 2 right parenthesis space sum from i equals 1 to n of i squared minus i equals fraction numerator n cubed minus n over denominator 3 end fraction end style$

Menggunakan induksi matematika, pernyataan yang bernilai benar ditunjukkan oleh nomor ....

1) saja
2) saja
1) dan 2)
tidak keduanya
tidak dapat ditentukan

M. Robo

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang tepat adalah C.

Pembahasan

Pernyataan 1: Perhatikan pernyataan untuk setiap bilangan asli n yang dapat ditulis juga sebagai untuk setiap bilangan asli n . Karena akan dibuktikan pernyataan untuk setiap bilangan asli n , yaitu n ≥ 1 , maka langkah pertamanya adalah buktikan P 1 benar. LANGKAH 1 : Buktikan P 1 benar. Perhatikan pernyataan maka Ruas kiri = Ruas kanan = Karena ruas kiri = ruas kanan, maka P 1 benar. LANGKAH 2 : Buktikan untuk sembarang bilangan asli k , jika P k bernilai benar mengakibatkan P k+1 bernilai benar. Perhatikan pernyataan Asumsikan bernilai benar Perhatikan Dari ruas kiri P k+1 Sehingga didapatkan ruas kiri = ruas kanan. Maka, P k+1 bernilai benar. Karena 1. P 1 benar. 2. Untuk sembarang bilangan asli k, jika P k bernilai benar mengakibatkan P k+1 bernilai benar. Maka, P n benar untuk setiap bilangan asli n , menurut prinsip induksi matematika. Pernyataan 2: Perhatikan pernyataan untuk setiap bilangan asli n yang dapat ditulis juga sebagai untuk setiap bilangan asli n . Karena akan dibuktikan pernyataan untuk setiap bilangan asli n, yaitu n ≥ 1 , maka langkah pertamanya adalah buktikan P 1 benar . LANGKAH 1 : Buktikan P 1 benar . Perhatikan pernyataan Maka Ruas kiri = Ruas kanan = Karena ruas kiri = ruas kanan, maka P 1 benar. LANGKAH 2 : Buktikan untuk sembarang bilangan asli k, jika P k bernilai benar mengakibatkan P k+1 bernilai benar. Perhatikan pernyataan Asumsikan bernilai benar. Perhatikan Dari ruas kiri P k+1 Sehingga didapatkan ruas kiri = ruas kanan. Maka, P k+1 bernilai benar. Karena 1. P 1 benar. 2. Untuk sembarang bilangan asli k, jika P k bernilai benar mengakibatkan P k+1 bernilai benar. Maka, P n benar untuk setiap bilangan asli n, menurut prinsip induksi matematika. Maka, menggunakan induksi matematika, pernyataan yang bernilai benar ditunjukkan oleh nomor 1) dan 2). Jadi, jawaban yang tepat adalah C.

Pernyataan 1:

Perhatikan pernyataan

$begin mathsize 14px style P subscript n colon sum from i equals 1 to n of fraction numerator 1 over denominator open parentheses 2 i minus 1 close parentheses open parentheses 2 i plus 1 close parentheses end fraction equals fraction numerator n over denominator 2 n plus 1 end fraction end style$

untuk setiap bilangan asli n yang dapat ditulis juga sebagai

$begin mathsize 14px style P subscript n colon fraction numerator 1 over denominator 1 times 3 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator 3 times 5 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator 5 times 7 end fraction plus horizontal ellipsis plus fraction numerator 1 over denominator open parentheses 2 n minus 1 close parentheses open parentheses 2 n plus 1 close parentheses end fraction equals fraction numerator n over denominator 2 n plus 1 end fraction end style$

untuk setiap bilangan asli n.

Karena akan dibuktikan pernyataan untuk setiap bilangan asli n, yaitu n ≥ 1, maka langkah pertamanya adalah buktikan P₁ benar.

LANGKAH 1 : Buktikan P₁benar.

Perhatikan pernyataan

undefined

maka

$begin mathsize 14px style P subscript 1 colon fraction numerator 1 over denominator 1 times 3 end fraction equals fraction numerator 1 over denominator 2 open parentheses 1 close parentheses plus 1 end fraction end style$

Ruas kiri = $begin mathsize 14px style fraction numerator 1 over denominator 1 times 3 end fraction equals 1 third end style$

Ruas kanan = $begin mathsize 14px style fraction numerator 1 over denominator 2 open parentheses 1 close parentheses plus 1 end fraction equals 1 third end style$

Karena ruas kiri = ruas kanan, maka P₁ benar.

LANGKAH 2 : Buktikan untuk sembarang bilangan asli k, jika P_k bernilai benar mengakibatkan P_k+1 bernilai benar.

Perhatikan pernyataan

undefined

Asumsikan
$begin mathsize 14px style P subscript k colon fraction numerator 1 over denominator 1 times 3 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator 3 times 5 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator 5 times 7 end fraction plus horizontal ellipsis plus fraction numerator 1 over denominator open parentheses 2 k minus 1 close parentheses open parentheses 2 k plus 1 close parentheses end fraction equals fraction numerator k over denominator 2 k plus 1 end fraction end style$
bernilai benar

Perhatikan

$begin mathsize 14px style P subscript k plus 1 end subscript colon fraction numerator 1 over denominator 1 times 3 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator 3 times 5 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator 5 times 7 end fraction plus horizontal ellipsis plus fraction numerator 1 over denominator open parentheses 2 k minus 1 close parentheses open parentheses 2 k plus 1 close parentheses end fraction plus fraction numerator 1 over denominator open parentheses 2 open parentheses k plus 1 close parentheses minus 1 close parentheses open parentheses 2 open parentheses k plus 1 close parentheses plus 1 close parentheses end fraction equals fraction numerator k plus 1 over denominator 2 open parentheses k plus 1 close parentheses plus 1 end fraction end style$

Dari ruas kiri P_k+1

$begin mathsize 14px style fraction numerator 1 over denominator 1 times 3 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator 3 times 5 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator 5 times 7 end fraction plus horizontal ellipsis plus fraction numerator 1 over denominator open parentheses 2 k minus 1 close parentheses open parentheses 2 k plus 1 close parentheses end fraction plus fraction numerator 1 over denominator open parentheses 2 open parentheses k plus 1 close parentheses minus 1 close parentheses open parentheses 2 open parentheses k plus 1 close parentheses plus 1 close parentheses end fractionequals fraction numerator k over denominator 2 k plus 1 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator open parentheses 2 open parentheses k plus 1 close parentheses minus 1 close parentheses open parentheses 2 open parentheses k plus 1 close parentheses plus 1 close parentheses end fractionequals fraction numerator k over denominator 2 k plus 1 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator open parentheses 2 k plus 1 close parentheses open parentheses 2 k plus 3 close parentheses end fractionequals fraction numerator 1 over denominator 2 k plus 1 end fraction open parentheses k plus fraction numerator 1 over denominator 2 k plus 3 end fraction close parenthesesequals fraction numerator 1 over denominator 2 k plus 1 end fraction open parentheses fraction numerator k open parentheses 2 k plus 3 close parentheses over denominator 2 k plus 3 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator 2 k plus 3 end fraction close parenthesesequals fraction numerator 1 over denominator 2 k plus 1 end fraction open parentheses fraction numerator 2 k squared plus 3 k over denominator 2 k plus 3 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator 2 k plus 3 end fraction close parenthesesequals fraction numerator 1 over denominator 2 k plus 1 end fraction open parentheses fraction numerator 2 k squared plus 3 k plus 1 over denominator 2 k plus 3 end fraction close parenthesesequals fraction numerator open parentheses 2 k plus 1 close parentheses open parentheses k plus 1 close parentheses over denominator open parentheses 2 k plus 1 close parentheses open parentheses 2 k plus 3 close parentheses end fractionequals fraction numerator k plus 1 over denominator 2 k plus 3 end fractionequals fraction numerator k plus 1 over denominator 2 open parentheses k plus 1 close parentheses plus 1 end fraction end style$

Sehingga didapatkan ruas kiri = ruas kanan.
Maka, P_k+1 bernilai benar.

Karena

1. P₁ benar.

2. Untuk sembarang bilangan asli k, jika P_k bernilai benar mengakibatkan P_k+1 bernilai benar.

Maka, P_n benar untuk setiap bilangan asli n, menurut prinsip induksi matematika.

Pernyataan 2:

Perhatikan pernyataan

$begin mathsize 14px style P subscript n colon sum from i equals 1 to n of i squared minus i equals fraction numerator n cubed minus n over denominator 3 end fraction end style$

untuk setiap bilangan asli n yang dapat ditulis juga sebagai

$begin mathsize 14px style P subscript n colon open parentheses 1 squared minus 1 close parentheses plus open parentheses 2 squared minus 2 close parentheses plus open parentheses 3 squared minus 3 close parentheses plus horizontal ellipsis plus open parentheses n squared minus n close parentheses equals fraction numerator n cubed minus n over denominator 3 end fraction end style$

untuk setiap bilangan asli n.

Karena akan dibuktikan pernyataan untuk setiap bilangan asli n, yaitu n ≥ 1, maka langkah pertamanya adalah buktikan P₁ benar.

LANGKAH 1 : Buktikan P₁ benar.

Perhatikan pernyataan

undefined

Maka

$begin mathsize 14px style P subscript 1 colon open parentheses 1 squared minus 1 close parentheses equals fraction numerator 1 cubed minus 1 over denominator 3 end fraction end style$

Ruas kiri =

Ruas kanan = $begin mathsize 14px style fraction numerator 1 cubed minus 1 over denominator 3 end fraction equals 0 over 3 equals 0 end style$

Karena ruas kiri = ruas kanan, maka P₁ benar.

LANGKAH 2 : Buktikan untuk sembarang bilangan asli k, jika P_k bernilai benar mengakibatkan P_k+1 bernilai benar.

Perhatikan pernyataan

undefined

Asumsikan
$begin mathsize 14px style P subscript k colon open parentheses 1 squared minus 1 close parentheses plus open parentheses 2 squared minus 2 close parentheses plus open parentheses 3 squared minus 3 close parentheses plus horizontal ellipsis plus open parentheses k squared minus k close parentheses equals fraction numerator k cubed minus k over denominator 3 end fraction end style$
bernilai benar.

Perhatikan

$begin mathsize 14px style P subscript k plus 1 end subscript colon open parentheses 1 squared minus 1 close parentheses plus open parentheses 2 squared minus 2 close parentheses plus open parentheses 3 squared minus 3 close parentheses plus horizontal ellipsis plus open parentheses k squared minus k close parentheses plus open parentheses open parentheses k plus 1 close parentheses squared minus open parentheses k plus 1 close parentheses close parentheses equals fraction numerator open parentheses k plus 1 close parentheses cubed minus open parentheses k plus 1 close parentheses over denominator 3 end fractionend style$

Dari ruas kiri P_k+1

Sehingga didapatkan ruas kiri = ruas kanan.
Maka, P_k+1 bernilai benar.

Karena

1. P₁ benar.

2. Untuk sembarang bilangan asli k, jika P_k bernilai benar mengakibatkan P_k+1 bernilai benar.

Maka, P_n benar untuk setiap bilangan asli n, menurut prinsip induksi matematika.

Maka, menggunakan induksi matematika, pernyataan yang bernilai benar ditunjukkan oleh nomor 1) dan 2).

Jadi, jawaban yang tepat adalah C.

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

0.0 (0 rating)

Pertanyaan serupa

Perhatikan pernyataan berikut! untuk setiap bilangan asli n . Dengan menggunakan induksi matematika, dapat disimpulkan bahwa ....

0.0

Jawaban terverifikasi

Untuk setiap bilangan asli n , diketahui pernyataan-pernyataan sebagai berikut. 1 ) i = 1 ∑ n 2 i 1 = 1 − 2 n 1 2 ) i = 1 ∑ n ( 5 ⋅ 6 i ) = 6 n + 1 − 6 Dengan menggunakan induksi matemat...

5.0

Jawaban terverifikasi

Untuk setiap bilangan asli n , diketahui pernyataan-pernyataan sebagai berikut : Menggunakan induksi matematika, pernyataan yang bernilai benar ditunjukkan oleh nomor ....

3.5

Jawaban terverifikasi

Untuk setiap bilangan asli n , diketahui pernyataan-pernyataan sebagai berikut : Menggunakan induksi matematika, pernyataan yang bernilai benar ditunjukkan oleh nomor ....

3.5

Jawaban terverifikasi

Perhatikan pernyataan berikut! untuk setiap bilangan asli n . Dengan menggunakan induksi matematika, dapat disimpulkan bahwa ....

0.0

Jawaban terverifikasi