Diberikan fungsi f : R → R dengan f ( x ) = 3 x − 4 dan fungsi g : R → R dengan g ( x ) = 5 − 3 x . Fungsi di bawah ini yangmerupakan fungsi bijektif adalah ....

Pembahasan

Dari soal, diberikanfungsi dengan dan fungsi dengan . Akan dicarifungsi bijektif di antara pilihan jawaban. Sebelumnya, ingat kembali bahwa sebuah fungsi disebutbijektif jika bersifat surjektif dan injektif. Untuk mengerjakan soal, akan diperiksa opsi jawaban masing-masing. Perhatikan pada opsi A, didapat yang berupa fungsi konstan, yaitu . Artinya setiap anggota domain dipasangkanke anggota kodomain yang sama yakni 1. Sehingga,range dari fungsi adalah Hal ini tidak memenuhi sifat surjektif yang mengharuskan range dari fungsinyaharus sama dengan kodomainnya (dalam kasus ini, kodomainnya adalahseluruh bilangan real , karena fungsinya dipetakan ke .) Oleh karena itu, fungsi gagal sebagai fungsi bijektif. Untuk lebih jelasnya, perhatikan gambar berikut ini! Perhatikan bahwa terdapat anggota kodomain, misalnya ,tidak terpetakan oleh fungsi. Selanjutnya, perhatikan pada opsi B didapat yang berupa fungsi linear. Digunakan metode garis vertikal danhorizontal unutk melihat apakah fungsi ini berpotongan di lebih dari satu titik. Perhatikan gambar berikut ini! Perhatikan bahwa garis horizontal memotong kurva di tepat satu titik. Dan jika garis tersebut digeser atas bawah, maka perpotongan akan selalu satu titik. Sehingga fungsi adalahfungsi injektif. Selanjutnya, perhatikan bahwa kurvaberupa garis lurus. Jika dilihat dari garis horizontal, maka hasil pemetaan fungsinya adalah seluruh bilangan real yang mengartikan . Karena kodomain dari fungsi adalah bilangan real, maka range sama dengan kodomain. Maka fungsi adalah fungsi surjektif. Karena adalah fungsi injektif dan surjektif, maka adalah fungsi bijektif. Opsi B tepat. Selanjutnya, perhatikan pada opsi C didapat yang berupa persamaan kuadrat dengan koefisien pada negatif, Artinya, bentuk kurvanya adalah parabola yang memiliki titik maksimum. Hal ini menyebabkan ada anggota bilangan real yang berada di atas titik maksimum yang tidak terpetakan ke salah satu anggota domainnya . Sehingga ada anggota kodomain yang tidak termasuk dalam range menyebabkan fungsi ini tidak bersifat surjektif. Jadi, fungsi ini juga tidak bersifat bijektif. Lebih jelasnya, perhatikan gambar berikut ini! Perhatikan bahwa terdapat anggota kodomain, misalnya ,tidak terpetakan oleh fungsi. Lalu, perhatikan pada opsi D didapat yang berupa fungsi dalam bentuk akar. Artinya, fungsi tersebut mensyaratkan domainnya memiliki batasan tertentu. Akibatnya domain fungsi tersebut bukan seluruh bilangan real . Padahal yang diinginkan adalah fungsi yang memetakan dari himpunan bilangan real ke himpunan bilangan real. Lebih jelasnya, perhatikan gambar berikut ini! Perhatikan bahwa terdapat anggota domain, misalnya ,tidak memiliki pasangan. Dan untuk opsi E, dengan cara serupa didapat yang juga berupa bentuk akar. Artinya, fungsi tersebut mensyaratkan domainnya memiliki batasan tertentu. Akibatnya domain fungsi tersebut bukan seluruh bilangan real . Padahal yang diinginkan adalah fungsi yang memetakan dari himpunan bilangan real ke himpunan bilangan real. Lebih jelasnya, perhatikan gambar berikut ini! Perhatikan bahwa terdapat anggota domain, misalnya ,tidak memiliki pasangan. Jadi, jawabannya adalah B.