Diberikan dua vektor sebagai berikut. Tentukan proyeksi a pada b dan juga b pada a.

Pertanyaan

Diberikan dua vektor sebagai berikut.

$\begin{array}{rcl}\boldsymbol a&=&2\overset{\boldsymbol\hat{}}{\boldsymbol i}-3\widehat{\boldsymbol j}+\widehat{\boldsymbol k};\;\\&&\\\boldsymbol b&=&-\overset{\boldsymbol\hat{}}{\boldsymbol i}+2\widehat{\boldsymbol j}-\widehat{\boldsymbol k}\end{array}$

Tentukan proyeksi $\boldsymbol a$ pada $\boldsymbol b$ dan juga $\boldsymbol b$ pada $\boldsymbol a$ .

A. Acfreelance

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

proyeksi $\boldsymbol a$ pada $\boldsymbol b$ adalah $\frac96\widehat{\boldsymbol i}-\frac93\widehat{\boldsymbol j}+\frac96\widehat{\boldsymbol k}$ dan proyeksi $\boldsymbol b$ pada $\boldsymbol a$ adalah $-\frac97\widehat{\boldsymbol i}+\frac{27}{14}\widehat{\boldsymbol j}-\frac9{14}\widehat{\boldsymbol k}$ .

Pembahasan

Asumsikan bahwa proyeksi yang dimaksud pada soal adalah proyeksi vektor. Ingat bahwa rumus proyeksi vektor $\boldsymbol u$ pada $\boldsymbol v$ , yaitu:

$bold italic u subscript v equals fraction numerator bold italic u bold times bold italic v over denominator open vertical bar bold italic v close vertical bar squared end fraction bold italic v$

Perkalian titik (dot product) dari dua vektor dimensi tiga mengikuti rumus berikut:

$\boldsymbol u\cdot\boldsymbol v\boldsymbol=u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2+u_3\cdot v_3$

Sedangkan rumus panjang vektor pada dimensi tiga, yaitu:

$\left|\boldsymbol v\right|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}$

Sehingga proyeksi $\boldsymbol a$ pada $\boldsymbol b$ , yaitu:

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell bold italic a subscript b end cell equals cell fraction numerator bold italic a bold times bold italic b over denominator vertical line bold italic b vertical line squared end fraction bold italic b end cell row blank equals cell fraction numerator open parentheses 2 bold italic i with hat on top minus 3 bold italic j with hat on top plus bold italic k with hat on top close parentheses times open parentheses negative bold italic i with hat on top plus 2 bold italic j with hat on top minus bold italic k with hat on top close parentheses over denominator open parentheses square root of open parentheses negative 1 close parentheses squared plus open parentheses 2 close parentheses squared plus open parentheses negative 1 close parentheses squared end root close parentheses squared end fraction open parentheses negative bold italic i with hat on top plus 2 bold italic j with hat on top minus bold italic k with hat on top close parentheses end cell row blank equals cell fraction numerator 2 open parentheses negative 1 close parentheses plus open parentheses negative 3 close parentheses 2 plus 1 open parentheses negative 1 close parentheses over denominator 1 plus 4 plus 1 end fraction open parentheses negative bold italic i with hat on top plus 2 bold italic j with hat on top minus bold italic k with hat on top close parentheses end cell row blank equals cell fraction numerator negative 2 minus 6 minus 1 over denominator 6 end fraction open parentheses negative bold italic i with hat on top plus 2 bold italic j with hat on top minus bold italic k with hat on top close parentheses end cell row blank equals cell negative 9 over 6 open parentheses negative bold italic i with hat on top plus 2 bold italic j with hat on top minus bold italic k with hat on top close parentheses end cell row blank equals cell 9 over 6 bold italic i with hat on top minus 9 over 3 bold italic j with hat on top plus 9 over 6 bold italic k with hat on top end cell end table$

Sedangkan proyeksi $\boldsymbol b$ pada $\boldsymbol a$ , yaitu:

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell bold italic b subscript a end cell equals cell fraction numerator bold italic b bold times bold italic a over denominator vertical line bold italic a vertical line squared end fraction bold italic a end cell row blank equals cell fraction numerator open parentheses negative bold italic i with hat on top plus 2 bold italic j with hat on top minus bold italic k with hat on top close parentheses times open parentheses 2 bold italic i with hat on top minus 3 bold italic j with hat on top plus bold italic k with hat on top close parentheses over denominator open parentheses square root of open parentheses 2 close parentheses squared plus open parentheses negative 3 close parentheses squared plus open parentheses 1 close parentheses squared end root close parentheses squared end fraction open parentheses 2 bold italic i with hat on top minus 3 bold italic j with hat on top plus bold italic k with hat on top close parentheses end cell row blank equals cell fraction numerator open parentheses negative 1 close parentheses 2 plus 2 open parentheses negative 3 close parentheses plus open parentheses negative 1 close parentheses 1 over denominator 4 plus 9 plus 1 end fraction open parentheses 2 bold italic i with hat on top minus 3 bold italic j with hat on top plus bold italic k with hat on top close parentheses end cell row blank equals cell fraction numerator negative 2 minus 6 minus 1 over denominator 14 end fraction open parentheses 2 bold italic i with hat on top minus 3 bold italic j with hat on top plus bold italic k with hat on top close parentheses end cell row blank equals cell negative 9 over 14 open parentheses 2 bold italic i with hat on top minus 3 bold italic j with hat on top plus bold italic k with hat on top close parentheses end cell row blank equals cell negative 9 over 7 bold italic i with hat on top plus 27 over 14 bold italic j with hat on top minus 9 over 14 bold italic k with hat on top end cell end table$

Dengan demikian, proyeksi $\boldsymbol a$ pada $\boldsymbol b$ adalah $\frac96\widehat{\boldsymbol i}-\frac93\widehat{\boldsymbol j}+\frac96\widehat{\boldsymbol k}$ dan proyeksi $\boldsymbol b$ pada $\boldsymbol a$ adalah $-\frac97\widehat{\boldsymbol i}+\frac{27}{14}\widehat{\boldsymbol j}-\frac9{14}\widehat{\boldsymbol k}$ .

5.0 (1 rating)

Pertanyaan serupa

Diketahui kubus satuan ABCD.EFGH. Misalkan vektor-vektor AB=i=(1, 0, 0); AD=j=(0, 1, 0); AE=k=(0, 0, 1). Titik P adalah titik pusat sisi BCGF. Tentukan proyeksi FP pada vektor AC.

132

5.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui titik A(1, 2, 2), titik B(0, 1, 0), dan titik C(2,−1,−1). Tentukan ruas garis berarah AB dan ruas garis berarah AC dalam bentuk vektor kolom. Tentukan proyeksi vektor ortogonal AB pada a...

130

0.0

Jawaban terverifikasi

Segitiga ABC dengan titik koordinat A(2, −1, −3), B(−1, 1, −11), dan C(4, −3, −2). p adalah proyeksi vektor ortogonal dari vektor AB pada AC. Vektor p dalam i, j, dan k adalah ....

0.0

Jawaban terverifikasi

Jika w adalah proyeksi vektor ortogonal dari vektor v=⎝⎛2−34⎠⎞ terhadap vektor u=⎝⎛−12−1⎠⎞, maka w= ....

4.2

Jawaban terverifikasi

Diketahui vektor a=3i+5j−2k, vektor b=−i−2j+3k dan vektor c=2i−j+4k. b. Tentukan proyeksi vektor ortogonal vektor b pada arah vektor (a−2c).

5.0

Jawaban terverifikasi