Pertanyaan

Diberikan dua vektor sebagai berikut. Tentukan proyeksi a pada b dan juga b pada a .

Diberikan dua vektor sebagai berikut.

$\begin{array}{rcl}\boldsymbol a&=&2\overset{\boldsymbol\hat{}}{\boldsymbol i}-3\widehat{\boldsymbol j}+\widehat{\boldsymbol k};\;\\&&\\\boldsymbol b&=&-\overset{\boldsymbol\hat{}}{\boldsymbol i}+2\widehat{\boldsymbol j}-\widehat{\boldsymbol k}\end{array}$

Tentukan proyeksi $a$ pada $b$ dan juga $b$ pada $a$ .

A. Acfreelance

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

proyeksi a pada b adalah 6 9 i − 3 9 j + 6 9 k dan proyeksi b pada a adalah − 7 9 i + 14 27 j − 14 9 k .

proyeksi

a

pada

b

adalah

\frac{9}{6} i - \frac{9}{3} j + \frac{9}{6} k

dan proyeksi

b

pada

a

adalah

- \frac{9}{7} i + \frac{27}{14} j - \frac{9}{14} k

Pembahasan

Asumsikan bahwa proyeksi yang dimaksud pada soal adalah proyeksi vektor. Ingat bahwa rumus proyeksi vektor u pada v , yaitu: u v = ∣ v ∣ 2 u ⋅ v v P erkalian titik (dot product ) dari dua vektor dimensi tiga mengikuti rumus berikut: u ⋅ v = u 1 ⋅ v 1 + u 2 ⋅ v 2 + u 3 ⋅ v 3 Sedangkan rumus panjang vektor pada dimensi tiga, yaitu: ∣ v ∣ = v 1 2 + v 2 2 + v 3 2 Sehingga proyeksi a pada b , yaitu: a b = = = = = = ∣ b ∣ 2 a ⋅ b b ( ( − 1 ) 2 + ( 2 ) 2 + ( − 1 ) 2 ) 2 ( 2 i − 3 j + k ) ⋅ ( − i + 2 j − k ) ( − i + 2 j − k ) 1 + 4 + 1 2 ( − 1 ) + ( − 3 ) 2 + 1 ( − 1 ) ( − i + 2 j − k ) 6 − 2 − 6 − 1 ( − i + 2 j − k ) − 6 9 ( − i + 2 j − k ) 6 9 i − 3 9 j + 6 9 k Sedangkan proyeksi b pada a , yaitu: b a = = = = = = ∣ a ∣ 2 b ⋅ a a ( ( 2 ) 2 + ( − 3 ) 2 + ( 1 ) 2 ) 2 ( − i + 2 j − k ) ⋅ ( 2 i − 3 j + k ) ( 2 i − 3 j + k ) 4 + 9 + 1 ( − 1 ) 2 + 2 ( − 3 ) + ( − 1 ) 1 ( 2 i − 3 j + k ) 14 − 2 − 6 − 1 ( 2 i − 3 j + k ) − 14 9 ( 2 i − 3 j + k ) − 7 9 i + 14 27 j − 14 9 k Dengan demikian, proyeksi a pada b adalah 6 9 i − 3 9 j + 6 9 k dan proyeksi b pada a adalah − 7 9 i + 14 27 j − 14 9 k .

Asumsikan bahwa proyeksi yang dimaksud pada soal adalah proyeksi vektor. Ingat bahwa rumus proyeksi vektor $u$ pada $v$ , yaitu:

$u_{v} = \frac{u \cdot v}{∣ v ∣ ^{2}} v$

Perkalian titik (dot product) dari dua vektor dimensi tiga mengikuti rumus berikut:

$u \cdot v = u_{1} \cdot v_{1} + u_{2} \cdot v_{2} + u_{3} \cdot v_{3}$

Sedangkan rumus panjang vektor pada dimensi tiga, yaitu:

$∣ v ∣ = v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + v_{3}^{2}$

Sehingga proyeksi $a$ pada $b$ , yaitu:

$a_{b} = = = = = = \frac{a \cdot b}{∣ b ∣ ^{2}} b \frac{( 2 i - 3 j + k ) \cdot ( - i + 2 j - k )}{( ( - 1 ) ^{2} + ( 2 ) ^{2} + ( - 1 ) ^{2} ) ^{2}} (- i + 2 j - k) \frac{2 ( - 1 ) + ( - 3 ) 2 + 1 ( - 1 )}{1 + 4 + 1} (- i + 2 j - k) \frac{- 2 - 6 - 1}{6} (- i + 2 j - k) - \frac{9}{6} (- i + 2 j - k) \frac{9}{6} i - \frac{9}{3} j + \frac{9}{6} k$

Sedangkan proyeksi $b$ pada $a$ , yaitu:

$b_{a} = = = = = = \frac{b \cdot a}{∣ a ∣ ^{2}} a \frac{( - i + 2 j - k ) \cdot ( 2 i - 3 j + k )}{( ( 2 ) ^{2} + ( - 3 ) ^{2} + ( 1 ) ^{2} ) ^{2}} (2 i - 3 j + k) \frac{( - 1 ) 2 + 2 ( - 3 ) + ( - 1 ) 1}{4 + 9 + 1} (2 i - 3 j + k) \frac{- 2 - 6 - 1}{14} (2 i - 3 j + k) - \frac{9}{14} (2 i - 3 j + k) - \frac{9}{7} i + \frac{27}{14} j - \frac{9}{14} k$

Dengan demikian, proyeksi $a$ pada $b$ adalah $\frac{9}{6} i - \frac{9}{3} j + \frac{9}{6} k$ dan proyeksi $b$ pada $a$ adalah $- \frac{9}{7} i + \frac{27}{14} j - \frac{9}{14} k$ .

Latihan Bab

Pengertian dan Operasi Vektor I

Operasi Vektor II

Kedudukan Vektor

Aljabar Vektor I

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

5.0 (2 rating)

Yosianna Claudia Sihite

Pembahasan lengkap banget

Pertanyaan serupa

Proyeksi vektor ortogonal dari vektor v = ⎝ ⎛ 1 3 3 ⎠ ⎞ pada u = ⎝ ⎛ 4 2 2 ⎠ ⎞ adalah....

1rb+

3.5

Jawaban terverifikasi

Diketahuititik A ( 2 , 7 , 8 ) , B ( − 1 , 1 , − 1 ) , dan C ( 0 , 3 , 2 ) . AB adalah vektor u dan BC adalah vektor v . Proyeksi vektor ortogonal dari u pada v adalah....

0.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui titik A ( 1 , 2 , 2 ) , titik B ( 0 , 1 , 0 ) , dan titik C ( 2 , − 1 , − 1 ) . Tentukan ruas garis berarah AB dan ruas garis berarah AC dalam bentukvektor kolom. Tentukan proyeksi ...

394

5.0

Jawaban terverifikasi

Diberikan segitiga ABC dengan titik-titik sudut A ( 4 , − 3 , 2 ) , B ( 2 , − 2 , 6 ) , dan C ( 3 , 4 , 5 ) . Tunjukan bahwa proyeksi vektor ortogonal CA pada arah BA diwakili oleh vektor 2 i − ...

464

0.0

Jawaban terverifikasi

Jika w adalah proyeksi vektor ortogonal dari vektor v = ⎝ ⎛ 2 − 3 4 ⎠ ⎞ terhadap vektor u = ⎝ ⎛ − 1 2 − 1 ⎠ ⎞ , maka w = ....

195

4.5

Jawaban terverifikasi