Roboguru

Dengan menggunakan rumus yang telah dibuktikan, hitunglah:  c.

Pertanyaan

Dengan menggunakan rumus yang telah dibuktikan, hitunglah: 

c.  begin mathsize 14px style 1 cubed plus 3 cubed plus 5 cubed plus... plus 99 cubed end style  

Pembahasan Video:

Pembahasan Soal:

Menghitung deret diatas, dimana n = 50

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 1 cubed plus 3 cubed plus 5 cubed plus... plus 99 cubed end cell equals cell 2 straight n to the power of 4 minus straight n squared end cell row cell 1 cubed plus 3 cubed plus 5 cubed plus... plus left parenthesis 2 times 50 minus 1 right parenthesis cubed end cell equals cell 2.50 to the power of 4 end exponent minus 50 squared end cell row blank equals cell 12500000 minus 2500 end cell row blank equals 12497500 end table

Jadi hasil dari 1 cubed plus 3 cubed plus 5 cubed plus... plus 99 cubed equals 12497500

Pembahasan terverifikasi oleh Roboguru

Dijawab oleh:

N. Puspita

Terakhir diupdate 13 September 2021

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

Pertanyaan yang serupa

Buktikan dengan induksi matematika. berlaku untuk semua n bilangan asli.

Pembahasan Soal:

Misalkan begin mathsize 12px style P subscript n identical to 1 half plus 2 over 2 squared plus 3 over 2 cubed plus horizontal ellipsis plus n over 2 to the power of n equals 2 minus fraction numerator n plus 2 over denominator 2 to the power of n end fraction end style.

Langkah-langkah induksi matematika, yaitu sebagai berikut.

Dibuktikan P subscript n benar untuk n equals 1

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell n over 2 to the power of n end cell equals cell 2 minus fraction numerator n plus 2 over denominator 2 to the power of n end fraction end cell row cell 1 over 2 to the power of 1 end cell equals cell 2 minus fraction numerator 1 plus 2 over denominator 2 to the power of 1 end fraction end cell row cell 1 half end cell equals cell 2 minus 3 over 2 end cell row cell 1 half end cell equals cell 1 half end cell end table

Jadi,  P subscript n benar untuk n equals 1

P subscript n diamsusikan benar untuk n equals k, sehingga 

begin mathsize 12px style 1 half plus 2 over 2 squared plus 3 over 2 cubed plus horizontal ellipsis plus k over 2 to the power of k equals 2 minus fraction numerator k plus 2 over denominator 2 to the power of k end fraction end style

P subscript n benar untuk n equals k plus 1

begin mathsize 12px style rightwards arrow Ruas space kiri equals 1 half plus 2 over 2 squared plus 3 over 2 cubed plus horizontal ellipsis plus k over 2 to the power of k plus fraction numerator k plus 1 over denominator 2 to the power of k plus 1 end exponent end fraction equals 2 minus fraction numerator k plus 2 over denominator 2 to the power of k end fraction plus fraction numerator k plus 1 over denominator 2 to the power of k plus 1 end exponent end fraction equals 2 plus fraction numerator negative 2 left parenthesis k plus 2 right parenthesis plus k plus 1 over denominator 2 to the power of k plus 1 end exponent end fraction equals 2 plus fraction numerator negative 2 k minus 4 plus k plus 1 over denominator 2 to the power of k plus 1 end exponent end fraction equals 2 plus fraction numerator negative k minus 3 over denominator 2 to the power of k plus 1 end exponent end fraction equals 2 plus fraction numerator negative left parenthesis k plus 3 right parenthesis over denominator k to the power of k plus 1 end exponent end fraction equals 2 minus fraction numerator k plus 3 over denominator k to the power of k plus 1 end exponent end fraction end style

begin mathsize 12px style rightwards arrow Ruas space kanan equals 2 minus fraction numerator left parenthesis k plus 1 right parenthesis plus 2 over denominator 2 to the power of left parenthesis k plus 1 right parenthesis end exponent end fraction equals 2 minus fraction numerator k plus 3 over denominator 2 to the power of k plus 1 end exponent end fraction end style

Karena ruas kiri = ruas kanan, maka P subscript nbenar untuk n equals k plus 1 

Dengan demikian,

 begin mathsize 12px style 1 half plus 2 over 2 squared plus 3 over 2 cubed plus horizontal ellipsis plus n over 2 to the power of n equals 2 minus fraction numerator n plus 2 over denominator 2 to the power of n end fraction end style

 terbukti benar untuk n bilangan asli.

Roboguru

Buktikan dengan induksi matematika.

Pembahasan Soal:

Prinsip Induksi Matematika:

Misalkan P open parentheses n close parentheses merupakan suatu pernyataan untuk setiap bilangan asli n. Pernyataan P open parentheses n close parentheses benar jika memenuhi langkah berikut.

1. Langkah awal: Dibuktikan P open parentheses 1 close parentheses benar.

2. Langkah induksi: Jika diasumsikan P open parentheses k close parentheses benar, maka harus dibuktikan bahwa P open parentheses k plus 1 close parentheses juga benar, untuk setiap k bilangan asli.

Jika langkah 1 dan 2 sudah diuji kebenarannya, maka ditarik kesimpulan bahwa P open parentheses n close parentheses benar untuk setiap bilangan asli n.

Akan dibuktikan dengan induksi matematika bahwa

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell open parentheses 1 cross times 2 cross times 3 close parentheses plus open parentheses 2 cross times 3 cross times 4 close parentheses plus open parentheses 3 cross times 4 cross times 5 close parentheses plus horizontal ellipsis plus n open parentheses n plus 1 close parentheses open parentheses n plus 2 close parentheses end cell row blank equals cell 1 fourth n open parentheses n plus 1 close parentheses open parentheses n plus 2 close parentheses open parentheses n plus 3 close parentheses end cell end table

Langkah awal:

Akan dibuktikan P open parentheses n close parentheses benar untuk n equals 1

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 1 cross times 2 cross times 3 end cell equals cell 1 fourth times 1 times open parentheses 1 plus 1 close parentheses open parentheses 1 plus 2 close parentheses open parentheses 1 plus 3 close parentheses end cell row 6 equals cell 1 fourth times 1 times 2 times 3 times 4 end cell row 6 equals 6 end table

Jadi, terbukti bahwa P open parentheses 1 close parentheses benar.

Langkah induksi:

Asumsikan P open parentheses k close parentheses benar sehingga 

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell open parentheses 1 cross times 2 cross times 3 close parentheses plus open parentheses 2 cross times 3 cross times 4 close parentheses plus open parentheses 3 cross times 4 cross times 5 close parentheses plus horizontal ellipsis plus k open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses k plus 2 close parentheses end cell row blank equals cell 1 fourth k open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses k plus 2 close parentheses open parentheses k plus 3 close parentheses end cell end table

Akan ditunjukkan bahwa P open parentheses k plus 1 close parentheses juga benar, sedemikian sehingga 

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell open parentheses 1 cross times 2 cross times 3 close parentheses plus open parentheses 2 cross times 3 cross times 4 close parentheses plus open parentheses 3 cross times 4 cross times 5 close parentheses plus horizontal ellipsis plus k open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses k plus 2 close parentheses end cell row blank blank cell plus open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses k plus 2 close parentheses plus open parentheses k plus 3 close parentheses end cell row blank equals cell 1 fourth open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses k plus 2 close parentheses open parentheses k plus 3 close parentheses open parentheses k plus 4 close parentheses end cell end table

Bukti:

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell open parentheses 1 cross times 2 cross times 3 close parentheses plus open parentheses 2 cross times 3 cross times 4 close parentheses plus open parentheses 3 cross times 4 cross times 5 close parentheses plus horizontal ellipsis plus k open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses k plus 2 close parentheses end cell row blank blank cell plus open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses k plus 2 close parentheses open parentheses k plus 3 close parentheses end cell row blank equals cell 1 fourth k open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses k plus 2 close parentheses open parentheses k plus 3 close parentheses plus open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses k plus 2 close parentheses open parentheses k plus 3 close parentheses end cell row blank equals cell fraction numerator k open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses k plus 2 close parentheses open parentheses k plus 3 close parentheses over denominator 4 end fraction plus fraction numerator 4 open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses k plus 2 close parentheses open parentheses k plus 3 close parentheses over denominator 4 end fraction end cell row blank equals cell open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses k plus 2 close parentheses open parentheses k plus 3 close parentheses open parentheses fraction numerator k plus 4 over denominator 4 end fraction close parentheses end cell row blank equals cell 1 fourth open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses k plus 2 close parentheses open parentheses k plus 3 close parentheses open parentheses k plus 4 close parentheses end cell end table

Jadi, terbukti bahwa P open parentheses k plus 1 close parentheses benar .

Pernyataan P open parentheses n close parentheses memenuhi kedua prinsip induksi matematika.

Dengan demikian, berdasarkan prinsip induksi matematika, P open parentheses n close parentheses benar untuk setiap n bilangan asli.

Roboguru

Buktikan dengan induksi matematika.  habis dibagi oleh .

Pembahasan Soal:

Prinsip Induksi Matematika:

Misalkan P open parentheses n close parentheses merupakan suatu pernyataan untuk setiap bilangan asli n. Pernyataan P open parentheses n close parentheses benar jika memenuhi langkah berikut.

1. Langkah awal: Dibuktikan P open parentheses 1 close parentheses benar.

2. Langkah induksi: Jika diasumsikan P open parentheses k close parentheses benar, maka harus dibuktikan bahwa P open parentheses k plus 1 close parentheses juga benar, untuk setiap k bilangan asli.

Jika langkah 1 dan 2 sudah diuji kebenarannya, maka ditarik kesimpulan bahwa P open parentheses n close parentheses benar untuk setiap bilangan asli n.

Akan dibuktikan bahwa open parentheses 2 to the power of 4 n minus 3 end exponent plus 3 to the power of 3 n plus 1 end exponent close parentheses habis dibagi oleh 11

Langkah awal:

Akan dibuktikan P open parentheses 1 close parentheses benar.

Untuk n equals 1 diperoleh

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 2 to the power of 4 times 1 minus 3 end exponent plus 3 to the power of 3 times 1 plus 1 end exponent end cell equals cell 2 to the power of 1 plus 3 to the power of 4 end cell row blank equals cell 2 plus 81 end cell row blank equals 83 end table

83 tidak habis dibagi oleh 11

Jadi, tidak terbukti P open parentheses 1 close parentheses benar

Pernyataan P open parentheses n close parentheses tidak memenuhi kedua prinsip induksi matematika.

Dengan demikian, tidak terbukti bahwa  open parentheses 2 to the power of 4 n minus 3 end exponent plus 3 to the power of 3 n plus 1 end exponent close parentheses habis dibagi oleh 11

Roboguru

Buktikan dengan induksi matematika.  berlaku untuk semua n bilangan asli.

Pembahasan Soal:

Misalkan P open parentheses n close parentheses colon space 1 cubed plus 2 cubed plus 3 cubed plus 4 cubed plus horizontal ellipsis plus n cubed equals n squared over 4 left parenthesis n plus 1 right parenthesis squared.

Langkah-langkah induksi matematika, yaitu sebagai berikut.

1. Langkah dasar/awal : Tunjukkan P open parentheses 1 close parentheses benar.

    Untuk n equals 1 rightwards arrow P open parentheses 1 close parentheses colon   

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 1 cubed end cell equals cell n squared over 4 left parenthesis n plus 1 right parenthesis squared space end cell row 1 equals cell 1 squared over 4 left parenthesis 1 plus 1 right parenthesis squared space end cell row 1 equals cell 1 fourth times 2 squared end cell row 1 equals cell 4 over 4 end cell row 1 equals cell 1 rightwards arrow open parentheses benar close parentheses end cell end table 

2. Asumsikan P open parentheses k close parentheses benar untuk sembarang k bilangan asli, kemudian tunjukkan P open parentheses k plus 1 close parentheses juga benar berdasarkan asumsi tersebut.

# Asumsikan bahwa P open parentheses k close parentheses benar 

1 cubed plus 2 cubed plus 3 cubed plus 4 cubed plus horizontal ellipsis plus k cubed equals k squared over 4 left parenthesis k plus 1 right parenthesis squared 

# Akan menunjukkan P open parentheses k plus 1 close parentheses benar

rightwards arrow Ruas space sebelah space kiri 

1 cubed plus 2 cubed plus 3 cubed plus 4 cubed plus horizontal ellipsis plus k cubed plus left parenthesis k plus 1 right parenthesis cubed space equals 1 fourth k squared left parenthesis k plus 1 right parenthesis squared plus 1 fourth 4 left parenthesis k plus 1 right parenthesis squared left parenthesis k plus 1 right parenthesis space equals 1 fourth left parenthesis k plus 1 right parenthesis squared left parenthesis k squared plus 4 left parenthesis k plus 1 right parenthesis right parenthesis equals 1 fourth left parenthesis k plus 1 right parenthesis squared left parenthesis k squared plus 4 k plus 4 right parenthesis equals left parenthesis k plus 1 right parenthesis squared over 4 left parenthesis k plus 2 right parenthesis squared 

rightwards arrow Ruas space sebelah space kanan 

left parenthesis k plus 1 right parenthesis squared over 4 left parenthesis k plus 1 plus 1 right parenthesis squared equals left parenthesis k plus 1 right parenthesis squared over 4 left parenthesis k plus 2 right parenthesis squared 

Karena ruas sebelah kiri = ruas sebelah kanan, maka P open parentheses k plus 1 close parentheses benar.

3. Kesimpulan : Terbukti bahwa 1 cubed plus 2 cubed plus 3 cubed plus 4 cubed plus horizontal ellipsis plus n cubed equals n squared over 4 left parenthesis n plus 1 right parenthesis squared benar untuk setiap bilangan asli n.

Dengan demikian, terbukti bahwa  begin mathsize 12px style 1 cubed plus 2 cubed plus 3 cubed plus 4 cubed plus horizontal ellipsis plus n cubed equals n squared over 4 left parenthesis n plus 1 right parenthesis squared end style benar untuk setiap bilangan asli n.

Roboguru

Buktikan dengan induksi matematika.

Pembahasan Soal:

Misalkan P open parentheses n close parentheses colon space 1 plus 3 plus 5 plus horizontal ellipsis plus left parenthesis 2 n minus 1 right parenthesis equals n squared.

Langkah-langkah induksi matematika, yaitu sebagai berikut.

1. Langkah dasar/awal : Tunjukkan P open parentheses 1 close parentheses benar.

Untuk n equals 1 rightwards arrow P open parentheses 1 close parentheses colon 

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row 1 equals cell n squared end cell row 1 equals cell 1 squared end cell row 1 equals cell 1 space open parentheses benar close parentheses end cell end table 

2. Asumsikan P open parentheses k close parentheses benar untuk sembarang k bilangan asli, kemudian tunjukkan P open parentheses k plus 1 close parentheses juga benar berdasarkan asumsi tersebut.

# Asumsikan bahwa P open parentheses k close parentheses benar 

 1 plus 3 plus 5 plus horizontal ellipsis plus left parenthesis 2 k minus 1 right parenthesis equals k squared

# Akan menunjukkan P open parentheses k plus 1 close parentheses benar

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 1 plus 3 plus 5 plus horizontal ellipsis plus left parenthesis 2 k minus 1 right parenthesis plus left parenthesis 2 left parenthesis k plus 1 right parenthesis minus 1 right parenthesis end cell equals cell left parenthesis k plus 1 right parenthesis squared space end cell row cell k squared plus left parenthesis 2 k plus 2 minus 1 right parenthesis end cell equals cell left parenthesis k plus 1 right parenthesis squared end cell row cell k squared plus 2 k plus 1 end cell equals cell left parenthesis k plus 1 right parenthesis squared end cell row cell left parenthesis k plus 1 right parenthesis squared end cell equals cell left parenthesis k plus 1 right parenthesis squared rightwards arrow open parentheses benar close parentheses end cell end table  

3. Kesimpulan : Terbukti bahwa 1 plus 3 plus 5 plus horizontal ellipsis plus left parenthesis 2 n minus 1 right parenthesis equals n squared benar untuk setiap bilangan asli n.

Dengan demikian, 1 plus 3 plus 5 plus horizontal ellipsis plus left parenthesis 2 n minus 1 right parenthesis equals n squared terbukti benar untuk setiap bilangan asli n .

Roboguru

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Produk Ruangguru

Produk Lainnya

Hubungi Kami

Ikuti Kami

©2021 Ruangguru. All Rights Reserved