Pertanyaan

Buktikan dengan induksi matematika. 2 1 + 4 1 + 8 1 + ⋯ + 2 n 1 = 1 − 2 n 1

Buktikan dengan induksi matematika.

$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots + \frac{1}{2 ^{n}} = 1 - \frac{1}{2 ^{n}}$

H. Eka

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Pendidikan Indonesia

Jawaban terverifikasi

Jawaban

berdasarkan prinsip induksi matematika, benar untuk setiap bilangan asli.

berdasarkan prinsip induksi matematika, P open parentheses n close parentheses

benar untuk setiap

bilangan asli.

Pembahasan

Prinsip Induksi Matematika: Misalkan merupakan suatu pernyataan untuk setiapbilangan asli . Pernyataan benar jika memenuhi langkah berikut. 1. Langkah awal: Dibuktikan benar. 2. Langkah induksi: Jika diasumsikan benar, maka harus dibuktikan bahwa juga benar, untuk setiap bilangan asli. Jika langkah 1 dan 2 sudah diuji kebenarannya, maka ditarik kesimpulan bahwa benar untuk setiap bilangan asli . Akan dibuktikan dengan induksi matematika bahwa Langkah awal: Akan dibuktikan benar untuk Jadi, terbukti bahwa benar. Langkah induksi: Asumsikan benarsehingga Akan ditunjukkan bahwa juga benar, sedemikian sehingga Bukti: Jadi, terbukti bahwa benar . Pernyataan memenuhi kedua prinsip induksi matematika. Dengan demikian, berdasarkan prinsip induksi matematika, benar untuk setiap bilangan asli.

Prinsip Induksi Matematika:

Misalkan P open parentheses n close parentheses merupakan suatu pernyataan untuk setiap bilangan asli . Pernyataan benar jika memenuhi langkah berikut.

1. Langkah awal: Dibuktikan P open parentheses 1 close parentheses benar.

2. Langkah induksi: Jika diasumsikan P open parentheses k close parentheses benar, maka harus dibuktikan bahwa P open parentheses k plus 1 close parentheses juga benar, untuk setiap bilangan asli.

Jika langkah 1 dan 2 sudah diuji kebenarannya, maka ditarik kesimpulan bahwa P open parentheses n close parentheses benar untuk setiap bilangan asli .

Akan dibuktikan dengan induksi matematika bahwa

1 half plus 1 fourth plus 1 over 8 plus horizontal ellipsis plus 1 over 2 to the power of n equals 1 minus 1 over 2 to the power of n

Langkah awal:

Akan dibuktikan P open parentheses n close parentheses benar untuk n equals 1

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 1 over 2 to the power of 1 end cell equals cell 1 minus 1 over 2 to the power of n end cell row cell 1 half end cell equals cell 1 minus 1 half end cell row cell 1 half end cell equals cell 1 half end cell end table

Jadi, terbukti bahwa P open parentheses 1 close parentheses benar.

Langkah induksi:

Asumsikan P open parentheses k close parentheses benar sehingga

1 half plus 1 fourth plus 1 over 8 plus horizontal ellipsis plus 1 over 2 to the power of k equals 1 minus 1 over 2 to the power of k

Akan ditunjukkan bahwa P open parentheses k plus 1 close parentheses juga benar, sedemikian sehingga

1 half plus 1 fourth plus 1 over 8 plus horizontal ellipsis plus 1 over 2 to the power of k plus 1 over 2 to the power of k plus 1 end exponent equals 1 minus 1 over 2 to the power of k plus 1 end exponent

Bukti:

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell 1 half plus 1 fourth plus 1 over 8 plus horizontal ellipsis plus 1 over 2 to the power of k plus 1 over 2 to the power of k plus 1 end exponent end cell row blank equals cell 1 minus 1 over 2 to the power of k plus 1 over 2 to the power of k plus 1 end exponent end cell row blank equals cell 1 minus 1 over 2 to the power of k plus fraction numerator 1 over denominator 2 times 2 to the power of k end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 2 times 2 to the power of k minus 2 plus 1 over denominator 2 times 2 to the power of k end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 2 times 2 to the power of k minus 1 over denominator 2 times 2 to the power of k end fraction end cell row blank equals cell 1 minus fraction numerator 1 over denominator 2 times 2 to the power of k end fraction end cell row blank equals cell 1 minus 1 over 2 to the power of k plus 1 end exponent end cell end table$

Jadi, terbukti bahwa P open parentheses k plus 1 close parentheses benar .

Pernyataan P open parentheses n close parentheses memenuhi kedua prinsip induksi matematika.

Dengan demikian, berdasarkan prinsip induksi matematika, P open parentheses n close parentheses benar untuk setiap bilangan asli.