Roboguru

Buktikan dengan induksi matematika. 21​+41​+81​+⋯+2n1​=1−2n1​

Pertanyaan

Buktikan dengan induksi matematika.

1 half plus 1 fourth plus 1 over 8 plus horizontal ellipsis plus 1 over 2 to the power of n equals 1 minus 1 over 2 to the power of n

Pembahasan Soal:

Prinsip Induksi Matematika:

Misalkan P open parentheses n close parentheses merupakan suatu pernyataan untuk setiap bilangan asli n. Pernyataan P open parentheses n close parentheses benar jika memenuhi langkah berikut.

1. Langkah awal: Dibuktikan P open parentheses 1 close parentheses benar.

2. Langkah induksi: Jika diasumsikan P open parentheses k close parentheses benar, maka harus dibuktikan bahwa P open parentheses k plus 1 close parentheses juga benar, untuk setiap k bilangan asli.

Jika langkah 1 dan 2 sudah diuji kebenarannya, maka ditarik kesimpulan bahwa P open parentheses n close parentheses benar untuk setiap bilangan asli n.

Akan dibuktikan dengan induksi matematika bahwa

1 half plus 1 fourth plus 1 over 8 plus horizontal ellipsis plus 1 over 2 to the power of n equals 1 minus 1 over 2 to the power of n

Langkah awal:

Akan dibuktikan P open parentheses n close parentheses benar untuk n equals 1

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 1 over 2 to the power of 1 end cell equals cell 1 minus 1 over 2 to the power of n end cell row cell 1 half end cell equals cell 1 minus 1 half end cell row cell 1 half end cell equals cell 1 half end cell end table

Jadi, terbukti bahwa P open parentheses 1 close parentheses benar.

Langkah induksi:

Asumsikan P open parentheses k close parentheses benar sehingga 

1 half plus 1 fourth plus 1 over 8 plus horizontal ellipsis plus 1 over 2 to the power of k equals 1 minus 1 over 2 to the power of k

Akan ditunjukkan bahwa P open parentheses k plus 1 close parentheses juga benar, sedemikian sehingga 

1 half plus 1 fourth plus 1 over 8 plus horizontal ellipsis plus 1 over 2 to the power of k plus 1 over 2 to the power of k plus 1 end exponent equals 1 minus 1 over 2 to the power of k plus 1 end exponent

Bukti:

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell 1 half plus 1 fourth plus 1 over 8 plus horizontal ellipsis plus 1 over 2 to the power of k plus 1 over 2 to the power of k plus 1 end exponent end cell row blank equals cell 1 minus 1 over 2 to the power of k plus 1 over 2 to the power of k plus 1 end exponent end cell row blank equals cell 1 minus 1 over 2 to the power of k plus fraction numerator 1 over denominator 2 times 2 to the power of k end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 2 times 2 to the power of k minus 2 plus 1 over denominator 2 times 2 to the power of k end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 2 times 2 to the power of k minus 1 over denominator 2 times 2 to the power of k end fraction end cell row blank equals cell 1 minus fraction numerator 1 over denominator 2 times 2 to the power of k end fraction end cell row blank equals cell 1 minus 1 over 2 to the power of k plus 1 end exponent end cell end table

Jadi, terbukti bahwa P open parentheses k plus 1 close parentheses benar .

Pernyataan P open parentheses n close parentheses memenuhi kedua prinsip induksi matematika.

Dengan demikian, berdasarkan prinsip induksi matematika, P open parentheses n close parentheses benar untuk setiap n bilangan asli.

Pembahasan terverifikasi oleh Roboguru

Dijawab oleh:

H. Eka

Mahasiswa/Alumni Universitas Pendidikan Indonesia

Terakhir diupdate 07 Oktober 2021

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

Pertanyaan yang serupa

Buktikan dengan induksi matematika. 1+4+12+⋯+21−nn​=2n(n−1)+1

0

Roboguru

Buktikan dengan induksi matematika. 2×51​+5×81​+8×111​+⋯+(3n−1)(3n+2)1​=6n+4n​

1

Roboguru

Buktikan dengan induksi matematika. 14+24+34+⋯+n4=301​n(n+1)(2n+1)(3n2+3n−1)

0

Roboguru

Buktikan dengan induksi matematika. 1+3+6+10+⋯+21​n(n+1)=61​n(n+1)(n+2)

1

Roboguru

Buktikan dengan induksi matematika. k=1∑n​k(k+1)(k+2)=4n(n+1)(n+2)(n+3)​

2

Roboguru

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Produk Ruangguru

Produk Lainnya

Hubungi Kami

Ikuti Kami

©2021 Ruangguru. All Rights Reserved