Roboguru

Dengan menggunakan rumus yang telah dibuktikan, hitunglah:  a.

Pertanyaan

Dengan menggunakan rumus yang telah dibuktikan, hitunglah: 

a. begin mathsize 14px style 2 squared plus 4 squared plus 6 squared plus... plus 100 squared space end style 

Pembahasan Video:

Pembahasan Soal:

Menggunakan rumus dimana n = 50

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 2 squared plus 4 squared plus 6 squared plus... plus left parenthesis 2 times 50 right parenthesis squared end cell equals cell fraction numerator 2 straight n left parenthesis straight n plus 1 right parenthesis left parenthesis 2 straight n plus 1 right parenthesis over denominator 3 end fraction equals fraction numerator 2.50 left parenthesis 50 plus 1 right parenthesis left parenthesis 2.50 plus 1 right parenthesis over denominator 3 end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 100.51.101 over denominator 3 end fraction end cell row blank equals cell 515100 over 3 end cell row blank equals 171700 end table

Jadi hasil dari 2 squared plus 4 squared plus 6 squared plus... plus 100 squared equals 171700 space dengan menggnakan rumus yang telah dibuktikan

Pembahasan terverifikasi oleh Roboguru

Dijawab oleh:

N. Puspita

Terakhir diupdate 13 September 2021

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

Pertanyaan yang serupa

Buktikan dengan induksi matematika. berlaku untuk semua n bilangan asli.

Pembahasan Soal:

Misalkan begin mathsize 12px style P subscript n identical to 1 half plus 2 over 2 squared plus 3 over 2 cubed plus horizontal ellipsis plus n over 2 to the power of n equals 2 minus fraction numerator n plus 2 over denominator 2 to the power of n end fraction end style.

Langkah-langkah induksi matematika, yaitu sebagai berikut.

Dibuktikan P subscript n benar untuk n equals 1

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell n over 2 to the power of n end cell equals cell 2 minus fraction numerator n plus 2 over denominator 2 to the power of n end fraction end cell row cell 1 over 2 to the power of 1 end cell equals cell 2 minus fraction numerator 1 plus 2 over denominator 2 to the power of 1 end fraction end cell row cell 1 half end cell equals cell 2 minus 3 over 2 end cell row cell 1 half end cell equals cell 1 half end cell end table

Jadi,  P subscript n benar untuk n equals 1

P subscript n diamsusikan benar untuk n equals k, sehingga 

begin mathsize 12px style 1 half plus 2 over 2 squared plus 3 over 2 cubed plus horizontal ellipsis plus k over 2 to the power of k equals 2 minus fraction numerator k plus 2 over denominator 2 to the power of k end fraction end style

P subscript n benar untuk n equals k plus 1

begin mathsize 12px style rightwards arrow Ruas space kiri equals 1 half plus 2 over 2 squared plus 3 over 2 cubed plus horizontal ellipsis plus k over 2 to the power of k plus fraction numerator k plus 1 over denominator 2 to the power of k plus 1 end exponent end fraction equals 2 minus fraction numerator k plus 2 over denominator 2 to the power of k end fraction plus fraction numerator k plus 1 over denominator 2 to the power of k plus 1 end exponent end fraction equals 2 plus fraction numerator negative 2 left parenthesis k plus 2 right parenthesis plus k plus 1 over denominator 2 to the power of k plus 1 end exponent end fraction equals 2 plus fraction numerator negative 2 k minus 4 plus k plus 1 over denominator 2 to the power of k plus 1 end exponent end fraction equals 2 plus fraction numerator negative k minus 3 over denominator 2 to the power of k plus 1 end exponent end fraction equals 2 plus fraction numerator negative left parenthesis k plus 3 right parenthesis over denominator k to the power of k plus 1 end exponent end fraction equals 2 minus fraction numerator k plus 3 over denominator k to the power of k plus 1 end exponent end fraction end style

begin mathsize 12px style rightwards arrow Ruas space kanan equals 2 minus fraction numerator left parenthesis k plus 1 right parenthesis plus 2 over denominator 2 to the power of left parenthesis k plus 1 right parenthesis end exponent end fraction equals 2 minus fraction numerator k plus 3 over denominator 2 to the power of k plus 1 end exponent end fraction end style

Karena ruas kiri = ruas kanan, maka P subscript nbenar untuk n equals k plus 1 

Dengan demikian,

 begin mathsize 12px style 1 half plus 2 over 2 squared plus 3 over 2 cubed plus horizontal ellipsis plus n over 2 to the power of n equals 2 minus fraction numerator n plus 2 over denominator 2 to the power of n end fraction end style

 terbukti benar untuk n bilangan asli.

1

Roboguru

Buktikan dengan induksi matematika.  habis dibagi oleh .

Pembahasan Soal:

Prinsip Induksi Matematika:

Misalkan P open parentheses n close parentheses merupakan suatu pernyataan untuk setiap bilangan asli n. Pernyataan P open parentheses n close parentheses benar jika memenuhi langkah berikut.

1. Langkah awal: Dibuktikan P open parentheses 1 close parentheses benar.

2. Langkah induksi: Jika diasumsikan P open parentheses k close parentheses benar, maka harus dibuktikan bahwa P open parentheses k plus 1 close parentheses juga benar, untuk setiap k bilangan asli.

Jika langkah 1 dan 2 sudah diuji kebenarannya, maka ditarik kesimpulan bahwa P open parentheses n close parentheses benar untuk setiap bilangan asli n.

Akan dibuktikan bahwa 7 to the power of 2 n plus 1 end exponent plus 1 habis dibagi oleh 8

Langkah awal:

Akan dibuktikan P open parentheses 1 close parentheses benar.

Untuk n equals 1 diperoleh

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 7 to the power of 2 times 1 plus 1 end exponent plus 1 end cell equals cell 7 cubed plus 1 end cell row blank equals cell 343 plus 1 end cell row blank equals 344 row blank equals cell 8 open parentheses 43 close parentheses end cell end table

Jadi, terbukti benar bahwa P open parentheses 1 close parentheses habis dibagi 8

Langkah induksi:

P open parentheses n close parentheses diasumsikan benar untuk n equals k sehingga P open parentheses k close parentheses equals 7 to the power of 2 k plus 1 end exponent plus 1 habis dibagi 8

Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa P open parentheses k plus 1 close parentheses equals 7 to the power of 2 open parentheses k plus 1 close parentheses plus 1 end exponent plus 1 habis dibagi 8 juga benar.

Karena 7 to the power of 2 k plus 1 end exponent plus 1 habis dibagi 8, maka dapat kita misalkan 7 to the power of 2 k plus 1 end exponent plus 1 equals 8 m, untuk m bilangan bulat positif. Akibatnya, diperoleh 7 times 7 to the power of 2 k end exponent equals 8 m minus 1

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell P open parentheses k plus 1 close parentheses end cell equals cell 7 to the power of 2 open parentheses k plus 1 close parentheses plus 1 end exponent plus 1 end cell row blank equals cell 7 to the power of 2 k plus 3 end exponent plus 1 end cell row blank equals cell 7 cubed times 7 to the power of 2 k end exponent plus 1 end cell row blank equals cell 7 squared open parentheses 7 times 7 to the power of 2 k end exponent close parentheses plus 1 end cell row blank equals cell 49 open parentheses 8 m minus 1 close parentheses plus 1 end cell row blank equals cell 49 times 8 m minus 49 plus 1 end cell row blank equals cell 49 times 8 m minus 48 end cell row blank equals cell 8 open parentheses 49 m minus 6 close parentheses end cell end table

Jadi, terbukti bahwa P open parentheses k plus 1 close parentheses habis dibagi 8

Pernyataan P open parentheses n close parentheses memenuhi kedua prinsip induksi matematika.

Dengan demikian, terbukti bahwa  7 to the power of 2 n plus 1 end exponent plus 1 habis dibagi oleh 8

3

Roboguru

Buktikan dengan induksi matematika.

Pembahasan Soal:

Prinsip Induksi Matematika:

Misalkan P open parentheses n close parentheses merupakan suatu pernyataan untuk setiap bilangan asli n. Pernyataan P open parentheses n close parentheses benar jika memenuhi langkah berikut.

1. Langkah awal: Dibuktikan P open parentheses 1 close parentheses benar.

2. Langkah induksi: Jika diasumsikan P open parentheses k close parentheses benar, maka harus dibuktikan bahwa P open parentheses k plus 1 close parentheses juga benar, untuk setiap k bilangan asli.

Jika langkah 1 dan 2 sudah diuji kebenarannya, maka ditarik kesimpulan bahwa P open parentheses n close parentheses benar untuk setiap bilangan asli n.

Akan dibuktikan dengan induksi matematika bahwa

1 to the power of 4 plus 2 to the power of 4 plus 3 to the power of 4 plus horizontal ellipsis plus n to the power of 4 equals 1 over 30 n open parentheses n plus 1 close parentheses open parentheses 2 n plus 1 close parentheses open parentheses 3 n squared plus 3 n minus 1 close parentheses

Langkah awal:

Akan dibuktikan P open parentheses 1 close parentheses benar.

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 1 to the power of 4 end cell equals cell 1 over 30 times 1 open parentheses 1 plus 1 close parentheses open parentheses 2 times 1 plus 1 close parentheses open parentheses 3 times 1 squared plus 3 times 1 minus 1 close parentheses end cell row 1 equals cell 1 over 30 times 1 times 2 times 3 times 5 end cell row 1 equals 1 end table

Jadi, terbukti bahwa P open parentheses 1 close parentheses benar.

Langkah induksi:

Asumsikan P open parentheses k close parentheses benar sehingga 

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 1 to the power of 4 plus 2 to the power of 4 plus 3 to the power of 4 plus horizontal ellipsis plus k to the power of 4 end cell equals cell 1 over 30 k open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses 2 k plus 1 close parentheses open parentheses 3 k squared plus 3 k minus 1 close parentheses end cell row blank equals cell fraction numerator k open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses 6 k cubed plus 9 k squared plus k minus 1 close parentheses over denominator 30 end fraction end cell end table

Akan ditunjukkan bahwa P open parentheses k plus 1 close parentheses juga benar, sedemikian sehingga 

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell 1 to the power of 4 plus 2 to the power of 4 plus 3 to the power of 4 plus horizontal ellipsis plus k to the power of 4 plus open parentheses k plus 1 close parentheses to the power of 4 end cell row blank equals cell 1 over 30 open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses k plus 2 close parentheses open parentheses 2 k plus 3 close parentheses open parentheses 3 k squared plus 9 k plus 5 close parentheses end cell row blank equals cell fraction numerator open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses k plus 2 close parentheses open parentheses 6 open parentheses k plus 1 close parentheses cubed plus 9 open parentheses k plus 1 close parentheses squared plus open parentheses k plus 1 close parentheses minus 1 close parentheses over denominator 30 end fraction end cell end table

Bukti:

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell 1 to the power of 4 plus 2 to the power of 4 plus 3 to the power of 4 plus horizontal ellipsis plus k to the power of 4 plus open parentheses k plus 1 close parentheses to the power of 4 end cell row blank equals cell 1 over 30 k open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses 6 k cubed plus 9 k squared plus k minus 1 close parentheses plus open parentheses k plus 1 close parentheses to the power of 4 end cell row blank equals cell open parentheses k plus 1 close parentheses open square brackets 1 over 30 k open parentheses 6 k cubed plus 9 k squared plus k minus 1 close parentheses plus open parentheses k plus 1 close parentheses cubed close square brackets end cell row blank equals cell open parentheses k plus 1 close parentheses open square brackets fraction numerator 6 k to the power of 4 plus 9 k cubed plus k squared minus k over denominator 30 end fraction plus fraction numerator 30 open parentheses k plus 1 close parentheses cubed over denominator 30 end fraction close square brackets end cell row blank equals cell open parentheses k plus 1 close parentheses open square brackets fraction numerator 6 k to the power of 4 plus 9 k cubed plus k squared minus k over denominator 30 end fraction plus fraction numerator 30 open parentheses k cubed plus 3 k squared plus 3 k plus 1 close parentheses over denominator 30 end fraction close square brackets end cell row blank equals cell open parentheses k plus 1 close parentheses open square brackets fraction numerator 6 k to the power of 4 plus 39 k cubed plus 91 k squared plus 89 k plus 30 over denominator 30 end fraction close square brackets end cell row blank equals cell open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses k plus 2 close parentheses open parentheses fraction numerator 6 k cubed plus 27 k squared plus 37 k plus 15 over denominator 30 end fraction close parentheses end cell row blank equals cell fraction numerator open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses k plus 2 close parentheses open parentheses 6 open parentheses k plus 1 close parentheses cubed plus 9 open parentheses k plus 1 close parentheses squared plus open parentheses k plus 1 close parentheses minus 1 close parentheses over denominator 30 end fraction end cell end table

Jadi, terbukti bahwa P open parentheses k plus 1 close parentheses benar .

Pernyataan P open parentheses n close parentheses memenuhi kedua prinsip induksi matematika.

Dengan demikian, berdasarkan prinsip induksi matematika, P open parentheses n close parentheses benar untuk setiap n bilangan asli.

0

Roboguru

Buktikan dengan induksi matematika.

Pembahasan Soal:

Prinsip Induksi Matematika:

Misalkan P open parentheses n close parentheses merupakan suatu pernyataan untuk setiap bilangan asli n. Pernyataan P open parentheses n close parentheses benar jika memenuhi langkah berikut.

1. Langkah awal: Dibuktikan P open parentheses 1 close parentheses benar.

2. Langkah induksi: Jika diasumsikan P open parentheses k close parentheses benar, maka harus dibuktikan bahwa P open parentheses k plus 1 close parentheses juga benar, untuk setiap k bilangan asli.

Jika langkah 1 dan 2 sudah diuji kebenarannya, maka ditarik kesimpulan bahwa P open parentheses n close parentheses benar untuk setiap bilangan asli n.

Akan dibuktikan dengan induksi matematika bahwa

sum from k equals 1 to n of k open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses k plus 2 close parentheses equals fraction numerator n open parentheses n plus 1 close parentheses open parentheses n plus 2 close parentheses open parentheses n plus 3 close parentheses over denominator 4 end fraction

Langkah awal:

Akan dibuktikan P open parentheses 1 close parentheses benar.

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 1 open parentheses 1 plus 1 close parentheses open parentheses 1 plus 2 close parentheses end cell equals cell fraction numerator 1 open parentheses 1 plus 1 close parentheses open parentheses 1 plus 2 close parentheses open parentheses 1 plus 3 close parentheses over denominator 4 end fraction end cell row cell 1 times 2 times 3 end cell equals cell fraction numerator 1 times 2 times 3 times 4 over denominator 4 end fraction end cell row 6 equals 6 end table

Jadi, terbukti P open parentheses 1 close parentheses benar.

Langkah induksi:

P open parentheses n close parentheses diasumsikan benar untuk n equals m sehingga 

sum from k equals 1 to m of k open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses k plus 2 close parentheses equals fraction numerator m open parentheses m plus 1 close parentheses open parentheses m plus 2 close parentheses open parentheses m plus 3 close parentheses over denominator 4 end fraction

Akan ditunjukkan bahwa untuk n equals m plus 1 juga benar, sedemikian sehingga 

sum from k equals 1 to m plus 1 of k open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses k plus 2 close parentheses equals fraction numerator open parentheses m plus 1 close parentheses open parentheses m plus 2 close parentheses open parentheses m plus 3 close parentheses open parentheses m plus 4 close parentheses over denominator 4 end fraction

Bukti:

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell sum from k equals 1 to m plus 1 of k open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses k plus 2 close parentheses end cell row blank equals cell sum from k equals 1 to m of k open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses k plus 2 close parentheses plus sum from k equals m plus 1 to m plus 1 of k open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses k plus 2 close parentheses end cell row blank equals cell fraction numerator m open parentheses m plus 1 close parentheses open parentheses m plus 2 close parentheses open parentheses m plus 3 close parentheses over denominator 4 end fraction plus open parentheses m plus 1 close parentheses open parentheses m plus 2 close parentheses open parentheses m plus 3 close parentheses end cell row blank equals cell fraction numerator m open parentheses m plus 1 close parentheses open parentheses m plus 2 close parentheses open parentheses m plus 3 close parentheses over denominator 4 end fraction plus fraction numerator 4 open parentheses m plus 1 close parentheses open parentheses m plus 2 close parentheses open parentheses m plus 3 close parentheses over denominator 4 end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator open parentheses m plus 1 close parentheses open parentheses m plus 2 close parentheses open parentheses m plus 3 close parentheses open parentheses m plus 4 close parentheses over denominator 4 end fraction end cell end table

Jadi, terbukti bahwa P open parentheses n close parentheses benar untuk n equals m plus 1.

Pernyataan P open parentheses n close parentheses memenuhi kedua prinsip induksi matematika.

Dengan demikian, berdasarkan prinsip induksi matematika, P open parentheses n close parentheses benar untuk setiap n bilangan asli.

2

Roboguru

Buktikan dengan induksi matematika. Buktikan  habis dibagi .

Pembahasan Soal:

Prinsip Induksi Matematika:

Misalkan P open parentheses n close parentheses merupakan suatu pernyataan untuk setiap bilangan asli n. Pernyataan P open parentheses n close parentheses benar jika memenuhi langkah berikut.

1. Langkah awal: Dibuktikan P open parentheses 1 close parentheses benar.

2. Langkah induksi: Jika diasumsikan P open parentheses k close parentheses benar, maka harus dibuktikan bahwa P open parentheses k plus 1 close parentheses juga benar, untuk setiap k bilangan asli.

Jika langkah 1 dan 2 sudah diuji kebenarannya, maka ditarik kesimpulan bahwa P open parentheses n close parentheses benar untuk setiap bilangan asli n.

Akan dibuktikan bahwa n open parentheses n plus 1 close parentheses habis dibagi 2 untuk semua bilangan asli n.

Langkah awal:

Akan dibuktikan P open parentheses 1 close parentheses benar.

Untuk n equals 1 diperoleh

1 open parentheses 1 plus 1 close parentheses equals 1 times 2 equals 2

Jadi, terbukti benar bahwa P open parentheses 1 close parentheses habis dibagi 2

Langkah induksi:

P open parentheses n close parentheses diasumsikan benar untuk n equals k sehingga P open parentheses k close parentheses equals k open parentheses k plus 1 close parentheses habis dibagi 2.

Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa P open parentheses k plus 1 close parentheses equals open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses k plus 2 close parentheses habis dibagi 2 juga benar.

Karena k open parentheses k plus 1 close parentheses equals k squared plus k habis dibagi 2, maka dapat kita misalkan k squared plus k equals 2 m, untuk m bilangan bulat positif. 

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell P open parentheses k plus 1 close parentheses end cell equals cell open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses open parentheses k plus 1 close parentheses plus 1 close parentheses end cell row blank equals cell open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses k plus 2 close parentheses end cell row blank equals cell k squared plus 3 k plus 2 end cell row blank equals cell open parentheses k squared plus k close parentheses plus 2 k plus 2 end cell row blank equals cell 2 m plus 2 k plus 2 end cell row blank equals cell 2 open parentheses m plus k plus 2 close parentheses end cell end table

Jadi, terbukti bahwa P open parentheses k plus 1 close parentheses habis dibagi 2

Pernyataan P open parentheses n close parentheses memenuhi kedua prinsip induksi matematika.

Dengan demikian, berdasarkan prinsip induksi matematika, P open parentheses n close parentheses benar untuk setiap n bilangan asli.

1

Roboguru

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Produk Ruangguru

Produk Lainnya

Hubungi Kami

Ikuti Kami

©2021 Ruangguru. All Rights Reserved