Roboguru

Buktikan dengan induksi matematika. Buktikan (52n+3n−1) habis dibagi 9.

Pertanyaan

Buktikan dengan induksi matematika.

Buktikan open parentheses 5 to the power of 2 n end exponent plus 3 to the power of n minus 1 close parentheses habis dibagi 9.

Pembahasan:

Prinsip Induksi Matematika:

Misalkan P open parentheses n close parentheses merupakan suatu pernyataan untuk setiap bilangan asli n. Pernyataan P open parentheses n close parentheses benar jika memenuhi langkah berikut.

1. Langkah awal: Dibuktikan P open parentheses 1 close parentheses benar.

2. Langkah induksi: Jika diasumsikan P open parentheses k close parentheses benar, maka harus dibuktikan bahwa P open parentheses k plus 1 close parentheses juga benar, untuk setiap k bilangan asli.

Jika langkah 1 dan 2 sudah diuji kebenarannya, maka ditarik kesimpulan bahwa P open parentheses n close parentheses benar untuk setiap bilangan asli n.

Asumsi soal: akan dibuktikan bahwa open parentheses 5 to the power of 2 n end exponent plus 3 n minus 1 close parentheses habis dibagi 9 untuk semua bilangan asli n.

Langkah awal:

Akan dibuktikan P open parentheses 1 close parentheses benar.

Untuk n equals 1 diperoleh

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 5 to the power of 2 times 1 end exponent plus 3 times 1 minus 1 end cell equals cell 5 squared plus 3 minus 1 end cell row blank equals 27 row blank equals cell 9 open parentheses 3 close parentheses end cell end table

Jadi, terbukti benar bahwa P open parentheses 1 close parentheses habis dibagi 9

Langkah induksi:

P open parentheses n close parentheses diasumsikan benar untuk n equals k sehingga P open parentheses k close parentheses equals open parentheses 5 to the power of 2 k end exponent plus 3 k minus 1 close parentheses habis dibagi 9.

Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa P open parentheses k plus 1 close parentheses equals 5 to the power of 2 open parentheses k plus 1 close parentheses end exponent plus 3 open parentheses k plus 1 close parentheses minus 1 habis dibagi 9 juga benar.

Karena 5 to the power of 2 k end exponent plus 3 k minus 1 habis dibagi 9, maka dapat kita misalkan 5 to the power of 2 k end exponent plus 3 k minus 1 equals 9 m, untuk m bilangan bulat positif.

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell P open parentheses k plus 1 close parentheses end cell equals cell 5 to the power of 2 open parentheses k plus 1 close parentheses end exponent plus 3 open parentheses k plus 1 close parentheses minus 1 end cell row blank equals cell 5 to the power of 2 k plus 2 end exponent plus 3 k plus 3 minus 1 end cell row blank equals cell 5 squared times 5 to the power of 2 k end exponent plus 3 k plus 3 minus 1 end cell row blank equals cell 25 times 5 to the power of 2 k end exponent plus 3 k plus 2 end cell row blank equals cell 25 open parentheses 5 to the power of 2 k end exponent plus 3 k minus 1 close parentheses minus 72 k plus 27 end cell row blank equals cell 25 open parentheses 9 m close parentheses minus 72 k plus 27 end cell row blank equals cell 9 open parentheses 25 m minus 8 k plus 3 close parentheses end cell end table

Jadi, terbukti bahwa P open parentheses k plus 1 close parentheses habis dibagi 9 .

Pernyataan P open parentheses n close parentheses memenuhi kedua prinsip induksi matematika.

Dengan demikian, berdasarkan prinsip induksi matematika, P open parentheses n close parentheses benar untuk setiap n bilangan asli.

Jawaban terverifikasi

Dijawab oleh:

H. Eka

Mahasiswa/Alumni Universitas Pendidikan Indonesia

Terakhir diupdate 07 Oktober 2021

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

Pertanyaan serupa

Buktikan dengan induksi matematika. (p2n−1+q2n−1) habis dibagi oleh (p+q) untuk semua bilangan asli n.

0

Roboguru

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Produk Ruangguru

Produk Lainnya

Hubungi Kami

Ikuti Kami

©2021 Ruangguru. All Rights Reserved