Pertanyaan

Dari titik P ( 5 , 1 ) dibuat garis singgunglingkaran x 2 + y 2 − 4 x + 6 y + 4 = 0 dengan titik singgung Q . Panjang PQ adalah ...

Dari titik $P (5, 1)$ dibuat garis singgung lingkaran $x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y + 4 = 0$ dengan titik singgung $Q$ . Panjang $PQ$ adalah ...

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

D. Firmansyah

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang benar adalah C.

Pembahasan

Jika diketahui persamaan lingkaran x 2 + y 2 − 4 x + 6 y + 4 = 0 dan titik P ( 5 , 1 ) maka kita cek terlebih dahulu posisi titik dengn substitusi ke persamaan lingkaran. x 2 + y 2 − 4 x + 6 y + 4 ( 5 ) 2 + ( 1 ) 2 − 4 ( 5 ) + 6 ( 1 ) + 4 = = = 0 25 + 1 − 20 + 6 12 Karena x 2 + y 2 + A x + B y + C > 0 maka titik berada di luar lingkaran. Ingat bahwa, Garis singgung akan tegak lurus dengan jari -jari. Sehingga, Misalkan M : titik pusat lingkaran, Q : titik singgung, dan P : titik diluar lingkaran. Segitiga PMQ akan membentuk segitiga siku - siku, dan berlaku teorema pythagoras. ( ∣ PM ∣ ) 2 = ( ∣ PQ ∣ ) 2 + ( ∣ QM ∣ ) 2 Dimana jarak dari dua titik ( x 1 , y 1 ) dan ( x 2 , y 2 ) adalah d = ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 . Sehingga pada persamaan lingkaran x 2 + y 2 − 4 x + 6 y + 4 = 0 memiliki Titik pusat : ( a , b ) dimana ( a , b ) = = = ( − 2 A , − 2 B ) ( − 2 ( − 4 ) , − 2 6 ) ( 2 , − 3 ) dan Jari - jari ( r ) r = = = = = a 2 + b 2 − C ( 2 ) 2 + ( − 3 ) 2 − 4 4 + 9 − 4 9 3 Jarak dari titik P ( 5 , 1 ) ke titik M ( 2 , − 3 ) adalah d = = = = = = ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 ( 2 − 5 ) 2 + ( − 3 − 1 ) 2 ( − 3 ) 2 + ( − 4 ) 2 9 + 16 25 5 Jadi panjang garis singgung PQ adalah ( ∣ PM ∣ ) 2 ( 5 ) 2 ( ∣ PQ ∣ ) 2 ( ∣ PQ ∣ ) 2 ∣ PQ ∣ ∣ PQ ∣ = = = = = = ( ∣ PQ ∣ ) 2 + ( ∣ QM ∣ ) 2 ( ∣ PQ ∣ ) 2 + ( 3 ) 2 25 = ( ∣ PQ ∣ ) 2 + 9 25 − 9 16 16 4 Jadi didapat panjang PQ adalah 4 Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah C.

Jika diketahui persamaan lingkaran $x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y + 4 = 0$ dan titik $P (5, 1)$ maka kita cek terlebih dahulu posisi titik dengn substitusi ke persamaan lingkaran.

$x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y + 4 (5)^{2} + (1)^{2} - 4 (5) + 6 (1) + 4 = = = 0 25 + 1 - 20 + 6 12$

Karena $x^{2} + y^{2} + A x + B y + C > 0$ maka titik berada di luar lingkaran.

Ingat bahwa, Garis singgung akan tegak lurus dengan jari -jari. Sehingga, Misalkan $M$ : titik pusat lingkaran, $Q$ : titik singgung, dan $P$ : titik diluar lingkaran. Segitiga $PMQ$ akan membentuk segitiga siku - siku, dan berlaku teorema pythagoras.

$(∣ PM ∣)^{2} = (∣ PQ ∣)^{2} + (∣ QM ∣)^{2}$

Dimana jarak dari dua titik $(x_{1}, y_{1})$ dan $(x_{2}, y_{2})$ adalah

$d = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}$ .

Sehingga pada persamaan lingkaran $x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y + 4 = 0$ memiliki

Titik pusat : $(a, b)$ dimana

$(a, b) = = = (- \frac{A}{2}, - \frac{B}{2}) (- \frac{( - 4 )}{2}, - \frac{6}{2}) (2, - 3)$

dan Jari - jari $(r)$

$r = = = = = a^{2} + b^{2} - C (2)^{2} + (- 3)^{2} - 4 4 + 9 - 4 93$

Jarak dari titik $P (5, 1)$ ke titik $M (2, - 3)$ adalah

$d = = = = = = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2} (2 - 5)^{2} + (- 3 - 1)^{2} (- 3)^{2} + (- 4)^{2} 9 + 16 255$

Jadi panjang garis singgung $PQ$ adalah

$(∣ PM ∣)^{2} (5)^{2} (∣ PQ ∣)^{2} (∣ PQ ∣)^{2} ∣ PQ ∣ ∣ PQ ∣ = = = = = = (∣ PQ ∣)^{2} + (∣ QM ∣)^{2} (∣ PQ ∣)^{2} + (3)^{2} 25 = (∣ PQ ∣)^{2} + 9 25 - 9 16164$