Dari pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut, yang berlaku untuk bilangan asli n > 4 adalah ....

Pembahasan

Tidak ada jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut. Dikatakan bahwa nilai n yangberlaku untuk bilangan asli n > 4 . Maka dapat kita tentukan bilangan tersebut adalah n = 5 , 6 , 7 , 8 , … Untuk pilihan A. Akan dibuktikan bahwa ketidaksamaan 4 n < 2 n − 1 berlaku untuk semua bilangan asli n > 4 . Untuk n = 5 diperoleh : Ruas kiri : 4 ( 5 ) = 20 Ruas kanan : 2 5 − 1 = 2 4 = 16 Karena 20 > 16 , maka pilihan A salah. Untuk pilihan B Akan dibuktikan bahwa ketidaksamaan 4 n < 2 n + 1 berlaku untuk semua bilangan asli n > 4 . Untuk n = 5 diperoleh : Ruas kiri : 4 ( 5 ) = 20 Ruas kanan : 2 5 + 1 = 2 6 = 64 Karena 20 < 64 maka S ( 5 ) benar. Misalkan S ( n ) benar untuk n = k , maka diperoleh 4 k < 2 k + 1 . Selanjutnya kita buktikan bahwa S ( n ) benar untuk n = k + 1 . Untuk n = k + 1 , bagian ruas kiri S ( n ) menjadi : 4 ( k + 1 ) = 4 k + 4 4 ( k + 1 ) < 2 k + 1 + 4 , karena 4 k < 2 k + 1 4 ( k + 1 ) < 2 k + 1 + 2 k + 1 , karena 4 < 4 k < 2 k + 1 4 ( k + 1 ) < 2 ( 2 k + 1 ) 4 ( k + 1 ) < 2 ( k + 1 ) + 1 ( benar ) Dengan demikian, terbukti bahwa 4 n < 2 n + 1 benar untuk n > 4 . Untuk pilihan C Akan dibuktikan bahwa ketidaksamaan 4 n < 2 n berlaku untuk semua bilangan asli n > 4 . Untuk n = 5 diperoleh : Ruas kiri : 4 ( 5 ) = 20 Ruas kanan : 2 5 = 32 Karena 20 < 32 maka S ( 5 ) benar. Misalkan S ( n ) benar untuk n = k , maka diperoleh 4 k < 2 k . Selanjutnya kita buktikan bahwa S ( n ) benar untuk n = k + 1 . Untuk n = k + 1 , bagian ruas kiri S ( n ) menjadi : 4 ( k + 1 ) 4 ( k + 1 ) 4 ( k + 1 ) 4 ( k + 1 ) 4 ( k + 1 ) ​ = < < < < ​ 4 k + 4 2 k + 4 , karena 4 k < 2 k 2 k + 2 k , karena 4 < 4 k < 2 k 2 ( 2 k ) 2 k + 1 ( benar ) ​ Dengan demikian, terbukti bahwa 4 n < 2 n benar untuk n > 4 . Untuk pilihan D Akan dibuktikan bahwa ketidaksamaan 5 n < 2 n + 1 berlaku untuk semua bilangan asli n > 4 . Untuk n = 5 diperoleh : Ruas kiri : 5 ( 5 ) = 25 Ruas kanan : 2 5 + 1 = 32 + 1 = 33 Karena 25 < 33 maka S ( 5 ) benar. Misalkan S ( n ) benar untuk n = k , maka diperoleh 5 k < 2 k + 1 . Selanjutnya kita buktikan bahwa S ( n ) benar untuk n = k + 1 . Untuk n = k + 1 , bagian ruas kiri S ( n ) menjadi : 5 ( k + 1 ) 5 ( k + 1 ) 5 ( k + 1 ) 5 ( k + 1 ) 5 ( k + 1 ) 5 ( k + 1 ) ​ = < < < < < ​ 5 k + 5 2 k + 1 + 5 , karena 5 k < 2 k + 1 2 k + 6 , karena 6 < 5 k < 2 k + 1 2 k + 2 k + 1 2 ( 2 k ) + 1 2 k + 1 + 1 ( benar ) ​ Dengan demikian, terbukti bahwa 5 n < 2 n + 1 benar untuk n > 4 . Untuk pilihan E Akan dibuktikan bahwa ketidaksamaan 5 n < 2 n + 1 berlaku untuk semua bilangan asli n > 4 . Untuk n = 5 diperoleh : Ruas kiri : 5 ( 5 ) = 25 Ruas kanan : 2 5 + 1 = 2 6 = 64 Karena 25 < 64 maka S ( 5 ) benar. Misalkan S ( n ) benar untuk n = k , maka diperoleh 5 k < 2 k + 1 . Selanjutnya kita buktikan bahwa S ( n ) benar untuk n = k + 1 . Untuk n = k + 1 , bagian ruas kiri S ( n ) menjadi : 5 ( k + 1 ) 5 ( k + 1 ) 5 ( k + 1 ) 5 ( k + 1 ) 5 ( k + 1 ) ​ = < < < < ​ 5 k + 5 2 ( k + 1 ) + 5 , karena 5 k < 2 k + 1 2 ( k + 1 ) + 2 k + 1 , karena 5 < 5 k < 2 k + 1 2 ( 2 ( k + 1 ) ) 2 ( k + 1 ) + 1 ( benar ) ​ Dengan demikian, terbukti bahwa 5 n < 2 n + 1 benar untuk n > 4 . Oleh karena itu, tidak ada jawaban yang benar.