Pertanyaan

sin ( α + 3 0 ∘ ) = 5 3 dan cos ( β − 6 0 ∘ ) = 13 5 dengan β < 0 < α maka nilai dari: a. sin ( α − β ) = ... b. cos ( β − α ) = ...

$sin (α + 3 0^{\circ}) = \frac{3}{5}$ dan $cos (β - 6 0^{\circ}) = \frac{5}{13}$ dengan $β < 0 < α$ maka nilai dari:

a. $sin (α - β) = ...$

b. $cos (β - α) = ...$

S. Nur

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

nilai sin ( α − β ) = − 65 16 dan cos ( β − α ) = 65 63

nilai

sin (α - β) = - \frac{16}{65}

dan

cos (β - α) = \frac{63}{65}

Pembahasan

Ingat rumus jumlah dan selisih dua sudut pada trigonometri berikut. sin ( α − β ) cos ( α − β ) = = sin α ⋅ cos β − cos α ⋅ sin β cos α ⋅ cos β + sin α ⋅ sin β Diketahui sehingga dapat ditentukan hubungan berikut. sin ( α + 3 0 ∘ ) cos ( 9 0 ∘ − ( α + 3 0 ∘ ) ) cos ( − α + 6 0 ∘ ) cos ( − ( α − 6 0 ∘ ) ) cos ( α − 6 0 ∘ ) = = = = = 5 3 5 3 5 3 5 3 5 3 Misalkan A = α − 6 0 ∘ Misalkan B = β − 6 0 ∘ Diperoleh cos ( β − α ) = = = = = = cos ( ( β − 6 0 ∘ ) − ( α − 6 0 ∘ ) ) cos ( B-A ) cos B ⋅ cos A + sin B ⋅ sin A 13 5 ⋅ 5 3 + 13 12 ⋅ 5 4 65 15 + 65 48 65 63 Dengan demikian, nilai sin ( α − β ) = − 65 16 dan cos ( β − α ) = 65 63

Ingat rumus jumlah dan selisih dua sudut pada trigonometri berikut.

$sin (α - β) cos (α - β) = = sin α \cdot cos β - cos α \cdot sin β cos α \cdot cos β + sin α \cdot sin β$

Diketahui sin space open parentheses alpha plus 30 degree close parentheses equals 3 over 5 sehingga dapat ditentukan hubungan berikut.

$sin (α + 3 0^{\circ}) cos (9 0^{\circ} - (α + 3 0^{\circ})) cos (- α + 6 0^{\circ}) cos (- (α - 6 0^{\circ})) cos (α - 6 0^{\circ}) = = = = = \frac{3}{5} \frac{3}{5} \frac{3}{5} \frac{3}{5} \frac{3}{5}$

Misalkan $A = α - 6 0^{\circ}$

Misalkan $B = β - 6 0^{\circ}$

Diperoleh

$\begin{array}{rcl}\sin\;\left(\alpha-\beta\right)&=&\sin\;\left(\left(\alpha-60^\circ\right)-\left(\beta-60^\circ\right)\right)\\&=&\sin\;\left(\text{A}-\text{B}\right)\\&=&\sin\;\text{A}\cdot\cos\;\text{B}-\cos\;\text{A·}\sin\:\text{B}\\&=&\frac45\cdot\frac5{13}-\frac35\cdot\left(\frac{12}{13}\right)\\&=&\frac{20}{65}-\frac{36}{65}\\&=&-\frac{16}{65}\end{array}$

$cos (β - α) = = = = = = cos ((β - 6 0^{\circ}) - (α - 6 0^{\circ})) cos (B-A) cos B \cdot cos A + sin B \cdot sin A \frac{5}{13} \cdot \frac{3}{5} + \frac{12}{13} \cdot \frac{4}{5} \frac{15}{65} + \frac{48}{65} \frac{63}{65}$