Pertanyaan

Dalam segitiga ABC, tunjukkan kebenaran setiap permasalahan berikut! S in A + sin B + sin C = 4 cos ( 2 A ) cos ( 2 B ) cos ( 2 C )

Dalam segitiga ABC, tunjukkan kebenaran setiap permasalahan berikut!

$S in A + sin B + sin C = 4 cos (\frac{A}{2}) cos (\frac{B}{2}) cos (\frac{C}{2})$

S. Nur

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Pembahasan

Ingat bahwa : rumus jumlah Trigonometri yaitu S in ( A + B ) = sin A cos B + cos A sin B Sudut relasi di kuadran I pada sinus sin ( 9 0 ∘ − α ) = cos α Sudut relasi di kuadran II pada sinus sin ( 18 0 ∘ − α ) = sin α Sudut rangkap pada sinus sin 2 A sin A = = 2 sin A cos A 2 sin 2 1 A cos 2 1 A Sudut rangkap pada cosinus cos 2 A 1 + cos 2 A 1 + cos A = = = 2 cos 2 A − 1 2 cos 2 A 2 cos 2 2 1 A Pada segitiga ABC, maka berlaku A + B + C A + B C sin C sin C = = = = = 18 0 ∘ 18 0 ∘ − C 18 0 ∘ − ( A + B ) sin ( 18 0 ∘ − ( A + B ) ) sin ( A + B ) Sehingga = = = = = = = = = = = = = sin A + sin B + sin C sin A + sin B + sin ( A + B ) sin A + sin B + ( sin A cos B + cos A sin B ) sin A + sin A cos B + sin B + cos A sin B sin A ( 1 + cos B ) + sin B ( 1 + cos A ) ( 2 sin 2 1 A ⋅ cos 2 1 A ) ( 2 cos 2 2 1 B ) + ( 2 sin 2 1 B ⋅ cos 2 1 B ) ( 2 cos 2 2 1 A ) 4 sin 2 1 A ⋅ cos 2 1 A ⋅ cos 2 2 1 B + 4 sin 2 1 B ⋅ cos 2 1 B ⋅ cos 2 2 1 A 4 cos 2 1 A ⋅ cos 2 1 B ( sin 2 1 A ⋅ cos 2 1 B + cos 2 1 A ⋅ sin 2 1 B ) 4 cos 2 1 A ⋅ cos 2 1 B ( sin ( 2 1 A + 2 1 B ) ) 4 cos 2 1 A ⋅ cos 2 1 B ⋅ sin 2 1 ( A + B ) 4 cos 2 1 A ⋅ cos 2 1 B ⋅ sin 2 1 ( 18 0 ∘ − C ) 4 cos 2 1 A ⋅ cos 2 1 B ⋅ sin ( 9 0 ∘ − 2 1 C ) 4 cos 2 1 A ⋅ cos 2 1 B ⋅ cos 2 1 C 4 cos ( 2 A ) ⋅ cos ( 2 B ) ⋅ cos ( 2 C ) ( terbukti ) Dengan demikian benar bahwa S in A + sin B + sin C = 4 cos ( 2 A ) cos ( 2 B ) cos ( 2 C )

Ingat bahwa :

rumus jumlah Trigonometri yaitu

$S in (A + B) = sin A cos B + cos A sin B$

Sudut relasi di kuadran I pada sinus

$sin (9 0^{\circ} - α) = cos α$

Sudut relasi di kuadran II pada sinus

$sin (18 0^{\circ} - α) = sin α$

Sudut rangkap pada sinus

$sin 2 A sin A = = 2 sin A cos A 2 sin \frac{1}{2} A cos \frac{1}{2} A$

Sudut rangkap pada cosinus

$cos 2 A 1 + cos 2 A 1 + cos A = = = 2 cos^{2} A - 1 2 cos^{2} A 2 cos^{2} \frac{1}{2} A$

Pada segitiga ABC, maka berlaku

$A + B + C A + B C sin C sin C = = = = = 18 0^{\circ} 18 0^{\circ} - C 18 0^{\circ} - (A + B) sin (18 0^{\circ} - (A + B)) sin (A + B)$

Sehingga

$= = = = = = = = = = = = = sin A + sin B + sin C sin A + sin B + sin (A + B) sin A + sin B + (sin A cos B + cos A sin B) sin A + sin A cos B + sin B + cos A sin B sin A (1 + cos B) + sin B (1 + cos A) (2 sin \frac{1}{2} A \cdot cos \frac{1}{2} A) (2 cos^{2} \frac{1}{2} B) + (2 sin \frac{1}{2} B \cdot cos \frac{1}{2} B) (2 cos^{2} \frac{1}{2} A) 4 sin \frac{1}{2} A \cdot cos \frac{1}{2} A \cdot cos^{2} \frac{1}{2} B + 4 sin \frac{1}{2} B \cdot cos \frac{1}{2} B \cdot cos^{2} \frac{1}{2} A 4 cos \frac{1}{2} A \cdot cos \frac{1}{2} B (sin \frac{1}{2} A \cdot cos \frac{1}{2} B + cos \frac{1}{2} A \cdot sin \frac{1}{2} B) 4 cos \frac{1}{2} A \cdot cos \frac{1}{2} B (sin (\frac{1}{2} A + \frac{1}{2} B)) 4 cos \frac{1}{2} A \cdot cos \frac{1}{2} B \cdot sin \frac{1}{2} (A + B) 4 cos \frac{1}{2} A \cdot cos \frac{1}{2} B \cdot sin \frac{1}{2} (18 0^{\circ} - C) 4 cos \frac{1}{2} A \cdot cos \frac{1}{2} B \cdot sin (9 0^{\circ} - \frac{1}{2} C) 4 cos \frac{1}{2} A \cdot cos \frac{1}{2} B \cdot cos \frac{1}{2} C 4 cos (\frac{A}{2}) \cdot cos (\frac{B}{2}) \cdot cos (\frac{C}{2}) (terbukti)$

Dengan demikian benar bahwa $S in A + sin B + sin C = 4 cos (\frac{A}{2}) cos (\frac{B}{2}) cos (\frac{C}{2})$

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

5.0 (1 rating)

Pertanyaan serupa

Buktikan setiap identitas berikut. sin A + sin B + sin C sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = 8 sin ( 2 A ) sin ( 2 B ) sin ( 2 C )

5.0

Jawaban terverifikasi

Jika A + B + C = π , buktikan bahwa: a. sin A + sin B + sin C = 4 cos 2 A ⋅ cos 2 B ⋅ cos 2 C

4.8

Jawaban terverifikasi

Hitunglah tanpa menggunakan kalkulator atau tabel trigonometri: a. csc 1 0 ∘ + csc 5 0 ∘ − csc 7 0 ∘

0.0

Jawaban terverifikasi

Jika A + B + C = π , tunjukkan bahwa ( sin A + sin B + sin C ) ( − sin A + sin B + sin C ) ( sin A − sin B + sin C ) ( sin A + sin B − sin C ) = 4 sin 2 A sin 2 B sin 2 C

0.0

Jawaban terverifikasi

Untuk α + β + γ = π , tunjukkan bahwa sin α + sin β + sin γ = 4 cos 2 α ⋅ cos 2 β ⋅ cos 2 γ

1.0

Jawaban terverifikasi