Pertanyaan

Untuk α + β + γ = π , tunjukkan bahwa sin α + sin β + sin γ = 4 cos 2 α ⋅ cos 2 β ⋅ cos 2 γ

Untuk $α + β + γ = π$ , tunjukkan bahwa $sin α + sin β + sin γ = 4 cos \frac{α}{2} \cdot cos \frac{β}{2} \cdot cos \frac{γ}{2}$

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

S. Nur

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

terbukti bahwa sin α + sin β + sin γ = 4 cos 2 α ⋅ cos 2 β ⋅ cos 2 γ

terbukti bahwa

sin α + sin β + sin γ = 4 cos \frac{α}{2} \cdot cos \frac{β}{2} \cdot cos \frac{γ}{2}

Pembahasan

Ingat bahwa: rumus sudut berelasi sin ( 9 0 ∘ − α ) sin ( 18 0 ∘ − α ) = = cos α sin α rumus sudut rangkap pada sinus dan cosinus sin 2 A sin A cos 2 A 1 + cos 2 A 1 + cos A = = = = = 2 sin A cos A 2 sin 2 1 A cos 2 1 A 2 cos 2 A − 1 2 cos 2 A 2 cos 2 2 1 A Jumlah sudut pada sinus sin ( A + B ) = sin A cos B + cos A sin B Dari soal diketahui α + β + γ α + β γ sin 2 γ = = = = = = π π − γ π − ( α + β ) sin ( π − ( α + β ) ) sin ( 2 π − ( 2 α + β ) ) cos ( 2 α + β ) maka sin α + sin β + sin γ = sin α + sin β + sin ( α + β ) = sin α + sin β + ( sin α cos β + cos α sin β ) = sin α + sin α cos β + sin β + cos α sin β = sin α ( 1 + cos β ) + sin β ( 1 + cos α ) = ( 2 sin 2 1 α cos 2 1 α ) ( 1 + 2 cos 2 2 1 β − 1 ) + ( 2 sin 2 1 β cos 2 1 β ) ( 1 + 2 cos 2 2 1 α − 1 ) = ( 2 sin 2 1 α cos 2 1 α ) ( 2 cos 2 2 1 β ) + ( 2 sin 2 1 β cos 2 1 β ) ( 2 cos 2 2 1 α ) = 4 sin 2 1 α cos 2 1 α cos 2 2 1 β + 4 sin 2 1 β cos 2 1 β cos 2 2 1 α = 4 cos 2 1 α cos 2 1 β ( sin 2 1 α cos 2 1 β + cos 2 1 α sin 2 1 β ) = 4 cos 2 1 α cos 2 1 β sin ( 2 α + β ) = 4 cos 2 1 α cos 2 1 β cos 2 1 γ ( terbukti ) Dengan demikian terbukti bahwa sin α + sin β + sin γ = 4 cos 2 α ⋅ cos 2 β ⋅ cos 2 γ

Ingat bahwa:

rumus sudut berelasi

$sin (9 0^{\circ} - α) sin (18 0^{\circ} - α) = = cos α sin α$

rumus sudut rangkap pada sinus dan cosinus

$sin 2 A sin A cos 2 A 1 + cos 2 A 1 + cos A = = = = = 2 sin A cos A 2 sin \frac{1}{2} A cos \frac{1}{2} A 2 cos^{2} A - 1 2 cos^{2} A 2 cos^{2} \frac{1}{2} A$

Jumlah sudut pada sinus

$sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B$

Dari soal diketahui

$α + β + γ α + β γ sin \frac{γ}{2} = = = = = = π π - γ π - (α + β) sin (π - (α + β)) sin (\frac{π}{2} - (\frac{α + β}{2})) cos (\frac{α + β}{2})$

maka

$sin α + sin β + sin γ = sin α + sin β + sin (α + β) = sin α + sin β + (sin α cos β + cos α sin β) = sin α + sin α cos β + sin β + cos α sin β = sin α (1 + cos β) + sin β (1 + cos α) = (2 sin \frac{1}{2} α cos \frac{1}{2} α) (1 + 2 cos^{2} \frac{1}{2} β - 1) + (2 sin \frac{1}{2} β cos \frac{1}{2} β) (1 + 2 cos^{2} \frac{1}{2} α - 1) = (2 sin \frac{1}{2} α cos \frac{1}{2} α) (2 cos^{2} \frac{1}{2} β) + (2 sin \frac{1}{2} β cos \frac{1}{2} β) (2 cos^{2} \frac{1}{2} α) = 4 sin \frac{1}{2} α cos \frac{1}{2} α cos^{2} \frac{1}{2} β + 4 sin \frac{1}{2} β cos \frac{1}{2} β cos^{2} \frac{1}{2} α = 4 cos \frac{1}{2} α cos \frac{1}{2} β (sin \frac{1}{2} α cos \frac{1}{2} β + cos \frac{1}{2} α sin \frac{1}{2} β) = 4 cos \frac{1}{2} α cos \frac{1}{2} β sin (\frac{α + β}{2}) = 4 cos \frac{1}{2} α cos \frac{1}{2} β cos \frac{1}{2} γ (terbukti)$