Daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini memenuhi sistem pertidaksamaan : x + y ≤ 4 ; x − y ≤ 2 ; x − y ≤ − 2 ; x ≥ 0 dan y ≥ 0 . Nilai maksimum f ( x , y ) = 2 x + 3 y yang memenuhi sistem pertidaksamaan tersebut adalah ....

Pembahasan

Untuk menentukan nilai maksimum kita perlu mengetahui titik-titik pojok dari daerah penyelesaian. Misalkan titik-titik pojoknya adalah sebagai berikut: Titik A merupakan perpotongan garis x + y = 4 dan x − y = 2 , maka koordinat titik A dapat ditentukan dengan { x + y = 4 ... ( i ) x − y = 2 ... ( ii ) ​ ​ Jumlahkan persamaan ( i ) dengan persamaan ( ii ) , diperoleh 2 x = 6 ⇔ x = 3 Subtitusi x = 3 ke persamaan ( i ) , diperoleh 3 + y = 4 ⇔ y = 1 . Didapat koordinat titik A = ( 3 , 1 ) . Titik B merupakan perpotongan garis x + y = 4 dan x − y = − 2 , maka koordinat titik A dapat ditentukan dengan { x + y = 4 ... ( i ) x − y = − 2 ... ( ii ) ​ ​ Kurangkan persamaan ( i ) dengan persamaan ( ii ) , diperoleh 2 y = 6 ⇔ y = 3 Subtitusi y = 3 ke persamaan ( i ) , diperoleh x + 3 = 4 ⇔ x = 1 . Didapat koordinat titik B = ( 1 , 3 ) . Koordinat titik C = ( 0 , 2 ) . Untuk titik A = ( 3 , 1 ) , maka f ( x , y ) = 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 1 = 9 . Untuk titik B = ( 1 , 3 ) , maka f ( x , y ) = 2 ⋅ 1 + 3 ⋅ 3 = 11 . Untuk titik C = ( 0 , 2 ) , maka f ( x , y ) = 2 ⋅ 0 + 3 ⋅ 2 = 6 . Sehingga, nilai maksimum f ( x , y ) = 2 x + 3 y yang memenuhi sistem pertidaksamaan tersebut adalah 11 . Oleh karena itu, jawaban yang tepat adalah D.