Pertanyaan

Buktikan setiap identitas berikut. sin A + sin B − sin C sin A + sin B + sin C = co tan ( 2 A ) co tan ( 2 B )

Buktikan setiap identitas berikut.

$\frac{sin A + sin B + sin C}{sin A + sin B - sin C} = co tan (\frac{A}{2}) co tan (\frac{B}{2})$

S. Nur

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Pembahasan

Ingat bahwa : Rumus identitas trigonometri co tan α = sin α cos α Rumus jumlah dan selisih Trigonometri yaitu sin A + sin B = 2 sin 2 1 ( A + B ) cos 2 1 ( A − B ) cos A + cos B = 2 cos 2 1 ( A + B ) cos 2 1 ( A − B ) Sudut berelasi sin ( 9 0 ∘ − α ) sin ( − a ) cos ( − a ) = = = cos α − sin a cos a sin ( 18 0 ∘ − α ) = sin α Sudut rangkap pada sinus sin 2 A sin A = = 2 sin A cos A 2 sin 2 1 A cos 2 1 A Pada segitiga ABC, maka berlaku A + B + C A + B C sin C sin C sin ( 2 A + B ) sin ( 2 C ) = = = = = = = = = = = 18 0 ∘ 18 0 ∘ − C 18 0 ∘ − ( A + B ) sin ( 18 0 ∘ − ( A + B ) ) sin ( A + B ) sin ( 2 18 0 ∘ − C ) sin ( 9 0 ∘ − 2 C ) cos 2 C sin ( 2 18 0 ∘ − ( A + B ) ) sin ( 9 0 ∘ − ( 2 A + B ) ) cos ( 2 A + B ) Sehingga = = = = = = = = s i n A + s i n B − s i n C s i n A + s i n B + s i n C ( s i n A + s i n B ) − s i n C ( s i n A + s i n B ) + s i n C 2 s i n ( 2 A + B ) c o s ( 2 A − B ) − 2 s i n ( 2 C ) c o s ( 2 C ) 2 s i n ( 2 A + B ) c o s ( 2 A − B ) + 2 s i n ( 2 C ) c o s ( 2 C ) 2 c o s ( 2 C ) c o s ( 2 A − B ) − 2 c o s ( 2 A + B ) c o s ( 2 C ) 2 c o s ( 2 C ) c o s ( 2 A − B ) + 2 c o s ( 2 A + B ) s i n ( 2 C ) 2 c o s ( 2 C ) [ c o s ( 2 A − B ) − c o s ( 2 A + B ) ] 2 c o s ( 2 C ) [ c o s ( 2 A − B ) + c o s ( 2 A + B ) ] 2 c o s ( 2 C ) [ − 2 s i n ( 2 A − B + A + B ) s i n ( 2 A − B − A − B ) ] 2 c o s ( 2 C ) [ 2 c o s ( 2 A − B + A + B ) c o s ( 2 A − B − A − B ) ] 2 c o s ( 2 C ) [ − 2 s i n ( 2 2 A ) s i n ( 2 − 2 B ) ] 2 c o s ( 2 C ) [ 2 c o s ( 2 2 A ) c o s ( 2 − 2 B ) ] 4 s i n ( 2 A ) s i n ( 2 B ) c o s ( 2 C ) 4 c o s ( 2 A ) c o s ( 2 B ) c o s ( 2 C ) co tan ( 2 A ) co tan ( 2 B ) Dengan demikian terbuktibahwa sin A + sin B − sin C sin A + sin B + sin C = co tan ( 2 A ) co tan ( 2 B )

Ingat bahwa :

Rumus identitas trigonometri

$co tan α = \frac{cos α}{sin α}$

Rumus jumlah dan selisih Trigonometri yaitu

$sin A + sin B = 2 sin \frac{1}{2} (A + B) cos \frac{1}{2} (A - B) cos A + cos B = 2 cos \frac{1}{2} (A + B) cos \frac{1}{2} (A - B)$

Sudut berelasi

$sin (9 0^{\circ} - α) sin (- a) cos (- a) = = = cos α - sin a cos a$

$sin (18 0^{\circ} - α) = sin α$

Sudut rangkap pada sinus

$sin 2 A sin A = = 2 sin A cos A 2 sin \frac{1}{2} A cos \frac{1}{2} A$

Pada segitiga ABC, maka berlaku

$A + B + C A + B C sin C sin C sin (\frac{A + B}{2}) sin (\frac{C}{2}) = = = = = = = = = = = 18 0^{\circ} 18 0^{\circ} - C 18 0^{\circ} - (A + B) sin (18 0^{\circ} - (A + B)) sin (A + B) sin (\frac{18 0 ^{\circ} - C}{2}) sin (9 0^{\circ} - \frac{C}{2}) cos \frac{C}{2} sin (\frac{18 0 ^{\circ} - ( A + B )}{2}) sin (9 0^{\circ} - (\frac{A + B}{2})) cos (\frac{A + B}{2})$

Sehingga

$= = = = = = = = \frac{s i n A + s i n B + s i n C}{s i n A + s i n B - s i n C} \frac{( s i n A + s i n B ) + s i n C}{( s i n A + s i n B ) - s i n C} \frac{2 s i n ( \frac{A + B}{2} ) c o s ( \frac{A - B}{2} ) + 2 s i n ( \frac{C}{2} ) c o s ( \frac{C}{2} )}{2 s i n ( \frac{A + B}{2} ) c o s ( \frac{A - B}{2} ) - 2 s i n ( \frac{C}{2} ) c o s ( \frac{C}{2} )} \frac{2 c o s ( \frac{C}{2} ) c o s ( \frac{A - B}{2} ) + 2 c o s ( \frac{A + B}{2} ) s i n ( \frac{C}{2} )}{2 c o s ( \frac{C}{2} ) c o s ( \frac{A - B}{2} ) - 2 c o s ( \frac{A + B}{2} ) c o s ( \frac{C}{2} )} \frac{2 c o s ( \frac{C}{2} ) [ c o s ( \frac{A - B}{2} ) + c o s ( \frac{A + B}{2} ) ]}{2 c o s ( \frac{C}{2} ) [ c o s ( \frac{A - B}{2} ) - c o s ( \frac{A + B}{2} ) ]} \frac{2 c o s ( \frac{C}{2} ) [ 2 c o s ( \frac{A - B + A + B}{2} ) c o s ( \frac{A - B - A - B}{2} ) ]}{2 c o s ( \frac{C}{2} ) [ - 2 s i n ( \frac{A - B + A + B}{2} ) s i n ( \frac{A - B - A - B}{2} ) ]} \frac{2 c o s ( \frac{C}{2} ) [ 2 c o s ( \frac{2 A}{2} ) c o s ( \frac{- 2 B}{2} ) ]}{2 c o s ( \frac{C}{2} ) [ - 2 s i n ( \frac{2 A}{2} ) s i n ( \frac{- 2 B}{2} ) ]} \frac{4 c o s ( \frac{A}{2} ) c o s ( \frac{B}{2} ) c o s ( \frac{C}{2} )}{4 s i n ( \frac{A}{2} ) s i n ( \frac{B}{2} ) c o s ( \frac{C}{2} )} co tan (\frac{A}{2}) co tan (\frac{B}{2})$

Dengan demikian terbukti bahwa $\frac{sin A + sin B + sin C}{sin A + sin B - sin C} = co tan (\frac{A}{2}) co tan (\frac{B}{2})$

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

5.0 (2 rating)

Pertanyaan serupa

Jika A + B + C = π , tunjukkan bahwa ( sin A + sin B + sin C ) ( − sin A + sin B + sin C ) ( sin A − sin B + sin C ) ( sin A + sin B − sin C ) = 4 sin 2 A sin 2 B sin 2 C

0.0

Jawaban terverifikasi

Buktikan setiap identitas berikut. sin A + sin B + sin C sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = 8 sin ( 2 A ) sin ( 2 B ) sin ( 2 C )

5.0

Jawaban terverifikasi

Jika A, B, dan C merupakan sudut-sudut dalam sebuah segitiga ABC dan cos θ ( sin B + sin C ) = sin A Buktikanbahwa tan 2 2 θ = tan ( 2 B ) tan ( 2 C )

5.0

Jawaban terverifikasi

Jika A + B + C = π , tunjukkan bahwa ( sin A + sin B + sin C ) ( − sin A + sin B + sin C ) ( sin A − sin B + sin C ) ( sin A + sin B − sin C ) = 4 sin 2 A sin 2 B sin 2 C

0.0

Jawaban terverifikasi

Buktikan setiap identitas berikut. sin A + sin B + sin C sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = 8 sin ( 2 A ) sin ( 2 B ) sin ( 2 C )

5.0

Jawaban terverifikasi