Roboguru

Buktikan dengan prinsip induksi matematika bahwa semua bilangan asli n selalu berlaku:  , untuk

Pertanyaan

Buktikan dengan prinsip induksi matematika bahwa semua bilangan asli n selalu berlaku: 

straight P subscript straight n identical to left parenthesis straight n plus 1 right parenthesis squared less than 2 to the power of straight n, untuk straight n greater or equal than 6 

Pembahasan Soal:

Pembuktian dengan induksi matematika dimana

n = 6maka

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell left parenthesis straight n plus 1 right parenthesis squared end cell less than cell 2 to the power of straight n end cell row cell left parenthesis 6 plus 1 right parenthesis squared end cell less than cell 2 to the power of 6 end cell row cell 7 squared end cell less than cell 2 to the power of 6 end cell row 49 less than cell 64 rightwards arrow Terbukti end cell end table

Untuk n = k diasumsikan terbukti maka

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell left parenthesis straight n plus 1 right parenthesis squared end cell less than cell 2 to the power of straight n end cell row cell left parenthesis straight k plus 1 right parenthesis squared end cell less than cell 2 to the power of straight k rightwards arrow Terbukti end cell end table

Untuk n = k+1 maka akan dibuktikan

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell left parenthesis straight n plus 1 right parenthesis squared end cell less than cell 2 to the power of straight n end cell row cell left parenthesis straight k plus 1 right parenthesis squared plus left parenthesis straight k plus 2 right parenthesis squared end cell less than cell 2 to the power of straight k plus 1 end exponent space end cell row cell 2 to the power of straight k plus straight k squared plus 4 straight k plus 4 end cell less than cell 2 to the power of straight k plus 1 end exponent end cell row cell 2 to the power of straight k plus straight k squared plus 4 open parentheses straight k plus 1 close parentheses end cell less than cell 2 to the power of straight k plus 1 end exponent rightwards arrow Terbukti end cell end table

Jadi terbukti bahwa straight P subscript straight n identical to left parenthesis straight n plus 1 right parenthesis squared less than 2 to the power of straight n dimana straight n greater or equal than 6 karena hasil table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 2 to the power of straight k plus straight k squared plus 4 open parentheses straight k plus 1 close parentheses end cell less than cell 2 to the power of straight k plus 1 end exponent end cell end table

Pembahasan terverifikasi oleh Roboguru

Dijawab oleh:

A. Acfreelance

Mahasiswa/Alumni UIN Walisongo Semarang

Terakhir diupdate 11 Juli 2021

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

Pertanyaan yang serupa

Buktikan dengan prinsip induksi matematika bahwa semua bilangan asli  selalu berlaku:  , untuk

Pembahasan Soal:

Pembuktian menggunakan induksi matematika

Akan di buktikan  n = 1 adalah benar : 

PnP1n2n1121112011[terbukti benar]

Asumsikan  n = k adalah pernyataan yang benar 

PnPkn2n1k2k1,k1[benar]

Akan dibuktikan n = k+1 adalah benar maka

PnPk+1Pk+1n2n1k+12k1+1k+12k

Akan dibuktikan bermula dari pernyataan yang di asumsikan benar

k2k1k+12k1+12k1+k2k1+2k122k121+k12kJadi,k+12k

karena k+12k sehingga n = k+1 terbukti benar.

 

Jadi, terbukti bahwa  semua bilangan asli n selalu berlaku : Pnn2n1,untuk n1

1

Roboguru

Buktikan dengan prinsip induksi matematika bahwa semua bilangan asli n selalu berlaku:  , untuk

Pembahasan Soal:

Pembuktian dengan menggunakan induksi matematika

Untuk n = 3 maka

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell left parenthesis straight n plus 1 right parenthesis squared end cell less than cell straight n cubed end cell row cell open parentheses 3 plus 1 close parentheses squared end cell less than cell 3 cubed end cell row cell 4 squared end cell less than cell 3 cubed end cell row 16 less than cell 27 rightwards arrow Terbukti end cell end table

Untuk n = k diasumsikan terbukti

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell left parenthesis straight n plus 1 right parenthesis squared end cell less than cell straight n cubed end cell row cell open parentheses straight k plus 1 close parentheses squared end cell less than cell straight k cubed rightwards arrow Terbukti end cell end table

Untukn = k+1 maka

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell left parenthesis straight n plus 1 right parenthesis squared end cell less than cell straight n cubed end cell row cell open parentheses straight k plus 1 plus 1 close parentheses squared end cell less than cell left parenthesis straight k plus 1 right parenthesis cubed space end cell row cell straight k cubed plus left parenthesis straight k plus 2 right parenthesis squared end cell less than cell left parenthesis straight k squared plus 2 straight k plus 1 right parenthesis left parenthesis straight k plus 1 right parenthesis end cell row cell straight k cubed plus straight k squared plus 4 straight k plus 4 end cell less than cell straight k cubed plus straight k squared plus 2 straight k squared plus 2 straight k plus straight k plus 1 end cell row cell straight k cubed plus straight k squared plus 4 straight k plus 4 end cell less than cell straight k cubed plus 3 straight k squared plus 3 straight k plus 1 end cell row cell straight k cubed plus straight k left parenthesis straight k plus 4 right parenthesis plus 4 end cell less than cell straight k cubed plus 3 straight k left parenthesis straight k plus 1 right parenthesis plus 1 rightwards arrow Terbukti end cell end table

Jadi terbukti bahwa straight P subscript straight n identical to left parenthesis straight n plus 1 right parenthesis squared less than straight n cubed karena table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell straight k cubed plus straight k left parenthesis straight k plus 4 right parenthesis plus 4 end cell less than cell straight k cubed plus 3 straight k left parenthesis straight k plus 1 right parenthesis plus 1 end cell end table

0

Roboguru

Buktikan bahwa , untuk .

Pembahasan Soal:

P(n) adalah begin mathsize 14px style 1 plus n x less or equal than left parenthesis 1 space plus space x right parenthesis to the power of n end style, untuk begin mathsize 14px style x greater or equal than negative 1 space end style

Langkah 1:
Akan dibuktikan P(n) benar untuk n = 1.

begin mathsize 14px style space space space 1 plus n x less or equal than left parenthesis 1 plus x right parenthesis to the power of n space 1 plus left parenthesis 1 right parenthesis x less or equal than left parenthesis 1 plus x right parenthesis to the power of 1 space space space space space space space space space space space 1 plus x less or equal than 1 plus x space end style untuk begin mathsize 14px style x greater or equal than negative 1 space end style

Terbukti.

Langkah 2:
Andaikan P(n) benar untuk n = k, yaitu :

 begin mathsize 14px style 1 plus k x less or equal than left parenthesis 1 plus x right parenthesis to the power of k space end style untuk begin mathsize 14px style x greater or equal than negative 1 space end style

akan dibuktikan P(n) benar untuk n = k + 1, 

 table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 1 plus left parenthesis k plus 1 right parenthesis x end cell less or equal than cell 1 plus k x plus x space end cell row cell space space space space space end cell less or equal than cell open parentheses 1 plus x close parentheses to the power of k plus x end cell row blank less or equal than cell open parentheses 1 plus x close parentheses to the power of k plus open parentheses x plus 1 close parentheses end cell row blank less or equal than cell open parentheses 1 plus x close parentheses to the power of k plus open parentheses 1 plus x close parentheses end cell row blank less or equal than cell open parentheses 1 plus x close parentheses to the power of k open parentheses 1 plus x close parentheses end cell row blank less or equal than cell open parentheses 1 plus x close parentheses to the power of k plus 1 end exponent end cell end table untuk begin mathsize 14px style x greater or equal than negative 1 space end style

Terbukti.

1

Roboguru

Buktikan dengan prinsip induksi matematika bahwa semua bilangan asli n selalu berlaku:

Pembahasan Soal:

Pembuktian dengan induksi matematika dimana untuk

n =1 maka

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 2 straight n plus 1 end cell less or equal than cell 3 to the power of straight n end cell row cell 2.1 plus 1 end cell less or equal than cell 3 to the power of 1 end cell row 3 less or equal than cell 3 rightwards arrow terbukti end cell end table

Untuk n = k diasumsikan terbukti maka

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 2 straight n plus 1 end cell less or equal than cell 3 to the power of straight n end cell row cell 2. straight k plus 1 end cell less or equal than cell 3 to the power of straight k end cell row cell 2 straight k plus 1 end cell less or equal than cell 3 to the power of straight k rightwards arrow terbukti end cell end table

Untuk n= k+1 maka

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 2 straight n plus 1 end cell less or equal than cell 3 to the power of straight n end cell row cell 2 left parenthesis straight k plus 1 right parenthesis plus 1 end cell less or equal than cell 3 to the power of straight k plus 1 end exponent end cell row cell 2 straight k plus 2 plus 1 end cell less or equal than cell 3 to the power of straight k plus 1 end exponent end cell row cell 2 straight k plus 3 end cell less or equal than cell 3 to the power of straight k plus 1 end exponent rightwards arrow Terbukti end cell end table

Jadi terbukti bahwa straight P subscript straight n identical to 2 straight n plus 1 less or equal than 3 to the power of straight n karena hasil table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 2 straight k plus 3 end cell less or equal than cell 3 to the power of straight k plus 1 end exponent end cell end table

 

 

 

2

Roboguru

Buktikan dengan induksi matematika. Buktikan .

Pembahasan Soal:

Prinsip Induksi Matematika:

Misalkan P open parentheses n close parentheses merupakan suatu pernyataan untuk setiap bilangan asli n. Pernyataan P open parentheses n close parentheses benar jika memenuhi langkah berikut.

1. Langkah awal: Dibuktikan P open parentheses 1 close parentheses benar.

2. Langkah induksi: Jika diasumsikan P open parentheses k close parentheses benar, maka harus dibuktikan bahwa P open parentheses k plus 1 close parentheses juga benar, untuk setiap k bilangan asli.

Jika langkah 1 dan 2 sudah diuji kebenarannya, maka ditarik kesimpulan bahwa P open parentheses n close parentheses benar untuk setiap bilangan asli n.

Akan dibuktikan bahwa 2 n less or equal than 2 to the power of n space comma space n greater or equal than 1.

Langkah awal:

Akan dibuktikan P open parentheses 1 close parentheses benar.

Untuk n equals 1 diperoleh

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 2 times 1 end cell less or equal than cell 2 to the power of 1 end cell row 2 less or equal than 2 end table

Jadi, terbukti benar bahwa P open parentheses 1 close parentheses habis dibagi 4

Langkah induksi:

Asumsikan P open parentheses k close parentheses benar sehingga sehingga diperoleh hipotesis induksi

2 times k less or equal than 2 to the power of k comma space k greater or equal than 1

Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa P open parentheses k plus 1 close parentheses juga benar, yaitu

2 open parentheses k plus 1 close parentheses less or equal than 2 to the power of k plus 1 end exponent

Kita mulai dengan bentuk di ruas kiri pertidaksamaan tersebut dan hipotesis induksi untuk menunjukkan bahwa bentuk tersebut kurang dari atau sama dengan bentuk yang berada di ruas kanan. Untuk k greater or equal than 1 diperoleh:

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 2 open parentheses k plus 1 close parentheses end cell equals cell 2 k plus 2 space left parenthesis text Sifat distributif end text right parenthesis end cell row blank less or equal than cell 2 to the power of k plus 2 space left parenthesis text Hipotesis induksi end text right parenthesis end cell row blank less or equal than cell 2 to the power of k plus 2 k space left parenthesis 2 less or equal than 2 k right parenthesis end cell row blank less or equal than cell 2 to the power of k plus 2 to the power of k space left parenthesis text Hipotesis induksi end text right parenthesis end cell row blank equals cell 2 times 2 to the power of k end cell row blank equals cell 2 to the power of k plus 1 end exponent end cell end table

Jadi, terbukti bahwa P open parentheses k plus 1 close parentheses benar.

Pernyataan P open parentheses n close parentheses memenuhi kedua prinsip induksi matematika.

Dengan demikian, berdasarkan prinsip induksi matematika, P open parentheses n close parentheses benar untuk setiap n bilangan asli.

0

Roboguru

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Produk Ruangguru

Produk Lainnya

Hubungi Kami

Ikuti Kami

©2021 Ruangguru. All Rights Reserved