Pertanyaan

Buktikan dengan induksi matematika pernyataan berikut untuk semua bilangan asli n . P n ≡ 1 1 + 2 1 + 3 1 + 4 1 + ... + n 1 < 2 n

Buktikan dengan induksi matematika pernyataan berikut untuk semua bilangan asli $n$ .

$P_{n} \equiv \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{n} < 2 n$

S. Solehuzain

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Negeri Semarang

Jawaban terverifikasi

Jawaban

terbukti bahwa .

terbukti bahwa $begin mathsize 14px style P subscript n identical to 1 over 1 plus fraction numerator 1 over denominator square root of 2 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator square root of 3 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator square root of 4 end fraction plus... plus fraction numerator 1 over denominator square root of n end fraction less than 2 square root of n end style$ .

Pembahasan

untuk semua bilangan asli , akan dibuktikan Langkah 1, perlihatkan untuk bernilai benar. Langkah 2. Asumsu n=k benar untuk Langkah3. akan dibuktikan benar untuk n=k+1 Dengan demikian, terbukti bahwa .

untuk semua bilangan asli , akan dibuktikan

$begin mathsize 14px style P subscript n identical to 1 over 1 plus fraction numerator 1 over denominator square root of 2 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator square root of 3 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator square root of 4 end fraction plus... plus fraction numerator 1 over denominator square root of n end fraction less than 2 square root of n end style$

Langkah 1, perlihatkan untuk n equals 1 bernilai benar.

$n equals 1 rightwards arrow fraction numerator 1 over denominator square root of 1 end fraction less than 2 square root of 1 space text (benar) end text$

Langkah 2. Asumsu n=k benar untuk

$P subscript k identical to 1 over 1 plus fraction numerator 1 over denominator square root of 2 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator square root of 3 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator square root of 4 end fraction plus... plus fraction numerator 1 over denominator square root of k end fraction less than 2 square root of k$

Langkah3. akan dibuktikan benar untuk n=k+1

$begin mathsize 12px style P subscript k plus 1 end subscript identical to 1 over 1 plus fraction numerator 1 over denominator square root of 2 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator square root of 3 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator square root of 4 end fraction plus... plus fraction numerator 1 over denominator square root of k end fraction plus fraction numerator 1 over denominator square root of k plus 1 end root end fraction less than 2 square root of k plus 1 end root end style$

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 2 square root of k plus fraction numerator 1 over denominator square root of k plus 1 end root end fraction end cell less than cell 2 square root of k plus 1 end root space left parenthesis text dikali end text square root of k plus 1 end root right parenthesis end cell row cell 2 square root of k squared plus k end root plus 1 end cell less than cell 2 left parenthesis k plus 1 right parenthesis end cell row cell 2 square root of k squared plus k end root plus 1 end cell less than cell 2 k plus 2 space text (kedua ruas dikurang 1) end text end cell row cell 2 square root of k squared plus k end root end cell less than cell 2 k plus 1 text (kedua ruas dikuadratkan) end text end cell row cell 4 left parenthesis k squared plus k right parenthesis end cell less than cell open parentheses 2 k plus 1 close parentheses squared end cell row cell 4 k squared plus 4 k end cell less than cell 4 k squared plus 4 k plus 1 end cell end table$

Dengan demikian, terbukti bahwa $begin mathsize 14px style P subscript n identical to 1 over 1 plus fraction numerator 1 over denominator square root of 2 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator square root of 3 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator square root of 4 end fraction plus... plus fraction numerator 1 over denominator square root of n end fraction less than 2 square root of n end style$ .

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

0.0 (0 rating)

Pertanyaan serupa

Buktikan masing-masing ketidaksamaan eksponen di bawah ini. a. 2 n ≥ 2 n

0.0

Jawaban terverifikasi

Use mathematical induction to prove: a. 3 n > 2 n for all natural number n .

5.0

Jawaban terverifikasi

Untuk bilangan-bilangan bulat positif n , diketahui pernyataan-pernyataan berikut. 1) 3 n < n ! untuk n > 4 2) 2 n < n 2 untuk Pernyataan yang bernilai benar berdasarkan prinsip indu...

0.0

Jawaban terverifikasi

If n is a positive integer and n < t < n + 1 ,show that n + 1 1 < t 1 .

5.0

Jawaban terverifikasi

Perhatikan pernyataan berikut! 2 n > n 2 untuk setiap bilangan bulat n > 4 . Dengan menggunakan induksi matematika, dapat disimpulkan bahwa ....

0.0

Jawaban terverifikasi