Pertanyaan

Buktikan dengan induksi matematika. ( 3 2 n + 2 2 n + 2 ) habis dibagi 5 untuk semua bilangan asli n .

Buktikan dengan induksi matematika.

$(3^{2 n} + 2^{2 n + 2})$ habis dibagi $5$ untuk semua bilangan asli $n$ .

H. Eka

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Pendidikan Indonesia

Jawaban terverifikasi

Jawaban

berdasarkan prinsip induksi matematika, benar untuk setiap bilangan asli.

berdasarkan prinsip induksi matematika, P open parentheses n close parentheses

benar untuk setiap

bilangan asli.

Pembahasan

Prinsip Induksi Matematika: Misalkan merupakan suatu pernyataan untuk setiapbilangan asli . Pernyataan benar jika memenuhi langkah berikut. 1. Langkah awal: Dibuktikan benar. 2. Langkah induksi: Jika diasumsikan benar, maka harus dibuktikan bahwa juga benar, untuk setiap bilangan asli. Jika langkah 1 dan 2 sudah diuji kebenarannya, maka ditarik kesimpulan bahwa benar untuk setiap bilangan asli . Akan dibuktikan bahwa habis dibagi untuk semua bilangan asli . Langkah awal: Akan dibuktikan benar. Untuk diperoleh Jadi, terbukti benar bahwa habis dibagi Langkah induksi: diasumsikan benar untuk sehingga habis dibagi . Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa habis dibagi juga benar. Karena habis dibagi , maka dapat kita misalkan , untuk bilangan bulat positif. Akibatnya, . Jadi, terbukti bahwa benar untuk . Pernyataan memenuhi kedua prinsip induksi matematika. Dengan demikian, berdasarkan prinsip induksi matematika, benar untuk setiap bilangan asli.

Prinsip Induksi Matematika:

Misalkan P open parentheses n close parentheses merupakan suatu pernyataan untuk setiap bilangan asli . Pernyataan benar jika memenuhi langkah berikut.

1. Langkah awal: Dibuktikan P open parentheses 1 close parentheses benar.

2. Langkah induksi: Jika diasumsikan P open parentheses k close parentheses benar, maka harus dibuktikan bahwa P open parentheses k plus 1 close parentheses juga benar, untuk setiap bilangan asli.

Jika langkah 1 dan 2 sudah diuji kebenarannya, maka ditarik kesimpulan bahwa P open parentheses n close parentheses benar untuk setiap bilangan asli .

Akan dibuktikan bahwa open parentheses 3 to the power of 2 n end exponent plus 2 to the power of 2 n plus 2 end exponent close parentheses habis dibagi untuk semua bilangan asli .

Langkah awal:

Akan dibuktikan P open parentheses 1 close parentheses benar.

Untuk n equals 1 diperoleh

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 3 to the power of 2 times 1 end exponent plus 2 to the power of 2 times 1 plus 2 end exponent end cell equals cell 3 squared plus 2 to the power of 4 end cell row blank equals cell 9 plus 16 end cell row blank equals 25 row blank equals cell 5 open parentheses 5 close parentheses end cell end table

Jadi, terbukti benar bahwa P open parentheses 1 close parentheses habis dibagi

Langkah induksi:

P open parentheses n close parentheses diasumsikan benar untuk n equals k sehingga P open parentheses k close parentheses equals 3 to the power of 2 k end exponent plus 2 to the power of 2 k plus 2 end exponent habis dibagi .

Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa P open parentheses k plus 1 close parentheses equals 3 to the power of 2 open parentheses k plus 1 close parentheses end exponent plus 2 to the power of 2 open parentheses k plus 1 close parentheses plus 2 end exponent habis dibagi juga benar.

Karena 3 to the power of 2 k end exponent plus 2 to the power of 2 k plus 2 end exponent habis dibagi , maka dapat kita misalkan , untuk bilangan bulat positif. Akibatnya, .

Jadi, terbukti bahwa P open parentheses n close parentheses benar untuk n equals k plus 1 .

Pernyataan P open parentheses n close parentheses memenuhi kedua prinsip induksi matematika.

Dengan demikian, berdasarkan prinsip induksi matematika, P open parentheses n close parentheses benar untuk setiap bilangan asli.