Pertanyaan

Buktikan dengan induksi matematika. 7 2 n + 1 + 1 habis dibagi oleh 8 .

Buktikan dengan induksi matematika.

$7^{2 n + 1} + 1$ habis dibagi oleh $8$ .

N. Puspita

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

terbukti bahwa habis dibagi oleh

terbukti bahwa 7 to the power of 2 n plus 1 end exponent plus 1

habis dibagi oleh

Pembahasan

Prinsip Induksi Matematika: Misalkan merupakan suatu pernyataan untuk setiapbilangan asli . Pernyataan benar jika memenuhi langkah berikut. 1. Langkah awal: Dibuktikan benar. 2. Langkah induksi: Jika diasumsikan benar, maka harus dibuktikan bahwa juga benar, untuk setiap bilangan asli. Jika langkah 1 dan 2 sudah diuji kebenarannya, maka ditarik kesimpulan bahwa benar untuk setiap bilangan asli . Akandibuktikan bahwa habis dibagi oleh Langkah awal: Akan dibuktikan benar. Untuk diperoleh Jadi, terbukti benar bahwa habis dibagi Langkah induksi: diasumsikan benar untuk sehingga habis dibagi Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa habis dibagi juga benar. Karena habis dibagi , maka dapat kita misalkan , untuk bilangan bulat positif. Akibatnya, diperoleh Jadi, terbukti bahwa habis dibagi Pernyataan memenuhi kedua prinsip induksi matematika. Dengan demikian, terbukti bahwa habis dibagi oleh

Prinsip Induksi Matematika:

Misalkan P open parentheses n close parentheses merupakan suatu pernyataan untuk setiap bilangan asli . Pernyataan benar jika memenuhi langkah berikut.

1. Langkah awal: Dibuktikan P open parentheses 1 close parentheses benar.

2. Langkah induksi: Jika diasumsikan P open parentheses k close parentheses benar, maka harus dibuktikan bahwa P open parentheses k plus 1 close parentheses juga benar, untuk setiap bilangan asli.

Jika langkah 1 dan 2 sudah diuji kebenarannya, maka ditarik kesimpulan bahwa P open parentheses n close parentheses benar untuk setiap bilangan asli .

Akan dibuktikan bahwa 7 to the power of 2 n plus 1 end exponent plus 1 habis dibagi oleh

Langkah awal:

Akan dibuktikan P open parentheses 1 close parentheses benar.

Untuk n equals 1 diperoleh

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 7 to the power of 2 times 1 plus 1 end exponent plus 1 end cell equals cell 7 cubed plus 1 end cell row blank equals cell 343 plus 1 end cell row blank equals 344 row blank equals cell 8 open parentheses 43 close parentheses end cell end table

Jadi, terbukti benar bahwa P open parentheses 1 close parentheses habis dibagi

Langkah induksi:

P open parentheses n close parentheses diasumsikan benar untuk n equals k sehingga P open parentheses k close parentheses equals 7 to the power of 2 k plus 1 end exponent plus 1 habis dibagi

Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa P open parentheses k plus 1 close parentheses equals 7 to the power of 2 open parentheses k plus 1 close parentheses plus 1 end exponent plus 1 habis dibagi juga benar.

Karena 7 to the power of 2 k plus 1 end exponent plus 1 habis dibagi , maka dapat kita misalkan , untuk bilangan bulat positif. Akibatnya, diperoleh 7 times 7 to the power of 2 k end exponent equals 8 m minus 1

Jadi, terbukti bahwa P open parentheses k plus 1 close parentheses habis dibagi

Pernyataan P open parentheses n close parentheses memenuhi kedua prinsip induksi matematika.

Dengan demikian, terbukti bahwa 7 to the power of 2 n plus 1 end exponent plus 1 habis dibagi oleh