Pertanyaan

Buktikan dengan induksi matematika. Buktikan 5 n − 1 habis dibagi 4 .

Buktikan dengan induksi matematika.

Buktikan $5^{n} - 1$ habis dibagi $4$ .

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

H. Eka

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Pendidikan Indonesia

Jawaban terverifikasi

Jawaban

berdasarkan prinsip induksi matematika, benar untuk setiap bilangan asli.

berdasarkan prinsip induksi matematika, P open parentheses n close parentheses

benar untuk setiap

bilangan asli.

Pembahasan

Prinsip Induksi Matematika: Misalkan merupakan suatu pernyataan untuk setiapbilangan asli . Pernyataan benar jika memenuhi langkah berikut. 1. Langkah awal: Dibuktikan benar. 2. Langkah induksi: Jika diasumsikan benar, maka harus dibuktikan bahwa juga benar, untuk setiap bilangan asli. Jika langkah 1 dan 2 sudah diuji kebenarannya, maka ditarik kesimpulan bahwa benar untuk setiap bilangan asli . Akandibuktikan bahwa habis dibagi untuk semua bilangan asli . Langkah awal: Akan dibuktikan benar. Untuk diperoleh Jadi, terbukti benar bahwa habis dibagi Langkah induksi: diasumsikan benar untuk sehingga habis dibagi . Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa habis dibagi 4juga benar. Karena habis dibagi , maka dapat kita misalkan , untuk bilangan bulat positif. Akibatnya, diperoleh Jadi, terbukti bahwa habis dibagi Pernyataan memenuhi kedua prinsip induksi matematika. Dengan demikian, berdasarkan prinsip induksi matematika, benar untuk setiap bilangan asli.

Prinsip Induksi Matematika:

Misalkan P open parentheses n close parentheses merupakan suatu pernyataan untuk setiap bilangan asli . Pernyataan benar jika memenuhi langkah berikut.

1. Langkah awal: Dibuktikan P open parentheses 1 close parentheses benar.

2. Langkah induksi: Jika diasumsikan P open parentheses k close parentheses benar, maka harus dibuktikan bahwa P open parentheses k plus 1 close parentheses juga benar, untuk setiap bilangan asli.

Jika langkah 1 dan 2 sudah diuji kebenarannya, maka ditarik kesimpulan bahwa P open parentheses n close parentheses benar untuk setiap bilangan asli .

Akan dibuktikan bahwa 5 to the power of n minus 1 habis dibagi untuk semua bilangan asli .

Langkah awal:

Akan dibuktikan P open parentheses 1 close parentheses benar.

Untuk n equals 1 diperoleh

5 to the power of 1 minus 1 equals 4

Jadi, terbukti benar bahwa P open parentheses 1 close parentheses habis dibagi

Langkah induksi:

P open parentheses n close parentheses diasumsikan benar untuk n equals k sehingga P open parentheses k close parentheses equals 5 to the power of k minus 1 habis dibagi .

Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa P open parentheses k plus 1 close parentheses equals 5 to the power of k plus 1 end exponent minus 1 habis dibagi 4 juga benar.

Karena 5 to the power of k minus 1 habis dibagi , maka dapat kita misalkan 5 to the power of k minus 1 equals 4 m , untuk bilangan bulat positif. Akibatnya, diperoleh 5 to the power of k equals 4 m plus 1

Jadi, terbukti bahwa P open parentheses k plus 1 close parentheses habis dibagi

Pernyataan P open parentheses n close parentheses memenuhi kedua prinsip induksi matematika.

Dengan demikian, berdasarkan prinsip induksi matematika, P open parentheses n close parentheses benar untuk setiap bilangan asli.