Iklan

Iklan

Pertanyaan

Buktikan dengan induksi matematika. Buktikan 5 n − 1 habis dibagi 4 .

Buktikan dengan induksi matematika.

Buktikan  habis dibagi .

Iklan

H. Eka

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Pendidikan Indonesia

Jawaban terverifikasi

Jawaban

berdasarkan prinsip induksi matematika, benar untuk setiap bilangan asli.

berdasarkan prinsip induksi matematika, P open parentheses n close parentheses benar untuk setiap n bilangan asli.

Iklan

Pembahasan

Prinsip Induksi Matematika: Misalkan merupakan suatu pernyataan untuk setiapbilangan asli . Pernyataan benar jika memenuhi langkah berikut. 1. Langkah awal: Dibuktikan benar. 2. Langkah induksi: Jika diasumsikan benar, maka harus dibuktikan bahwa juga benar, untuk setiap bilangan asli. Jika langkah 1 dan 2 sudah diuji kebenarannya, maka ditarik kesimpulan bahwa benar untuk setiap bilangan asli . Akandibuktikan bahwa habis dibagi untuk semua bilangan asli . Langkah awal: Akan dibuktikan benar. Untuk diperoleh Jadi, terbukti benar bahwa habis dibagi Langkah induksi: diasumsikan benar untuk sehingga habis dibagi . Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa habis dibagi 4juga benar. Karena habis dibagi , maka dapat kita misalkan , untuk bilangan bulat positif. Akibatnya, diperoleh Jadi, terbukti bahwa habis dibagi Pernyataan memenuhi kedua prinsip induksi matematika. Dengan demikian, berdasarkan prinsip induksi matematika, benar untuk setiap bilangan asli.

Prinsip Induksi Matematika:

Misalkan P open parentheses n close parentheses merupakan suatu pernyataan untuk setiap bilangan asli n. Pernyataan P open parentheses n close parentheses benar jika memenuhi langkah berikut.

1. Langkah awal: Dibuktikan P open parentheses 1 close parentheses benar.

2. Langkah induksi: Jika diasumsikan P open parentheses k close parentheses benar, maka harus dibuktikan bahwa P open parentheses k plus 1 close parentheses juga benar, untuk setiap k bilangan asli.

Jika langkah 1 dan 2 sudah diuji kebenarannya, maka ditarik kesimpulan bahwa P open parentheses n close parentheses benar untuk setiap bilangan asli n.

Akan dibuktikan bahwa 5 to the power of n minus 1 habis dibagi 4 untuk semua bilangan asli n.

Langkah awal:

Akan dibuktikan P open parentheses 1 close parentheses benar.

Untuk n equals 1 diperoleh

5 to the power of 1 minus 1 equals 4

Jadi, terbukti benar bahwa P open parentheses 1 close parentheses habis dibagi 4

Langkah induksi:

P open parentheses n close parentheses diasumsikan benar untuk n equals k sehingga P open parentheses k close parentheses equals 5 to the power of k minus 1 habis dibagi 4.

Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa P open parentheses k plus 1 close parentheses equals 5 to the power of k plus 1 end exponent minus 1 habis dibagi 4 juga benar.

Karena 5 to the power of k minus 1 habis dibagi 4, maka dapat kita misalkan 5 to the power of k minus 1 equals 4 m, untuk m bilangan bulat positif. Akibatnya, diperoleh 5 to the power of k equals 4 m plus 1

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell P open parentheses k plus 1 close parentheses end cell equals cell 5 to the power of k plus 1 end exponent minus 1 end cell row blank equals cell 5 times 5 to the power of k minus 1 end cell row blank equals cell 5 open parentheses 4 m plus 1 close parentheses minus 1 end cell row blank equals cell 20 m plus 5 minus 1 end cell row blank equals cell 20 m plus 4 end cell row blank equals cell 4 open parentheses 5 m plus 1 close parentheses end cell end table

Jadi, terbukti bahwa P open parentheses k plus 1 close parentheses habis dibagi 4 

Pernyataan P open parentheses n close parentheses memenuhi kedua prinsip induksi matematika.

Dengan demikian, berdasarkan prinsip induksi matematika, P open parentheses n close parentheses benar untuk setiap n bilangan asli.

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

19

Iklan

Iklan

Pertanyaan serupa

Buktikan dengan induksi matematika. Buktikan ( 5 n + 1 − 4 n − 5 ) habis dibagi 16 .

5

4.5

Jawaban terverifikasi

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Roboguru

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Download di Google PlayDownload di AppstoreDownload di App Gallery

Produk Ruangguru

Hubungi Kami

Ruangguru WhatsApp

+62 815-7441-0000

Email info@ruangguru.com

info@ruangguru.com

Contact 02140008000

02140008000

Ikuti Kami

©2024 Ruangguru. All Rights Reserved PT. Ruang Raya Indonesia