Roboguru

Buktikan dengan induksi matematika. Buktikan (5n+1−4n−5) habis dibagi 16.

Pertanyaan

Buktikan dengan induksi matematika.

Buktikan open parentheses 5 to the power of n plus 1 minus 4 to the power of n minus 5 close parentheses habis dibagi 16.

Pembahasan:

Prinsip Induksi Matematika:

Misalkan P open parentheses n close parentheses merupakan suatu pernyataan untuk setiap bilangan asli n. Pernyataan P open parentheses n close parentheses benar jika memenuhi langkah berikut.

1. Langkah awal: Dibuktikan P open parentheses 1 close parentheses benar.

2. Langkah induksi: Jika diasumsikan P open parentheses k close parentheses benar, maka harus dibuktikan bahwa P open parentheses k plus 1 close parentheses juga benar, untuk setiap k bilangan asli.

Jika langkah 1 dan 2 sudah diuji kebenarannya, maka ditarik kesimpulan bahwa P open parentheses n close parentheses benar untuk setiap bilangan asli n.

Asumsi soal: akan dibuktikan bahwa open parentheses 5 to the power of n plus 1 end exponent minus 4 n minus 5 close parentheses habis dibagi 16 untuk semua bilangan asli n.

Langkah awal:

Akan dibuktikan P open parentheses 1 close parentheses benar.

Untuk n equals 1 diperoleh

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 5 to the power of 1 plus 1 end exponent minus 4 times 1 minus 5 end cell equals cell 25 minus 4 minus 5 end cell row blank equals 16 end table

Jadi, terbukti benar bahwa P open parentheses 1 close parentheses habis dibagi 16

Langkah induksi:

P open parentheses n close parentheses diasumsikan benar untuk n equals k sehingga P open parentheses k close parentheses equals open parentheses 5 to the power of k plus 1 end exponent minus 4 k minus 5 close parentheses habis dibagi 16.

Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa P open parentheses k plus 1 close parentheses equals 5 to the power of k plus 2 end exponent minus 4 open parentheses k plus 1 close parentheses minus 5 habis dibagi 16 juga benar.

Karena 5 to the power of k plus 1 end exponent minus 4 k minus 5 habis dibagi 16, maka dapat kita misalkan 5 to the power of k plus 1 end exponent minus 4 k minus 5 equals 16 m, untuk m bilangan bulat positif. Akibatnya, 5 to the power of k plus 1 end exponent equals 16 m plus 4 k plus 5

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell P open parentheses k plus 1 close parentheses end cell equals cell 5 to the power of k plus 2 end exponent minus 4 open parentheses k plus 1 close parentheses minus 5 end cell row blank equals cell 5 to the power of k plus 1 plus 1 end exponent minus 4 open parentheses k plus 1 close parentheses minus 5 end cell row blank equals cell 5 times 5 to the power of k plus 1 end exponent minus 4 open parentheses k plus 1 close parentheses minus 5 end cell row blank equals cell 5 open parentheses 16 m plus 4 k plus 5 close parentheses minus 4 k minus 4 minus 5 end cell row blank equals cell 5 times 16 m plus 20 k plus 25 minus 4 k minus 9 end cell row blank equals cell 5 times 16 m plus 16 k plus 16 end cell row blank equals cell 16 open parentheses 5 m plus k plus 1 close parentheses end cell end table

Jadi, terbukti bahwa P open parentheses k plus 1 close parentheses habis dibagi 16  .

Pernyataan P open parentheses n close parentheses memenuhi kedua prinsip induksi matematika.

Dengan demikian, berdasarkan prinsip induksi matematika, P open parentheses n close parentheses benar untuk setiap n bilangan asli.

Jawaban terverifikasi

Dijawab oleh:

H. Eka

Mahasiswa/Alumni Universitas Pendidikan Indonesia

Terakhir diupdate 07 Oktober 2021

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

Pertanyaan serupa

Buktikan dengan induksi matematika. (p2n−1+q2n−1) habis dibagi oleh (p+q) untuk semua bilangan asli n.

0

Roboguru

Buktikan dengan induksi matematika. 72n+1+1 habis dibagi oleh 8.

4

Roboguru

Buktikan dengan induksi matematika. Buktikan 5n−1 habis dibagi 4.

0

Roboguru

Buktikan dengan induksi matematika. (32n+22n+2) habis dibagi 5 untuk semua bilangan asli n.

2

Roboguru

Buktikan dengan induksi matematika. Buktikan (52n+3n−1) habis dibagi 9.

0

Roboguru

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Produk Ruangguru

Produk Lainnya

Hubungi Kami

Ikuti Kami

©2021 Ruangguru. All Rights Reserved