Pertanyaan

Buktikan dengan induksi matematika. Buktikan ( 5 n + 1 − 4 n − 5 ) habis dibagi 16 .

Buktikan dengan induksi matematika.

Buktikan $(5^{n} + 1 - 4^{n} - 5)$ habis dibagi $16$ .

H. Eka

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Pendidikan Indonesia

Jawaban terverifikasi

Jawaban

berdasarkan prinsip induksi matematika, benar untuk setiap bilangan asli.

berdasarkan prinsip induksi matematika, P open parentheses n close parentheses

benar untuk setiap

bilangan asli.

Pembahasan

Prinsip Induksi Matematika: Misalkan merupakan suatu pernyataan untuk setiapbilangan asli . Pernyataan benar jika memenuhi langkah berikut. 1. Langkah awal: Dibuktikan benar. 2. Langkah induksi: Jika diasumsikan benar, maka harus dibuktikan bahwa juga benar, untuk setiap bilangan asli. Jika langkah 1 dan 2 sudah diuji kebenarannya, maka ditarik kesimpulan bahwa benar untuk setiap bilangan asli . Asumsi soal: akandibuktikan bahwa habis dibagi untuk semua bilangan asli . Langkah awal: Akan dibuktikan benar. Untuk diperoleh Jadi, terbukti benar bahwa habis dibagi Langkah induksi: diasumsikan benar untuk sehingga habis dibagi . Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa habis dibagi juga benar. Karena habis dibagi , maka dapat kita misalkan , untuk bilangan bulat positif. Akibatnya, Jadi, terbukti bahwa habis dibagi . Pernyataan memenuhi kedua prinsip induksi matematika. Dengan demikian, berdasarkan prinsip induksi matematika, benar untuk setiap bilangan asli.

Prinsip Induksi Matematika:

Misalkan P open parentheses n close parentheses merupakan suatu pernyataan untuk setiap bilangan asli . Pernyataan benar jika memenuhi langkah berikut.

1. Langkah awal: Dibuktikan P open parentheses 1 close parentheses benar.

2. Langkah induksi: Jika diasumsikan P open parentheses k close parentheses benar, maka harus dibuktikan bahwa P open parentheses k plus 1 close parentheses juga benar, untuk setiap bilangan asli.

Jika langkah 1 dan 2 sudah diuji kebenarannya, maka ditarik kesimpulan bahwa P open parentheses n close parentheses benar untuk setiap bilangan asli .

Asumsi soal: akan dibuktikan bahwa open parentheses 5 to the power of n plus 1 end exponent minus 4 n minus 5 close parentheses habis dibagi untuk semua bilangan asli .

Langkah awal:

Akan dibuktikan P open parentheses 1 close parentheses benar.

Untuk n equals 1 diperoleh

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 5 to the power of 1 plus 1 end exponent minus 4 times 1 minus 5 end cell equals cell 25 minus 4 minus 5 end cell row blank equals 16 end table

Jadi, terbukti benar bahwa P open parentheses 1 close parentheses habis dibagi

Langkah induksi:

P open parentheses n close parentheses diasumsikan benar untuk n equals k sehingga P open parentheses k close parentheses equals open parentheses 5 to the power of k plus 1 end exponent minus 4 k minus 5 close parentheses habis dibagi .

Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa P open parentheses k plus 1 close parentheses equals 5 to the power of k plus 2 end exponent minus 4 open parentheses k plus 1 close parentheses minus 5 habis dibagi juga benar.

Karena 5 to the power of k plus 1 end exponent minus 4 k minus 5 habis dibagi , maka dapat kita misalkan , untuk bilangan bulat positif. Akibatnya,

Jadi, terbukti bahwa P open parentheses k plus 1 close parentheses habis dibagi .

Pernyataan P open parentheses n close parentheses memenuhi kedua prinsip induksi matematika.

Dengan demikian, berdasarkan prinsip induksi matematika, P open parentheses n close parentheses benar untuk setiap bilangan asli.