Roboguru

Buktikan dengan induksi matematika. (p2n−1+q2n−1) habis dibagi oleh (p+q) untuk semua bilangan asli n.

Pertanyaan

Buktikan dengan induksi matematika.

open parentheses p to the power of 2 n minus 1 end exponent plus q to the power of 2 n minus 1 end exponent close parentheses habis dibagi oleh open parentheses p plus q close parentheses untuk semua bilangan asli n.

Pembahasan:

Prinsip Induksi Matematika:

Misalkan P open parentheses n close parentheses merupakan suatu pernyataan untuk setiap bilangan asli n. Pernyataan P open parentheses n close parentheses benar jika memenuhi langkah berikut.

1. Langkah awal: Dibuktikan P open parentheses 1 close parentheses benar.

2. Langkah induksi: Jika diasumsikan P open parentheses k close parentheses benar, maka harus dibuktikan bahwa P open parentheses k plus 1 close parentheses juga benar, untuk setiap k bilangan asli.

Jika langkah 1 dan 2 sudah diuji kebenarannya, maka ditarik kesimpulan bahwa P open parentheses n close parentheses benar untuk setiap bilangan asli n.

Akan dibuktikan bahwa open parentheses p to the power of 2 n minus 1 end exponent plus q to the power of 2 n minus 1 end exponent close parentheses habis dibagi oleh open parentheses p plus q close parentheses untuk semua bilangan asli n.

Langkah awal:

Akan dibuktikan P open parentheses 1 close parentheses benar.

Untuk n equals 1 diperoleh

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell p to the power of 2 times 1 minus 1 end exponent plus q to the power of 2 times 1 minus 1 end exponent end cell equals cell p to the power of 2 minus 1 end exponent plus q to the power of 2 minus 1 end exponent end cell row blank equals cell p plus q end cell end table

open parentheses p plus q close parentheses habis dibagi oleh open parentheses p plus q close parentheses

Jadi, terbukti benar bahwa P open parentheses 1 close parentheses habis dibagi open parentheses p plus q close parentheses

Langkah induksi:

Asumsikan P open parentheses k close parentheses benar sehingga P open parentheses k close parentheses equals p to the power of 2 k minus 1 end exponent plus q to the power of 2 k minus 1 end exponent habis dibagi open parentheses p plus q close parentheses.

Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa P open parentheses k close parentheses equals p to the power of 2 open parentheses k plus 1 close parentheses minus 1 end exponent plus q to the power of 2 open parentheses k plus 1 close parentheses minus 1 end exponent habis dibagi open parentheses p plus q close parentheses juga benar.

Karena p to the power of 2 k minus 1 end exponent plus q to the power of 2 k minus 1 end exponent habis dibagi open parentheses p plus q close parentheses, maka dapat kita misalkan p to the power of 2 k minus 1 end exponent plus q to the power of 2 k minus 1 end exponent equals m open parentheses p plus q close parentheses, untuk m bilangan bulat positif.

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell P open parentheses k plus 1 close parentheses end cell equals cell p to the power of 2 open parentheses k plus 1 close parentheses minus 1 end exponent plus q to the power of 2 open parentheses k plus 1 close parentheses minus 1 end exponent end cell row blank equals cell p to the power of 2 k plus 2 minus 1 end exponent plus q to the power of 2 k plus 2 minus 1 end exponent end cell row blank equals cell p to the power of 2 k minus 1 end exponent times p squared plus q to the power of 2 k minus 1 end exponent times q squared end cell row blank equals cell p to the power of 2 k minus 1 end exponent times p squared plus q to the power of 2 k minus 1 end exponent times q squared plus p squared open parentheses q to the power of 2 k minus 1 end exponent close parentheses minus p squared open parentheses q to the power of 2 k minus 1 end exponent close parentheses end cell row blank equals cell p squared open parentheses p to the power of 2 k minus 1 end exponent plus q to the power of 2 k minus 1 end exponent close parentheses plus q to the power of 2 k minus 1 end exponent open parentheses q squared minus p squared close parentheses end cell row blank equals cell p squared open parentheses m open parentheses p plus q close parentheses close parentheses plus q to the power of 2 k minus 1 end exponent open parentheses q plus p close parentheses open parentheses q minus p close parentheses end cell row blank equals cell open parentheses p plus q close parentheses open parentheses m p squared plus q to the power of 2 k minus 1 end exponent open parentheses q minus p close parentheses close parentheses end cell end table

Jadi, terbukti bahwa P open parentheses k plus 1 close parentheses habis dibagi open parentheses p plus q close parentheses

Pernyataan P open parentheses n close parentheses memenuhi kedua prinsip induksi matematika.

Dengan demikian, terbukti benar bahwa open parentheses p to the power of 2 n minus 1 end exponent plus q to the power of 2 n minus 1 end exponent close parentheses habis dibagi oleh open parentheses p plus q close parentheses untuk setiap n bilangan asli.

Jawaban terverifikasi

Dijawab oleh:

H. Eka

Mahasiswa/Alumni Universitas Pendidikan Indonesia

Terakhir diupdate 07 Oktober 2021

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

Pertanyaan serupa

Buktikan dengan induksi matematika. Buktikan (52n+3n−1) habis dibagi 9.

0

Roboguru

Buktikan dengan induksi matematika. Buktikan (5n+1−4n−5) habis dibagi 16.

1

Roboguru

Buktikan dengan induksi matematika. 72n+1+1 habis dibagi oleh 8.

4

Roboguru

Buktikan dengan induksi matematika. (32n+22n+2) habis dibagi 5 untuk semua bilangan asli n.

2

Roboguru

Buktikan dengan induksi matematika. Buktikan 5n−1 habis dibagi 4.

0

Roboguru

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Produk Ruangguru

Produk Lainnya

Hubungi Kami

Ikuti Kami

©2021 Ruangguru. All Rights Reserved