Pertanyaan

Buktikan dengan induksi matematika. ( p 2 n − 1 + q 2 n − 1 ) habis dibagi oleh ( p + q ) untuk semua bilangan asli n .

Buktikan dengan induksi matematika.

$(p^{2 n - 1} + q^{2 n - 1})$ habis dibagi oleh $(p + q)$ untuk semua bilangan asli $n$ .

H. Eka

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Pendidikan Indonesia

Jawaban terverifikasi

Jawaban

terbukti benar bahwa habis dibagi oleh untuk setiap bilangan asli.

terbukti benar bahwa open parentheses p to the power of 2 n minus 1 end exponent plus q to the power of 2 n minus 1 end exponent close parentheses

habis dibagi oleh open parentheses p plus q close parentheses

untuk setiap

bilangan asli.

Pembahasan

Prinsip Induksi Matematika: Misalkan merupakan suatu pernyataan untuk setiapbilangan asli . Pernyataan benar jika memenuhi langkah berikut. 1. Langkah awal: Dibuktikan benar. 2. Langkah induksi: Jika diasumsikan benar, maka harus dibuktikan bahwa juga benar, untuk setiap bilangan asli. Jika langkah 1 dan 2 sudah diuji kebenarannya, maka ditarik kesimpulan bahwa benar untuk setiap bilangan asli . Akandibuktikan bahwa habis dibagi oleh untuk semua bilangan asli . Langkah awal: Akan dibuktikan benar. Untuk diperoleh habis dibagi oleh Jadi, terbukti benar bahwa habis dibagi Langkah induksi: Asumsikan benar sehingga habis dibagi . Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa habis dibagi juga benar. Karena habis dibagi , maka dapat kita misalkan , untuk bilangan bulat positif. Jadi, terbukti bahwa habis dibagi Pernyataan memenuhi kedua prinsip induksi matematika. Dengan demikian, terbukti benar bahwa habis dibagi oleh untuk setiap bilangan asli.

Prinsip Induksi Matematika:

Misalkan P open parentheses n close parentheses merupakan suatu pernyataan untuk setiap bilangan asli . Pernyataan benar jika memenuhi langkah berikut.

1. Langkah awal: Dibuktikan P open parentheses 1 close parentheses benar.

2. Langkah induksi: Jika diasumsikan P open parentheses k close parentheses benar, maka harus dibuktikan bahwa P open parentheses k plus 1 close parentheses juga benar, untuk setiap bilangan asli.

Jika langkah 1 dan 2 sudah diuji kebenarannya, maka ditarik kesimpulan bahwa P open parentheses n close parentheses benar untuk setiap bilangan asli .

Akan dibuktikan bahwa open parentheses p to the power of 2 n minus 1 end exponent plus q to the power of 2 n minus 1 end exponent close parentheses habis dibagi oleh open parentheses p plus q close parentheses untuk semua bilangan asli .

Langkah awal:

Akan dibuktikan P open parentheses 1 close parentheses benar.

Untuk n equals 1 diperoleh

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell p to the power of 2 times 1 minus 1 end exponent plus q to the power of 2 times 1 minus 1 end exponent end cell equals cell p to the power of 2 minus 1 end exponent plus q to the power of 2 minus 1 end exponent end cell row blank equals cell p plus q end cell end table

open parentheses p plus q close parentheses habis dibagi oleh

Jadi, terbukti benar bahwa P open parentheses 1 close parentheses habis dibagi open parentheses p plus q close parentheses

Langkah induksi:

Asumsikan P open parentheses k close parentheses benar sehingga habis dibagi open parentheses p plus q close parentheses .

Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa P open parentheses k close parentheses equals p to the power of 2 open parentheses k plus 1 close parentheses minus 1 end exponent plus q to the power of 2 open parentheses k plus 1 close parentheses minus 1 end exponent habis dibagi open parentheses p plus q close parentheses juga benar.

Karena p to the power of 2 k minus 1 end exponent plus q to the power of 2 k minus 1 end exponent habis dibagi open parentheses p plus q close parentheses , maka dapat kita misalkan , untuk bilangan bulat positif.

Jadi, terbukti bahwa P open parentheses k plus 1 close parentheses habis dibagi open parentheses p plus q close parentheses

Pernyataan P open parentheses n close parentheses memenuhi kedua prinsip induksi matematika.

Dengan demikian, terbukti benar bahwa open parentheses p to the power of 2 n minus 1 end exponent plus q to the power of 2 n minus 1 end exponent close parentheses habis dibagi oleh open parentheses p plus q close parentheses untuk setiap bilangan asli.