Pertanyaan

Buktikan dengan induksi matematika. Buktikan 2 n ≤ 2 n , n ≥ 1 .

Buktikan dengan induksi matematika.

Buktikan $2 n \leq 2^{n}, n \geq 1$ .

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

H. Eka

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Pendidikan Indonesia

Jawaban terverifikasi

Jawaban

berdasarkan prinsip induksi matematika, benar untuk setiap bilangan asli.

berdasarkan prinsip induksi matematika, P open parentheses n close parentheses

benar untuk setiap

bilangan asli.

Pembahasan

Prinsip Induksi Matematika: Misalkan merupakan suatu pernyataan untuk setiapbilangan asli . Pernyataan benar jika memenuhi langkah berikut. 1. Langkah awal: Dibuktikan benar. 2. Langkah induksi: Jika diasumsikan benar, maka harus dibuktikan bahwa juga benar, untuk setiap bilangan asli. Jika langkah 1 dan 2 sudah diuji kebenarannya, maka ditarik kesimpulan bahwa benar untuk setiap bilangan asli . Akandibuktikan bahwa . Langkah awal: Akan dibuktikan benar. Untuk diperoleh Jadi, terbukti benar bahwa habis dibagi Langkah induksi: Asumsikan benar sehingga sehingga diperoleh hipotesis induksi Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa juga benar, yaitu Kita mulai dengan bentuk di ruas kiri pertidaksamaan tersebut dan hipotesis induksi untuk menunjukkan bahwa bentuk tersebut kurang dari atau sama dengan bentuk yang berada di ruas kanan. Untuk diperoleh: Jadi, terbukti bahwa benar. Pernyataan memenuhi kedua prinsip induksi matematika. Dengan demikian, berdasarkan prinsip induksi matematika, benar untuk setiap bilangan asli.

Prinsip Induksi Matematika:

Misalkan P open parentheses n close parentheses merupakan suatu pernyataan untuk setiap bilangan asli . Pernyataan benar jika memenuhi langkah berikut.

1. Langkah awal: Dibuktikan P open parentheses 1 close parentheses benar.

2. Langkah induksi: Jika diasumsikan P open parentheses k close parentheses benar, maka harus dibuktikan bahwa P open parentheses k plus 1 close parentheses juga benar, untuk setiap bilangan asli.

Jika langkah 1 dan 2 sudah diuji kebenarannya, maka ditarik kesimpulan bahwa P open parentheses n close parentheses benar untuk setiap bilangan asli .

Akan dibuktikan bahwa 2 n less or equal than 2 to the power of n space comma space n greater or equal than 1 .

Langkah awal:

Akan dibuktikan P open parentheses 1 close parentheses benar.

Untuk n equals 1 diperoleh

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 2 times 1 end cell less or equal than cell 2 to the power of 1 end cell row 2 less or equal than 2 end table

Jadi, terbukti benar bahwa P open parentheses 1 close parentheses habis dibagi

Langkah induksi:

Asumsikan P open parentheses k close parentheses benar sehingga sehingga diperoleh hipotesis induksi

2 times k less or equal than 2 to the power of k comma space k greater or equal than 1

Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa P open parentheses k plus 1 close parentheses juga benar, yaitu

2 open parentheses k plus 1 close parentheses less or equal than 2 to the power of k plus 1 end exponent

Kita mulai dengan bentuk di ruas kiri pertidaksamaan tersebut dan hipotesis induksi untuk menunjukkan bahwa bentuk tersebut kurang dari atau sama dengan bentuk yang berada di ruas kanan. Untuk k greater or equal than 1 diperoleh:

Jadi, terbukti bahwa P open parentheses k plus 1 close parentheses benar.

Pernyataan P open parentheses n close parentheses memenuhi kedua prinsip induksi matematika.

Dengan demikian, berdasarkan prinsip induksi matematika, P open parentheses n close parentheses benar untuk setiap bilangan asli.