Pertanyaan

Buktikan dengan induksi matematika. 1 2 + 2 2 + 3 2 + ⋯ + n 2 = 6 1 n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )

Buktikan dengan induksi matematika.

$1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \dots + n^{2} = \frac{1}{6} n (n + 1) (2 n + 1)$

N. Puspita

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

terbukti benar untuksetiap bilangan asli n .

1 squared plus 2 squared plus 3 squared plus horizontal ellipsis plus n squared equals 1 over 6 n left parenthesis n plus 1 right parenthesis left parenthesis 2 n plus 1 right parenthesis

terbukti benar untuk setiap bilangan asli n .

Pembahasan

Misalkan . Langkah-langkah induksi matematika, yaitu sebagai berikut. 1. Langkah dasar/awal : Tunjukkan benar. Untuk 2. Asumsikan benar untuk sembarang bilangan asli, kemudian tunjukkan juga benar berdasarkan asumsi tersebut. # Asumsikan bahwa benar # Akan menunjukkan benar Karena ruas sebelah kiri = ruas sebelah kanan, maka benar. 3. Kesimpulan : Terbukti bahwa benar untuk setiap bilangan asli . Dengan demikian, terbukti benar untuksetiap bilangan asli n .

Misalkan P open parentheses n close parentheses colon 1 squared plus 2 squared plus 3 squared plus horizontal ellipsis plus n squared equals 1 over 6 n left parenthesis n plus 1 right parenthesis left parenthesis 2 n plus 1 right parenthesis .

Langkah-langkah induksi matematika, yaitu sebagai berikut.

1. Langkah dasar/awal : Tunjukkan P open parentheses 1 close parentheses benar.

Untuk n equals 1 rightwards arrow P open parentheses 1 close parentheses colon

2. Asumsikan P open parentheses k close parentheses benar untuk sembarang bilangan asli, kemudian tunjukkan P open parentheses k plus 1 close parentheses juga benar berdasarkan asumsi tersebut.

# Asumsikan bahwa P open parentheses k close parentheses benar

1 squared plus 2 squared plus 3 squared plus horizontal ellipsis plus k squared equals 1 over 6 k left parenthesis k plus 1 right parenthesis left parenthesis 2 k plus 1 right parenthesis

# Akan menunjukkan P open parentheses k plus 1 close parentheses benar

rightwards arrow Ruas space sebelah space kiri

rightwards arrow Ruas space sebelah space kanan

1 over 6 left parenthesis k plus 1 right parenthesis left parenthesis left parenthesis k plus 1 right parenthesis plus 1 right parenthesis left parenthesis 2 left parenthesis k plus 1 right parenthesis plus 1 right parenthesis equals 1 over 6 left parenthesis k plus 1 right parenthesis left parenthesis k plus 2 right parenthesis left parenthesis 2 k plus 3 right parenthesis

Karena ruas sebelah kiri = ruas sebelah kanan, maka P open parentheses k plus 1 close parentheses benar.

3. Kesimpulan : Terbukti bahwa 1 squared plus 2 squared plus 3 squared plus horizontal ellipsis plus n squared equals 1 over 6 n left parenthesis n plus 1 right parenthesis left parenthesis 2 n plus 1 right parenthesis benar untuk setiap bilangan asli .

Dengan demikian, 1 squared plus 2 squared plus 3 squared plus horizontal ellipsis plus n squared equals 1 over 6 n left parenthesis n plus 1 right parenthesis left parenthesis 2 n plus 1 right parenthesis terbukti benar untuk setiap bilangan asli n .