Roboguru

Buktikan dengan induksi matematika. 1×21​+2×31​+⋯+n(n+1)1​=n+1n​

Pertanyaan

Buktikan dengan induksi matematika.

fraction numerator 1 over denominator 1 cross times 2 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator 2 cross times 3 end fraction plus horizontal ellipsis plus fraction numerator 1 over denominator n open parentheses n plus 1 close parentheses end fraction equals fraction numerator n over denominator n plus 1 end fraction

Pembahasan Soal:

Prinsip Induksi Matematika:

Misalkan P open parentheses n close parentheses merupakan suatu pernyataan untuk setiap bilangan asli n. Pernyataan P open parentheses n close parentheses benar jika memenuhi langkah berikut.

1. Langkah awal: Dibuktikan P open parentheses 1 close parentheses benar.

2. Langkah induksi: Jika diasumsikan P open parentheses k close parentheses benar, maka harus dibuktikan bahwa P open parentheses k plus 1 close parentheses juga benar, untuk setiap k bilangan asli.

Jika langkah 1 dan 2 sudah diuji kebenarannya, maka ditarik kesimpulan bahwa P open parentheses n close parentheses benar untuk setiap bilangan asli n.

Akan dibuktikan dengan induksi matematika bahwa

fraction numerator 1 over denominator 1 cross times 2 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator 2 cross times 3 end fraction plus horizontal ellipsis plus fraction numerator 1 over denominator n open parentheses n plus 1 close parentheses end fraction equals fraction numerator n over denominator n plus 1 end fraction

Langkah awal:

Akan dibuktikan P open parentheses n close parentheses benar untuk n equals 1

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell fraction numerator 1 over denominator 1 open parentheses 1 plus 1 close parentheses end fraction end cell equals cell fraction numerator 1 over denominator 1 plus 1 end fraction end cell row cell 1 half end cell equals cell 1 half end cell end table

Jadi, terbukti bahwa P open parentheses 1 close parentheses benar.

Langkah induksi:

Asumsikan P open parentheses k close parentheses benar sehingga diperoleh

fraction numerator 1 over denominator 1 cross times 2 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator 2 cross times 3 end fraction plus horizontal ellipsis plus fraction numerator 1 over denominator k open parentheses k plus 1 close parentheses end fraction equals fraction numerator k over denominator k plus 1 end fraction

Akan ditunjukkan bahwa P open parentheses k plus 1 close parentheses juga benar, sedemikian sehingga 

fraction numerator 1 over denominator 1 cross times 2 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator 2 cross times 3 end fraction plus horizontal ellipsis plus fraction numerator 1 over denominator k open parentheses k plus 1 close parentheses end fraction plus fraction numerator 1 over denominator open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses k plus 2 close parentheses end fraction equals fraction numerator k plus 1 over denominator open parentheses k plus 1 close parentheses plus 1 end fraction

Bukti:

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell fraction numerator 1 over denominator 1 cross times 2 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator 2 cross times 3 end fraction plus horizontal ellipsis plus fraction numerator 1 over denominator k open parentheses k plus 1 close parentheses end fraction plus fraction numerator 1 over denominator open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses k plus 2 close parentheses end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator k over denominator k plus 1 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses k plus 2 close parentheses end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator k open parentheses k plus 2 close parentheses plus 1 over denominator open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses k plus 2 close parentheses end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator k squared plus 2 k plus 1 over denominator open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses k plus 2 close parentheses end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses k plus 1 close parentheses over denominator open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses k plus 2 close parentheses end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator k plus 1 over denominator k plus 2 end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator k plus 1 over denominator open parentheses k plus 1 close parentheses plus 1 end fraction end cell end table

Jadi, terbukti bahwa P open parentheses k plus 1 close parentheses benar .

Pernyataan P open parentheses n close parentheses memenuhi kedua prinsip induksi matematika.

Dengan demikian, berdasarkan prinsip induksi matematika, P open parentheses n close parentheses benar untuk setiap n bilangan asli.

Pembahasan terverifikasi oleh Roboguru

Dijawab oleh:

H. Eka

Mahasiswa/Alumni Universitas Pendidikan Indonesia

Terakhir diupdate 07 Oktober 2021

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

Pertanyaan yang serupa

Buktikan dengan induksi matematika. k=1∑n​k(k+1)(k+2)=4n(n+1)(n+2)(n+3)​

2

Roboguru

Buktikan dengan induksi matematika. 14+24+34+⋯+n4=301​n(n+1)(2n+1)(3n2+3n−1)

0

Roboguru

Buktikan dengan induksi matematika. 1+3+6+10+⋯+21​n(n+1)=61​n(n+1)(n+2)

1

Roboguru

Buktikan dengan induksi matematika. 21​+41​+81​+⋯+2n1​=1−2n1​

1

Roboguru

Buktikan dengan induksi matematika. ​=​(1×2×3)+(2×3×4)+(3×4×5)+⋯+n(n+1)(n+2)41​n(n+1)(n+2)(n+3)​

2

Roboguru

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Produk Ruangguru

Produk Lainnya

Hubungi Kami

Ikuti Kami

©2021 Ruangguru. All Rights Reserved