Iklan

Iklan

Pertanyaan

Buktikan bahwa 1 ​ 2 ​ + 2 ​ 2 ​ + 3 ​ 2 ​ + 4 ​ 2 ​ + ... + n ​ 2 ​ ≥ 2 n ​ untuk semua bilangan bulat positif n ≥ 2 .

Buktikan bahwa

untuk semua bilangan bulat positif .

Iklan

E. Lestari

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Sebelas Maret

Jawaban terverifikasi

Iklan

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah hanya terbuktibahwa 1 ​ 2 ​ + 2 ​ 2 ​ + 3 ​ 2 ​ + 4 ​ 2 ​ + . . . + n ​ 2 ​ > 2 n ​ untuk semua bilangan bulat positif n ≥ 2 . Ingat bahwa suatu ketaksamaan dapat dibuktikan dengan menggunakan induksi matematika. Berikut adalah langkah pembuktiannya. Langkah 1: Untuk n = 2 , Ruas kiri: 1 ​ 2 ​ + 2 ​ 2 ​ ​ = = = ​ 2 + 2 ​ 2 ​ ⋅ 2 ​ 2 ​ ​ 2 + 2 2 2 ​ ​ 2 + 2 ​ ​ Ruas kanan: 2 2 ​ = 2 ​ + 2 ​ Jelas bahwa: 2 + 2 ​ 1 ​ 2 ​ + 2 ​ 2 ​ ​ > > ​ 2 ​ + 2 ​ 2 2 ​ ​ Untuk n = 2 , dapat ditunjukkan bahwa 1 ​ 2 ​ + 2 ​ 2 ​ + 3 ​ 2 ​ + 4 ​ 2 ​ + ... + n ​ 2 ​ > 2 n ​ . Langkah 2: Akan dibuktikan bahwa jika pertidaksamaan 1 ​ 2 ​ + 2 ​ 2 ​ + 3 ​ 2 ​ + 4 ​ 2 ​ + ... + n ​ 2 ​ ≥ 2 n ​ benar untuk n = k , maka pertidaksamaan tersebutjuga benar untuk n = k + 1 . Untuk n = k diperoleh pertidaksamaan: 1 ​ 2 ​ + 2 ​ 2 ​ + 3 ​ 2 ​ + 4 ​ 2 ​ + ... + k ​ 2 ​ ≥ 2 k ​ Diperoleh, Kita tahu bahwa k 2 + k ​ > k 2 ​ untuk k bilangan bulat positif. Sehingga, 1 ​ 2 ​ + 2 ​ 2 ​ + 3 ​ 2 ​ + ... + k ​ 2 ​ + k + 1 ​ 2 ​ ≥ k + 1 ​ 2 k 2 + k ​ + 2 ​ > k + 1 ​ 2 k 2 ​ + 2 ​ > k + 1 ​ 2 k + 2 ​ > k + 1 ​ 2 ( k + 1 ) ​ > 2 k + 1 ​ Berdasarkan hal tersebut, n = k + 1 hanya berlaku 1 ​ 2 ​ + 2 ​ 2 ​ + 3 ​ 2 ​ + 4 ​ 2 ​ + ... + n ​ 2 ​ > 2 n ​ Berdasarkan langkah 1 dan langkah 2 induksi matematika di atas, maka dari pernyataan 1 ​ 2 ​ + 2 ​ 2 ​ + 3 ​ 2 ​ + 4 ​ 2 ​ + ... + n ​ 2 ​ ≥ 2 n ​ untuk semua bilangan bulat positif n ≥ 2 , hanya terbukti bahwa 1 ​ 2 ​ + 2 ​ 2 ​ + 3 ​ 2 ​ + 4 ​ 2 ​ + ... + n ​ 2 ​ > 2 n ​ untuk semua bilangan bulat positif n ≥ 2 . Dengan demikian, hanya terbukti bahwa 1 ​ 2 ​ + 2 ​ 2 ​ + 3 ​ 2 ​ + 4 ​ 2 ​ + ... + n ​ 2 ​ > 2 n ​ untuk semua bilangan bulat positif n ≥ 2 .

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah hanya terbukti bahwa  untuk semua bilangan bulat positif 

Ingat bahwa suatu ketaksamaan dapat dibuktikan dengan menggunakan induksi matematika. Berikut adalah langkah pembuktiannya.

Langkah 1: Untuk 

Ruas kiri: 

  

Ruas kanan:

Jelas bahwa: 

Untuk ,  dapat ditunjukkan bahwa .

 

Langkah 2: Akan dibuktikan bahwa jika pertidaksamaan 

benar untuk , maka pertidaksamaan tersebut juga benar untuk .

Untuk  diperoleh pertidaksamaan:

Diperoleh,

fraction numerator 2 over denominator square root of 1 end fraction plus fraction numerator 2 over denominator square root of 2 end fraction plus fraction numerator 2 over denominator square root of 3 end fraction plus... plus fraction numerator 2 over denominator square root of k end fraction plus fraction numerator 2 over denominator square root of k plus 1 end root end fraction equals open square brackets fraction numerator 2 over denominator square root of 1 end fraction plus fraction numerator 2 over denominator square root of 2 end fraction plus fraction numerator 2 over denominator square root of 3 end fraction plus... plus fraction numerator 2 over denominator square root of k end fraction close square brackets plus fraction numerator 2 over denominator square root of k plus 1 end root end fraction greater or equal than 2 square root of k plus fraction numerator 2 over denominator square root of k plus 1 end root end fraction greater or equal than 2 square root of k times fraction numerator square root of k plus 1 end root over denominator square root of k plus 1 end root end fraction plus fraction numerator 2 over denominator square root of k plus 1 end root end fraction greater or equal than fraction numerator 2 square root of k open parentheses k plus 1 close parentheses end root plus 2 over denominator square root of k plus 1 end root end fraction greater or equal than fraction numerator 2 square root of k squared plus k end root plus 2 over denominator square root of k plus 1 end root end fraction

Kita tahu bahwa  untuk  bilangan bulat positif. Sehingga,

Berdasarkan hal tersebut,  hanya berlaku

Berdasarkan langkah 1 dan langkah 2 induksi matematika di atas, maka dari pernyataan

untuk semua bilangan bulat positif , hanya terbukti bahwa

untuk semua bilangan bulat positif .

Dengan demikian, hanya terbukti bahwa

  

untuk semua bilangan bulat positif 

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

71

anggun naibaho

Jawaban tidak sesuai

Iklan

Iklan

Pertanyaan serupa

Pernyataan P n ​ : 2 n + 3 < 2 n selalu bernilai benar untuk bilangan bulat n yang memenuhi ....

176

0.0

Jawaban terverifikasi

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Roboguru

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Download di Google PlayDownload di AppstoreDownload di App Gallery

Produk Ruangguru

Hubungi Kami

Ruangguru WhatsApp

+62 815-7441-0000

Email info@ruangguru.com

info@ruangguru.com

Contact 02140008000

02140008000

Ikuti Kami

©2024 Ruangguru. All Rights Reserved PT. Ruang Raya Indonesia