Pertanyaan

Buktikan bahwa 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + ... + n 2 ≥ 2 n untuk semua bilangan bulat positif n ≥ 2 .

Buktikan bahwa

$\frac{2}{1} + \frac{2}{2} + \frac{2}{3} + \frac{2}{4} + ... + \frac{2}{n} \geq 2 n$

untuk semua bilangan bulat positif $n \geq 2$ .

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

E. Lestari

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Sebelas Maret

Jawaban terverifikasi

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah hanya terbuktibahwa 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + . . . + n 2 > 2 n untuk semua bilangan bulat positif n ≥ 2 . Ingat bahwa suatu ketaksamaan dapat dibuktikan dengan menggunakan induksi matematika. Berikut adalah langkah pembuktiannya. Langkah 1: Untuk n = 2 , Ruas kiri: 1 2 + 2 2 = = = 2 + 2 2 ⋅ 2 2 2 + 2 2 2 2 + 2 Ruas kanan: 2 2 = 2 + 2 Jelas bahwa: 2 + 2 1 2 + 2 2 > > 2 + 2 2 2 Untuk n = 2 , dapat ditunjukkan bahwa 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + ... + n 2 > 2 n . Langkah 2: Akan dibuktikan bahwa jika pertidaksamaan 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + ... + n 2 ≥ 2 n benar untuk n = k , maka pertidaksamaan tersebutjuga benar untuk n = k + 1 . Untuk n = k diperoleh pertidaksamaan: 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + ... + k 2 ≥ 2 k Diperoleh, Kita tahu bahwa k 2 + k > k 2 untuk k bilangan bulat positif. Sehingga, 1 2 + 2 2 + 3 2 + ... + k 2 + k + 1 2 ≥ k + 1 2 k 2 + k + 2 > k + 1 2 k 2 + 2 > k + 1 2 k + 2 > k + 1 2 ( k + 1 ) > 2 k + 1 Berdasarkan hal tersebut, n = k + 1 hanya berlaku 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + ... + n 2 > 2 n Berdasarkan langkah 1 dan langkah 2 induksi matematika di atas, maka dari pernyataan 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + ... + n 2 ≥ 2 n untuk semua bilangan bulat positif n ≥ 2 , hanya terbukti bahwa 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + ... + n 2 > 2 n untuk semua bilangan bulat positif n ≥ 2 . Dengan demikian, hanya terbukti bahwa 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + ... + n 2 > 2 n untuk semua bilangan bulat positif n ≥ 2 .

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah hanya terbukti bahwa $\frac{2}{1} + \frac{2}{2} + \frac{2}{3} + \frac{2}{4} + . . . + \frac{2}{n} > 2 n$ untuk semua bilangan bulat positif $n \geq 2$ .

Ingat bahwa suatu ketaksamaan dapat dibuktikan dengan menggunakan induksi matematika. Berikut adalah langkah pembuktiannya.

Langkah 1: Untuk $n = 2$ ,

Ruas kiri:

$\frac{2}{1} + \frac{2}{2} = = = 2 + \frac{2}{2} \cdot \frac{2}{2} 2 + \frac{2 2}{2} 2 + 2$

Ruas kanan:

$22 = 2 + 2$

Jelas bahwa:

$2 + 2 \frac{2}{1} + \frac{2}{2} > > 2 + 2 22$

Untuk $n = 2$ , dapat ditunjukkan bahwa $\frac{2}{1} + \frac{2}{2} + \frac{2}{3} + \frac{2}{4} + ... + \frac{2}{n} > 2 n$ .

Langkah 2: Akan dibuktikan bahwa jika pertidaksamaan

$\frac{2}{1} + \frac{2}{2} + \frac{2}{3} + \frac{2}{4} + ... + \frac{2}{n} \geq 2 n$

benar untuk $n = k$ , maka pertidaksamaan tersebut juga benar untuk $n = k + 1$ .

Untuk $n = k$ diperoleh pertidaksamaan:

$\frac{2}{1} + \frac{2}{2} + \frac{2}{3} + \frac{2}{4} + ... + \frac{2}{k} \geq 2 k$

Diperoleh,

$fraction numerator 2 over denominator square root of 1 end fraction plus fraction numerator 2 over denominator square root of 2 end fraction plus fraction numerator 2 over denominator square root of 3 end fraction plus... plus fraction numerator 2 over denominator square root of k end fraction plus fraction numerator 2 over denominator square root of k plus 1 end root end fraction equals open square brackets fraction numerator 2 over denominator square root of 1 end fraction plus fraction numerator 2 over denominator square root of 2 end fraction plus fraction numerator 2 over denominator square root of 3 end fraction plus... plus fraction numerator 2 over denominator square root of k end fraction close square brackets plus fraction numerator 2 over denominator square root of k plus 1 end root end fraction greater or equal than 2 square root of k plus fraction numerator 2 over denominator square root of k plus 1 end root end fraction greater or equal than 2 square root of k times fraction numerator square root of k plus 1 end root over denominator square root of k plus 1 end root end fraction plus fraction numerator 2 over denominator square root of k plus 1 end root end fraction greater or equal than fraction numerator 2 square root of k open parentheses k plus 1 close parentheses end root plus 2 over denominator square root of k plus 1 end root end fraction greater or equal than fraction numerator 2 square root of k squared plus k end root plus 2 over denominator square root of k plus 1 end root end fraction$

Kita tahu bahwa $k^{2} + k > k^{2}$ untuk $k$ bilangan bulat positif. Sehingga,

$\frac{2}{1} + \frac{2}{2} + \frac{2}{3} + ... + \frac{2}{k} + \frac{2}{k + 1} \geq \frac{2 k ^{2} + k + 2}{k + 1} > \frac{2 k ^{2} + 2}{k + 1} > \frac{2 k + 2}{k + 1} > \frac{2 ( k + 1 )}{k + 1} > 2 k + 1$

Berdasarkan hal tersebut, $n = k + 1$ hanya berlaku

$\frac{2}{1} + \frac{2}{2} + \frac{2}{3} + \frac{2}{4} + ... + \frac{2}{n} > 2 n$

Berdasarkan langkah 1 dan langkah 2 induksi matematika di atas, maka dari pernyataan

$\frac{2}{1} + \frac{2}{2} + \frac{2}{3} + \frac{2}{4} + ... + \frac{2}{n} \geq 2 n$

untuk semua bilangan bulat positif $n \geq 2$ , hanya terbukti bahwa

$\frac{2}{1} + \frac{2}{2} + \frac{2}{3} + \frac{2}{4} + ... + \frac{2}{n} > 2 n$

untuk semua bilangan bulat positif $n \geq 2$ .

Dengan demikian, hanya terbukti bahwa

$\frac{2}{1} + \frac{2}{2} + \frac{2}{3} + \frac{2}{4} + ... + \frac{2}{n} > 2 n$

untuk semua bilangan bulat positif $n \geq 2$ .

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

3.6 (3 rating)

Ikhsan AFRIANSYAH

Pembahasan terpotong Pembahasan tidak menjawab soal Jawaban tidak sesuai

anggun naibaho

Jawaban tidak sesuai

Pertanyaan serupa

Buktikan masing-masing ketidaksamaan eksponen di bawah ini. a. 2 n ≥ 2 n

0.0

Jawaban terverifikasi

Use mathematical induction to prove: a. 3 n > 2 n for all natural number n .

5.0

Jawaban terverifikasi

Untuk bilangan-bilangan bulat positif n , diketahui pernyataan-pernyataan berikut. 1) 3 n < n ! untuk n > 4 2) 2 n < n 2 untuk Pernyataan yang bernilai benar berdasarkan prinsip indu...

0.0

Jawaban terverifikasi

If n is a positive integer and n < t < n + 1 ,show that n + 1 1 < t 1 .

5.0

Jawaban terverifikasi

Perhatikan pernyataan berikut! 2 n > n 2 untuk setiap bilangan bulat n > 4 . Dengan menggunakan induksi matematika, dapat disimpulkan bahwa ....

2.0

Jawaban terverifikasi