Pertanyaan

Buktikan bahwa persamaan lingkaran luar segitiga yang sisi-sisinya dibentuk dari persamaan garis : 2 x + y − 3 = 0 , 3 x − y − 7 = 0 , dan x − 2 y + 1 = 0 adalah x 2 + y 2 − 5 x − y + 4 = 0 .

Buktikan bahwa persamaan lingkaran luar segitiga yang sisi-sisinya dibentuk dari persamaan garis : $2 x + y - 3 = 0, 3 x - y - 7 = 0, dan x - 2 y + 1 = 0$ adalah $x^{2} + y^{2} - 5 x - y + 4 = 0$ .

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

E. Lestari

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Sebelas Maret

Jawaban terverifikasi

Pembahasan

Pertama tentukan titik potong dari ketiga garis. Titik potong antara garis 2 x + y − 3 = 0 dan 3 x − y − 7 = 0 diperoleh dengan metode eliminasi-substitusi. ( i ) 2 x + y = 3 3 x − y = 7 + 5 x = 10 x = 2 substitusi ke persamaan 1 : 2 ( 2 ) + y = 3 4 + y = 3 y = − 1 → ( 2 , − 1 ) Selanjutnya, titik potong antara garis 2 x + y − 3 = 0 dan x − 2 y + 1 = 0 . ( ii ) 2 x + y = 3 ∣ × 1 ∣ 2 x + y = 3 x − 2 y = − 1 ∣ × 2 ∣ 2 x − 4 y = − 2 − 5 y = 5 y = 1 substitusi ke persamaan ( 1 ) 2 x + 1 = 3 2 x = 2 x = 1 → ( 1 , 1 ) Terakhir titik potong antara garis 3 x − y − 7 = 0 dan x − 2 y + 1 = 0 , ( iii ) 3 x − y = 7 ∣ × 2 ∣ 6 x − 2 y = 14 x − 2 y = − 1 ∣ × 1 ∣ x − 2 y = − 1 − 5 x = 15 x = 3 substitusi ke persamaan 1 : 3 ( 3 ) − y = 7 9 − y = 7 y = 2 → ( 3 , 2 ) Diperoleh titik potong ketiga garis tersebut adalah ( 2 , − 1 ) , ( 1 , 1 ) , ( 3 , 2 ) . Karena lingkaran merupakan lingkaran luar segitiga, maka lingkaran melalui titik-titik potong dari ketiga garis tersebut. Substitusi ketiga titik ke persamaan umum lingkaran, diperoleh x 2 + y 2 + A x + B y + C ( 2 , − 1 ) → 2 2 + ( − 1 ) 2 + A ( 2 ) + B ( − 1 ) + C 2 A − B + C 1 2 + 1 2 + A ( 1 ) + B ( 1 ) + C A + B + C 3 2 + 2 2 + A ( 3 ) + B ( 2 ) + C 3 A + 2 B + C = = = = = = = 0 0 − 5... ( 1 ) 0 − 2... ( 2 ) 0 − 13... ( 3 ) Selanjutnya gunakan metode eliminasi-substitusi pada persamaan (1) dan (2), 2 A − B + C = − 5 A + B + C = − 2 − A − 2 B = − 3... ( 4 ) Eliminasi persamaan (1) dan (3) diperoleh 2 A − B + C = − 5 3 A + 2 B + C = − 13 − − A − 3 B = 8... ( 5 ) Eliminasi persamaan (4) dan (5) yang diperoleh Substitusi nilai B = − 1 ke persamaan (4), A − 2 ( − 1 ) = − 3 A + 2 = − 3 A = − 5 Substitusi nilai B = − 1 dan A = − 5 ke persamaan yang mengandung variabel C , A + B + C = − 2 − 5 − 1 + C = − 2 C = 4 Dengan demikian terbukti persamaan lingkaran tersebut adalah x 2 + y 2 + A x + B y + C x 2 + y 2 − 5 x − y + 4 = = 0 0

Pertama tentukan titik potong dari ketiga garis. Titik potong antara garis $2 x + y - 3 = 0 dan 3 x - y - 7 = 0$ diperoleh dengan metode eliminasi-substitusi.

$(i) 2 x + y = 3 \underline{3 x - y = 7_{+}} 5 x = 10 x = 2 substitusi ke persamaan 1 : 2 (2) + y = 3 4 + y = 3 y = - 1 \to (2, - 1)$

Selanjutnya, titik potong antara garis $2 x + y - 3 = 0 dan x - 2 y + 1 = 0$ .

$(ii) 2 x + y = 3 ∣ \times 1 ∣ 2 x + y = 3 \underline{x - 2 y = - 1 ∣ \times 2 ∣ 2 x - 4 y = - 2_{-}} 5 y = 5 y = 1 substitusi ke persamaan (1) 2 x + 1 = 3 2 x = 2 x = 1 \to (1, 1)$

Terakhir titik potong antara garis $3 x - y - 7 = 0 dan x - 2 y + 1 = 0$ ,

$(iii) 3 x - y = 7 ∣ \times 2 ∣ 6 x - 2 y = 14 \underline{x - 2 y = - 1 ∣ \times 1 ∣ x - 2 y = - 1_{-}} 5 x = 15 x = 3 substitusi ke persamaan 1 : 3 (3) - y = 7 9 - y = 7 y = 2 \to (3, 2)$

Diperoleh titik potong ketiga garis tersebut adalah $(2, - 1), (1, 1), (3, 2)$ . Karena lingkaran merupakan lingkaran luar segitiga, maka lingkaran melalui titik-titik potong dari ketiga garis tersebut. Substitusi ketiga titik ke persamaan umum lingkaran, diperoleh

$x^{2} + y^{2} + A x + B y + C (2, - 1) \to 2^{2} + (- 1)^{2} + A (2) + B (- 1) + C 2 A - B + C 1^{2} + 1^{2} + A (1) + B (1) + C A + B + C 3^{2} + 2^{2} + A (3) + B (2) + C 3 A + 2 B + C = = = = = = = 00 - 5... (1) 0 - 2... (2) 0 - 13... (3)$

Selanjutnya gunakan metode eliminasi-substitusi pada persamaan (1) dan (2),

$2 A - B + C = - 5 \underline{A + B + C = - 2_{-}} A - 2 B = - 3... (4)$

Eliminasi persamaan (1) dan (3) diperoleh

$2 A - B + C = - 5 \underline{3 A + 2 B + C = - 13_{-}} - A - 3 B = 8... (5)$

Eliminasi persamaan (4) dan (5) yang diperoleh

Substitusi nilai $B = - 1$ ke persamaan (4),

$A - 2 (- 1) = - 3 A + 2 = - 3 A = - 5$

Substitusi nilai $B = - 1$ dan $A = - 5$ ke persamaan yang mengandung variabel $C$ ,

$A + B + C = - 2 - 5 - 1 + C = - 2 C = 4$

Dengan demikian terbukti persamaan lingkaran tersebut adalah

$x^{2} + y^{2} + A x + B y + C x^{2} + y^{2} - 5 x - y + 4 = = 00$

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

3.0 (1 rating)

Pertanyaan serupa

Tentukan persamaan lingkaran yang melaluitiga titik berikut ini. a. O ( 0 , 0 ) , P ( − 2 , 4 ) , dan Q ( − 1 , 7 )

5.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui titik A ( − 2 , 1 ) dan B ( 4 , − 3 ) .Jika P ( x , y ) terletak sedemikian hingga ( PA ) 2 + ( PB ) 2 = ( AB ) 2 , P merupakan titik yang terletak pada busur lingkaran yang memotong sumbu X...

4.5

Jawaban terverifikasi

Diketahui tiga titik: P ( − 2 , 7 ) , Q ( 2 , 3 ) , dan R ( 4 , 5 ) . Tunjukkan bahwa PQ tegak lurus QR . Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik P , Q , dan R .

5.0

Jawaban terverifikasi

Sebuah lingkaran yang melalui titik A ( 1 , 5 ) , B ( 4 , 1 ) , serta menyinggung sumbu Y . Jari-jari lingkaran tersebut adalah ....

4.7

Jawaban terverifikasi

Jika jumlah dari jarak kuadrat dari titik P ( x , y ) terhadap titik A ( a , 0 ) dan B ( − a , 0 ) adalah 2 b 2 , tempat kedudukan yang terjadi mempunyai persamaan ....

5.0

Jawaban terverifikasi