Batas-batas nilai k agar (k+2)x2−2kx+(2−k) bernilai positif untuk setiap x∈R adalah ....

Pertanyaan

Batas-batas nilai $\style{font-size:14px}k$ agar $\style{font-size:14px}{(k+2)x^2-2kx+(2-k)}$ bernilai positif untuk setiap $\style{font-size:14px}{x\in\mathbb{R}}$ adalah ....

$Error converting from MathML to accessible text.$
$Error converting from MathML to accessible text.$
$undefined$
$begin mathsize 14px style negative 2 less than straight k less than negative square root of 2 end style$ atau $begin mathsize 14px style straight k greater than square root of 2 end style$
$Error converting from MathML to accessible text.$ atau $Error converting from MathML to accessible text.$

Pembahasan Soal:

Dari $begin mathsize 14px style left parenthesis k plus 2 right parenthesis x squared minus 2 k x plus left parenthesis 2 minus k right parenthesis end style$ didapat $begin mathsize 14px style a equals k plus 2 end style$ , $begin mathsize 14px style b equals negative 2 k end style$ , dan $begin mathsize 14px style c equals 2 minus k end style$ .

Ingat bahwa agar $begin mathsize 14px style left parenthesis k plus 2 right parenthesis x squared minus 2 k x plus left parenthesis 2 minus k right parenthesis end style$ bernilai positif untuk setiap $begin mathsize 14px style x element of straight real numbers end style$ , maka haruslah memenuhi syarat definit positif, yaitu $begin mathsize 14px style a greater than 0 end style$ dan $begin mathsize 14px style D less than 0 end style$ .

Syarat 1: $begin mathsize 14px style a greater than 0 end style$

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row a greater than 0 row cell k plus 2 end cell greater than 0 row k greater than cell negative 2 end cell end table end style$

Syarat 2: $begin mathsize 14px style D less than 0 end style$

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row D less than 0 row cell b squared minus 4 a c end cell less than 0 row cell left parenthesis negative 2 k right parenthesis squared minus 4 left parenthesis k plus 2 right parenthesis left parenthesis 2 minus k right parenthesis end cell less than 0 row cell 4 k squared minus 4 left parenthesis 4 minus k squared right parenthesis end cell less than 0 row cell 4 k squared minus 16 plus 4 k squared end cell less than 0 row cell 8 k squared minus 16 end cell less than 0 end table end style$

Terlebih dahulu, cari nilai $undefined$ dari bentuk di atas dengan menggunakan rumus kuadratik.

$Error converting from MathML to accessible text.$

Didapat pembuat nolnya adalah $begin mathsize 14px style k equals square root of 2 end style$ atau $begin mathsize 14px style k equals negative square root of 2 space end style$ .

Perhatikan garis bilangan berikut!

Karena tanda pertidaksamaannya adalah $begin mathsize 14px style less than end style$ , maka pilih daerah yang bernilai negatif, yaitu $begin mathsize 14px style negative square root of 2 less than k less than square root of 2 end style$ .

Dari syarat $begin mathsize 14px style a greater than 0 end style$ dan $begin mathsize 14px style D less than 0 end style$ , didapat batas-batas nilai $undefined$ sebagai berikut.

$begin mathsize 14px style k greater than negative 2 end style$

$undefined$

Oleh karena itu, didapat garis bilangan sebagai berikut.

Dengan demikian, batas-batas nilai $undefined$ agar $begin mathsize 14px style left parenthesis k plus 2 right parenthesis x squared minus 2 k x plus left parenthesis 2 minus k right parenthesis end style$ bernilai positif untuk setiap $begin mathsize 14px style x element of straight real numbers end style$ adalah $undefined$ .

Jadi, jawaban yang tepat adalah C.

Pembahasan terverifikasi oleh Roboguru

Dijawab oleh:

T. Alawiyah

Mahasiswa/Alumni Universitas Jenderal Soedirman

Terakhir diupdate 04 Oktober 2021

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

Pertanyaan yang serupa

Batas-batas nilai k agar bernilai negatif untuk setiap x∈R adalah .....

Pembahasan Soal:

Dari $begin mathsize 14px style left parenthesis k minus 1 right parenthesis x squared plus k x plus left parenthesis k minus 5 right parenthesis equals 0 end style$ , didapat $begin mathsize 14px style a equals k minus 1 end style$ , $begin mathsize 14px style b equals k end style$ , dan $begin mathsize 14px style c equals k minus 5 end style$ .

Ingat bahwa agar $size 14px y size 14px equals size 14px left parenthesis size 14px k size 14px minus size 14px 1 size 14px right parenthesis size 14px x to the power of size 14px 2 size 14px plus size 14px k size 14px x size 14px plus size 14px left parenthesis size 14px k size 14px minus size 14px 5 size 14px right parenthesis$ bernilai negatif untuk setiap $begin mathsize 14px style x element of straight real numbers end style$ , maka haruslah memenuhi syarat definit negatif, yaitu $begin mathsize 14px style a less than 0 end style$ dan $begin mathsize 14px style D less than 0 end style$ .

Syarat 1: $undefined$

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row a less than cell 0 space end cell row cell k minus 1 end cell less than cell 0 space end cell row k less than 1 end table end style$

Syarat 2: $undefined$

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row D less than 0 row cell b squared minus 4 a c end cell less than 0 row cell k squared minus 4 left parenthesis k minus 1 right parenthesis left parenthesis k minus 5 right parenthesis end cell less than 0 row cell k squared minus 4 left parenthesis k squared minus 6 k plus 5 right parenthesis end cell less than 0 row cell k squared minus 4 k squared plus 24 k minus 20 end cell less than 0 row cell negative 3 k squared plus 24 k minus 20 end cell less than 0 end table end style$

Terlebih dahulu, kita cari nilai $begin mathsize 14px style k end style$ dari bentuk di atas dengan menggunakan rumus kuadratik.

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell k subscript 1 , 2 end subscript end cell equals cell fraction numerator negative b plus-or-minus square root of b squared minus 4 a c end root over denominator 2 a end fraction end cell row cell k subscript 1 , 2 end subscript end cell equals cell fraction numerator negative 24 plus-or-minus square root of 24 squared minus 4 left parenthesis negative 3 right parenthesis left parenthesis negative 20 right parenthesis end root over denominator 2 left parenthesis negative 3 right parenthesis end fraction end cell row cell k subscript 1 , 2 end subscript end cell equals cell fraction numerator negative 24 plus-or-minus square root of 576 minus 240 end root over denominator negative 6 end fraction end cell row cell k subscript 1 , 2 end subscript end cell equals cell fraction numerator negative 24 plus-or-minus square root of 336 over denominator negative 6 end fraction end cell row cell k subscript 1 , 2 end subscript end cell equals cell fraction numerator negative 24 plus-or-minus 4 square root of 21 over denominator negative 6 end fraction end cell row cell k subscript 1 , 2 end subscript end cell equals cell 4 minus-or-plus fraction numerator 2 square root of 21 over denominator 3 end fraction end cell end table end style$

Didapat pembuat nolnya adalah $begin mathsize 14px style k equals 4 minus fraction numerator 2 square root of 21 over denominator 3 end fraction end style$ atau $begin mathsize 14px style k equals 4 plus fraction numerator 2 square root of 21 over denominator 3 end fraction end style$ .

Perhatikan garis bilangan berikut!

Karena tanda pertidaksamaannya adalah $begin mathsize 14px style less than end style$ , maka pilih daerah yang bernilai negatif, yaitu $undefined$ atau $undefined$ .

Dari syarat $begin mathsize 14px style a less than 0 end style$ dan $begin mathsize 14px style D less than 0 end style$ , didapat batas-batas nilai $begin mathsize 14px style k end style$ sebagai berikut.

$begin mathsize 14px style k less than 1 end style$

$undefined$

Oleh karena itu, didapat garis bilangan sebagai berikut.

Dengan demikian, batas-batas nilai $begin mathsize 14px style k end style$ agar $size 14px y size 14px equals size 14px left parenthesis size 14px k size 14px minus size 14px 1 size 14px right parenthesis size 14px x to the power of size 14px 2 size 14px plus size 14px k size 14px x size 14px plus size 14px left parenthesis size 14px k size 14px minus size 14px 5 size 14px right parenthesis$ bernilai negatif untuk setiap $begin mathsize 14px style x element of straight real numbers end style$ adalah $undefined$ .

Jadi, jawaban yang tepat adalah C.

Roboguru

Bilangan bulat terbesar p sehingga x2−5x−p>0 untuk setiap x∈R adalah ....

Pembahasan Soal:

Dari bentuk kuadrat $begin mathsize 14px style x squared minus 5 x minus p end style$ didapat $begin mathsize 14px style a equals 1 end style$ , $begin mathsize 14px style b equals negative 5 end style$ , dan $begin mathsize 14px style c equals negative p end style$ .

Perhatikan bahwa jika $begin mathsize 14px style x squared minus 5 x minus p greater than 0 end style$ untuk setiap $begin mathsize 14px style x element of straight real numbers end style$ , maka bentuk kuadrat tersebut merupakan bentuk definit positif.

Ingat bahwa syarat fungsi definit positif adalah $begin mathsize 14px style a greater than 0 end style$ dan $begin mathsize 14px style D less than 0 end style$ .

Perhatikan bahwa untuk syarat $begin mathsize 14px style a greater than 0 end style$ sudah terpenuhi, karena $begin mathsize 14px style a equals 1 greater than 0 end style$ .

Oleh karena itu, kita perhatikan syarat $begin mathsize 14px style D less than 0 end style$ sebagai berikut.

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row D less than 0 row cell b squared minus 4 a c end cell less than 0 row cell open parentheses negative 5 close parentheses squared minus 4 open parentheses 1 close parentheses open parentheses negative p close parentheses end cell less than 0 row cell 25 plus 4 p end cell less than 0 row cell 4 p end cell less than cell negative 25 end cell row p less than cell negative 25 over 4 end cell row p less than cell negative 6 1 fourth end cell end table end style$

Perhatikan bahwa himpunan bilangan bulat $undefined$ yang memenuhi $begin mathsize 14px style p less than negative 6 1 fourth end style$ adalah $begin mathsize 14px style open curly brackets... comma negative 10 comma negative 9 comma negative 8 comma negative 7 close curly brackets end style$ .

Dengan demikian, bilangan bulat terbesar $undefined$ sehingga $begin mathsize 14px style x squared minus 5 x minus p greater than 0 end style$ untuk setiap $begin mathsize 14px style x element of straight real numbers end style$ adalah $begin mathsize 14px style negative 7 end style$ .

Jadi, jawaban yang tepat adalah B.

Roboguru

Bilangan bulat terkecil p sehingga x2−7x+p>0 untuk setiap x∈R adalah ....

Pembahasan Soal:

Dari bentuk kuadrat $begin mathsize 14px style x squared minus 7 x plus p end style$ didapat $undefined$ , $begin mathsize 14px style b equals negative 7 end style$ , dan $begin mathsize 14px style c equals p end style$ .

Karena $begin mathsize 14px style x squared minus 7 x plus p greater than 0 end style$ untuk setiap $undefined$ , maka bentuk kuadrat tersebut merupakan bentuk definit positif.

Ingat bahwa syarat fungsi definit positif adalah $undefined$ dan $undefined$ .

Perhatikan bahwa untuk syarat $undefined$ sudah terpenuhi, karena $undefined$ .

Oleh karena itu, kita perhatikan syarat $undefined$ sebagai berikut.

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row D less than 0 row cell b squared minus 4 a c end cell less than 0 row cell open parentheses negative 7 close parentheses squared minus 4 open parentheses 1 close parentheses open parentheses p close parentheses end cell less than 0 row cell 49 minus 4 p end cell less than 0 row cell negative 4 p end cell less than cell negative 49 space open parentheses divided by open parentheses negative 4 close parentheses close parentheses end cell row p greater than cell 49 over 4 end cell row p greater than cell 12 1 fourth end cell end table end style$

Perhatikan bahwa himpunan bilangan buat $undefined$ yang memenuhi $begin mathsize 14px style p greater than 12 1 fourth end style$ adalah $begin mathsize 14px style open curly brackets 13 comma space 14 comma space 15 comma space 16 comma space... close curly brackets end style$ .

Dengan demikian, bilangan bulat terkecil $undefined$ sehingga $begin mathsize 14px style x squared minus 7 x plus p greater than 0 end style$ untuk setiap $undefined$ adalah 13.

Jadi, jawaban yang tepat adalah C.

Roboguru

Penyelesaian dari pertidaksamaan x2−2x+3>0 adalah ....

Pembahasan Soal:

Diketahui pertidaksamaan $begin mathsize 14px style x squared minus 2 x plus 3 greater than 0 end style$ .

Perhatikan bahwa $begin mathsize 14px style x squared minus 2 x plus 3 end style$ tidak dapat difaktorkan secara langsung. Oleh karena itu, coba perhatikan nilai diskriminannya.

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row D equals cell left parenthesis negative 2 right parenthesis squared minus 4 left parenthesis 1 right parenthesis left parenthesis 3 right parenthesis end cell row blank equals cell 4 minus 12 end cell row blank equals cell negative 8 less than 0 end cell end table end style$

Karena koefisien $undefined$ bernilai positif dan $begin mathsize 14px style D end style$ bernilai negatif, maka bentuk kuadrat tersebut definit positif. Akibatnya, $begin mathsize 14px style x squared minus 2 x plus 3 end style$ bernilai positif untuk setiap nilai $undefined$ .

Oleh karena itu, didapat garis bilangan sebagai berikut.

Karena tanda pertidaksamaannya adalah $begin mathsize 14px style greater than end style$ , maka pilih daerah yang bernilai positif.

Perhatikan bahwa dalam garis bilangan di atas, semua bertanda positif.

Dengan demikian, penyelesaian dari pertidaksamaan $begin mathsize 14px style italic x squared minus sign 2 italic x plus 3 greater than 0 end style$ adalah $undefined$ .

Jadi, jawaban yang tepat adalah A.

Roboguru

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan (3x2−7x−2)(x2+x+5)≥0 adalah ....

Pembahasan Soal:

Diketahui pertidaksamaan $begin mathsize 14px style left parenthesis 3 italic x squared minus sign 7 italic x minus sign 2 right parenthesis left parenthesis italic x squared plus italic x plus 5 right parenthesis greater or equal than 0 end style$ .

Perhatikan bahwa $begin mathsize 14px style 3 x squared minus 7 x minus 2 end style$ tidak dapat difaktorkan secara langsung. Oleh karena itu, coba perhatikan nilai diskriminannya.

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row D equals cell left parenthesis negative 7 right parenthesis squared minus 4 left parenthesis 3 right parenthesis left parenthesis negative 2 right parenthesis end cell row blank equals cell 49 plus 24 end cell row blank equals cell 73 greater than 0 end cell end table end style$

Karena $undefined$ , maka $begin mathsize 14px style 3 x squared minus 7 x minus 2 end style$ memiliki akar-akar real, namun sulit untuk difaktorkan. Oleh karena itu, kita cari akar-akarnya dengan menggunakan rumus kuadratik.

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell x subscript 1 , 2 end subscript end cell equals cell fraction numerator negative b plus-or-minus square root of D over denominator 2 a end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator negative left parenthesis negative 7 right parenthesis plus-or-minus square root of 73 over denominator 2 left parenthesis 3 right parenthesis end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 7 plus-or-minus square root of 73 over denominator 6 end fraction end cell end table end style$

Didapat pembuat nolnya adalah $begin mathsize 14px style x equals fraction numerator 7 plus square root of 73 over denominator 6 end fraction end style$ atau $begin mathsize 14px style x equals fraction numerator 7 minus square root of 73 over denominator 6 end fraction end style$ .

Selanjutnya, perhatikan bahwa $begin mathsize 14px style x squared plus x plus 5 end style$ juga tidak dapat difaktorkan secara langsung. Oleh karena itu, coba perhatikan nilai diskriminannya.

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row D equals cell left parenthesis 1 right parenthesis squared minus 4 left parenthesis 1 right parenthesis left parenthesis 5 right parenthesis end cell row blank equals cell 1 minus 20 end cell row blank equals cell negative 19 less than 0 end cell end table end style$

Karena koefisien $undefined$ bernilai positif dan $undefined$ bernilai negatif, maka bentuk kuadrat tersebut definit positif. Akibatnya, $begin mathsize 14px style italic x squared plus italic x plus 5 end style$ bernilai positif untuk setiap nilai $begin mathsize 14px style italic x element of real numbers end style$ .

Perhatikan garis bilangan berikut!

Karena tanda pertidaksamaannya adalah $undefined$ , maka pilih daerah yang bernilai positif atau nol.

Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut adalah $begin mathsize 14px style open curly brackets x left enclose x less or equal than fraction numerator 7 minus square root of 73 over denominator 6 end fraction end enclose space atau space x greater or equal than fraction numerator 7 plus square root of 73 over denominator 6 end fraction comma space x element of straight real numbers close curly brackets end style$ .

Jadi, jawaban yang tepat adalah E.

Roboguru