Ayo, membuktikan Teorema Sisa 4! Sisa pembagian polinomial f ( x ) oleh ( x − k 1 ) ( x − k 2 ) adalah s ( x ) = k 1 − k 2 x − k 2 × f ( k 1 ) + k 2 − k 1 x − k 1 × f ( k 2 ) . Bukti: Misalkan polinomal dibagi memberikan hasil bagi h ( x ) dan sisa s ( x ) = m x + n . Polinomial dapat dituliskan sebagai berikut. f ( x ) = ( x − k 1 ) ( x − k 2 ) h ( x ) + m x + ... Untuk x = k 1 : f ( k 1 ) = = = = ( k 1 − k 1 ) ( k 1 − k 2 ) h ( k 1 ) + m k 1 + n 0 × ( k 1 − k 2 ) X h ( k 1 ) + ... + n ... + m k 1 + n m k 1 + ... ...(1) Untuk x = k 2 : f ( k 2 ) = = = = ( k 2 − k 1 ) ( k 2 − k 2 ) h ( k 2 ) + m k 2 + n ( k 2 − ... ) × 0 × h ( ... ) + m k 2 + n ... + m k 2 + n ... + n ...(2) Eliminasi n pada persamaan (1) dan (2). f ( k 1 ) − ... = m ( k 1 − k 2 ) ⇔ m = k 1 − k 2 ... − f ( k 2 ) Jumlahkan persamaan (1) dan (2) untuk memperoleh nilai n . f ( k 1 ) + f ( k 2 ) = m ( k 1 + k 2 ) + ... ⇔ 2 n = f ( k 1 ) + ... − m ( k 1 + ... ) ⇔ 2 n = ... + f ( k 2 ) − k 1 − k 2 f ( k 1 ) − f ( k 2 ) ( k 1 + k 2 ) ⇔ 2 n = k 1 − k 2 ( f ( k 1 ) + ... ) ( k 1 − k 2 ) − ( ... − f ( k 2 )) ( k 1 + k 2 ) ⇔ 2 n = k 1 − k 2 2 k 1 f ( k 2 ) − ... ⇔ n = k 1 − k 2 ... − k 2 f ( k 1 ) Substitusikan nilai m dan ke diperoleh: s ( x ) = k 1 − k 2 f ( k 1 ) − f ( k 2 ) x + k 1 − k 2 k 1 f ( k 2 ) − k 2 f ( k 1 ) = x f ( k 1 ) − x f ( k 2 ) + ... − k 2 f ( k 2 ) = k 1 − k 2 ( x − k 2 ) f ( k 1 ) + ( ... − x ) f ( k 2 ) = k 1 − k 2 ( x − ... ) f ( k 1 ) + k 1 − k 2 ( k 1 − x ) f ( k 2 ) = k 1 − k 2 x − k 2 × f ( k 1 ) + k 1 − k 2 x − k 1 × f ( k 2 ) ( terbukti )

Question

Ayo, membuktikan Teorema Sisa 4!

Sisa pembagian polinomial $f (x)$ oleh $(x - k_{1}) (x - k_{2})$ adalah $s (x) = \frac{x - k _{2}}{k _{1} - k _{2}} \times f (k_{1}) + \frac{x - k _{1}}{k _{2} - k _{1}} \times f (k_{2})$ .

Bukti:
Misalkan polinomal dibagi memberikan hasil bagi $h (x)$ dan sisa $s (x) = m x + n$ .
Polinomial dapat dituliskan sebagai berikut.
$f (x) = (x - k_{1}) (x - k_{2}) h (x) + m x + ...$

Untuk $x = k_{1}$ : $f (k_{1}) = = = = (k_{1} - k_{1}) (k_{1} - k_{2}) h (k_{1}) + m k_{1} + n 0 \times (k_{1} - k_{2}) X h (k_{1}) + ... + n ... + m k_{1} + n m k_{1} + ...$ ...(1)

Untuk $x = k_{2}$ : $f (k_{2}) = = = = (k_{2} - k_{1}) (k_{2} - k_{2}) h (k_{2}) + m k_{2} + n (k_{2} - ...) \times 0 \times h (...) + m k_{2} + n ... + m k_{2} + n ... + n$ ...(2)
Eliminasi n pada persamaan (1) dan (2).

$f (k_{1}) - ... = m (k_{1} - k_{2})$

$\Leftrightarrow m = \frac{... - f ( k _{2} )}{k _{1} - k _{2}}$

Jumlahkan persamaan (1) dan (2) untuk memperoleh nilai $n$ .

$f (k_{1}) + f (k_{2}) = m (k_{1} + k_{2}) + ...$

$\Leftrightarrow 2 n = f (k_{1}) + ... - m (k_{1} + ...) \Leftrightarrow 2 n = ... + f (k_{2}) - \frac{f ( k _{1} ) - f ( k _{2} )}{k _{1} - k _{2}} (k_{1} + k_{2}) \Leftrightarrow 2 n = \frac{( f ( k _{1} ) + ... ) ( k _{1} - k _{2} ) - ( ... - f ( k _{2} )) ( k _{1} + k _{2} )}{k _{1} - k _{2}} \Leftrightarrow 2 n = \frac{2 k _{1} f ( k _{2} ) - ...}{k _{1} - k _{2}} \Leftrightarrow n = \frac{... - k _{2} f ( k _{1} )}{k _{1} - k _{2}}$

Substitusikan nilai $m$ dan ke diperoleh:

$s (x) = \frac{f ( k _{1} ) - f ( k _{2} )}{k _{1} - k _{2}} x + \frac{k _{1} f ( k _{2} ) - k _{2} f ( k _{1} )}{k _{1} - k _{2}} = x f ( k _{1} ) - x f ( k _{2} ) + ... - k _{2} f ( k _{2} ) = \frac{( x - k _{2} ) f ( k _{1} ) + ( ... - x ) f ( k _{2} )}{k _{1} - k _{2}} = \frac{( x - ... ) f ( k _{1} )}{k _{1} - k _{2}} + \frac{( k _{1} - x ) f ( k _{2} )}{k _{1} - k _{2}} = \frac{x - k _{2}}{k _{1} - k _{2}} \times f (k_{1}) + \frac{x - k _{1}}{k _{1} - k _{2}} \times f (k_{2}) (terbukti)$

Pembahasan

Pertanyaan serupa