Pertanyaan

Apabila persamaan sisi-sisi persegi ABCD adalah x + y = 1 , x + y = 2 , x − y = 0 dan x − y = 1 , tentukan persamaan lingkaran melalui titik-titik sudut persegi ABCD itu.

Apabila persamaan sisi-sisi persegi ABCD adalah $x + y = 1, x + y = 2, x - y = 0 dan x - y = 1$ , tentukan persamaan lingkaran melalui titik-titik sudut persegi ABCD itu. $\;\;$

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

E. Lestari

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Sebelas Maret

Jawaban terverifikasi

Jawaban

persamaan lingkaran melalui titik-titik sudut persegi ABCD adalah x 2 + y 2 − 2 x − y + 1 = 0 .

persamaan lingkaran melalui titik-titik sudut persegi ABCD adalah

x^{2} + y^{2} - 2 x - y + 1 = 0

. $\;\;$

Pembahasan

Ingat beberapa konsep berikut, Persamaan lingkaran yang melalui titik pusat ( a , b ) dan jari-jari r adalah ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 Titik pusat lingkaran yang melalui titik ( x a , y a ) dan ( x b , y b ) adalah Tp = ( 2 x a + x b , 2 y a + y b ) Jari-jari lingkaran yang melalui titik ( x a , y a ) dan ( x b , y b ) adakah r = 2 1 ( x b − x a ) 2 + ( y b − y a ) 2 Diketahui : x + y = 1...... ( 1 ) x + y = 2...... ( 2 ) x − y = 0...... ( 3 ) x − y = 1...... ( 4 ) Ditanya : persamaan lingkaran Jawab : Eliminasi persamaan ( 1 ) dan ( 4 ) x x + − y y 2 y y = = = = 1 1 0 0 − Setelah didapat nilai y = 0 , selanjutnya kita dapat mencari nilai x dengan mensubtitusikan nilai y ke persamaan x + y = 1 . x + y x + 0 x = = = 1 1 1 Didapat persamaan lingkaran tersebutmelalui titik A ( 1 , 0 ) , Eliminasi persamaan ( 2 ) dan ( 3 ) x x + − y y 2 y y = = = = 2 0 2 1 − Setelah didapat nilai y = 1 , selanjutnya kita dapat mencari nilai x dengan mensubtitusikan nilai y ke persamaan x + y = 2 . x + y x + 1 x = = = 2 2 1 Didapat persamaan lingkaran tersebut melalui titik B ( 1 , 1 ) . Dikarenakan persamaan tersebut melalui titik A ( 1 , 0 ) dan B ( 1 , 1 ) ,kita dapat menentukan titik pusat dan jari-jari lingkaran sebagai berikut, Tp = ( 2 x a + x b , 2 y a + y b ) Tp = ( 2 1 + 1 , 2 0 + 1 ) Tp = ( 1 , 2 1 ) r = 2 1 ( x b − x a ) 2 + ( y b − y a ) 2 r = 2 1 ( 1 − 1 ) 2 + ( 0 − 1 ) 2 r = 2 1 0 2 + ( − 1 ) 2 r = 2 1 0 + 1 r = 2 1 ( 1 ) r = 2 1 Dikarenakan persamaan lingkaran melalui titik pusat ( 1 , 2 1 ) dan r = 2 1 , maka diperoleh persamaan lingkaran sebagai berikut ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 ( x − 1 ) 2 + ( y − 2 1 ) 2 x 2 − 2 x + 1 + y 2 − y + 4 1 x 2 + y 2 − 2 x − y + 1 + 4 1 − 4 1 x 2 + y 2 − 2 x − y + 1 = = = = = r 2 ( 2 1 ) 2 4 1 0 0 Dengan demikian,persamaan lingkaran melalui titik-titik sudut persegi ABCD adalah x 2 + y 2 − 2 x − y + 1 = 0 .

Ingat beberapa konsep berikut,

Persamaan lingkaran yang melalui titik pusat $(a, b)$ dan jari-jari $r$ adalah

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$

Titik pusat lingkaran yang melalui titik $(x_{a}, y_{a}) dan (x_{b}, y_{b})$ adalah

$Tp = (\frac{x _{a} + x _{b}}{2}, \frac{y _{a} + y _{b}}{2})$

Jari-jari lingkaran yang melalui titik $(x_{a}, y_{a}) dan (x_{b}, y_{b})$ adakah

$r = \frac{1}{2} (x_{b} - x_{a})^{2} + (y_{b} - y_{a})^{2}$

Diketahui :

$x + y = 1...... (1) x + y = 2...... (2) x - y = 0...... (3) x - y = 1...... (4)$

Ditanya : persamaan lingkaran

Jawab :

Eliminasi persamaan $(1) dan (4)$

$x x + - y y 2 y y = = = = 1100 -$

Setelah didapat nilai $y = 0$ , selanjutnya kita dapat mencari nilai $x$ dengan mensubtitusikan nilai $y$ ke persamaan $x + y = 1$ .

$x + y x + 0 x = = = 111$

Didapat persamaan lingkaran tersebut melalui titik $A (1, 0)$ ,

Eliminasi persamaan $(2) dan (3)$

$x x + - y y 2 y y = = = = 2021 -$

Setelah didapat nilai $y = 1$ , selanjutnya kita dapat mencari nilai $x$ dengan mensubtitusikan nilai $y$ ke persamaan $x + y = 2$ .

$x + y x + 1 x = = = 221$

Didapat persamaan lingkaran tersebut melalui titik $B (1, 1)$ .

Dikarenakan persamaan tersebut melalui titik $A (1, 0)$ dan $B (1, 1)$ , kita dapat menentukan titik pusat dan jari-jari lingkaran sebagai berikut,

$Tp = (\frac{x _{a} + x _{b}}{2}, \frac{y _{a} + y _{b}}{2}) Tp = (\frac{1 + 1}{2}, \frac{0 + 1}{2}) Tp = (1, \frac{1}{2})$

$r = \frac{1}{2} (x_{b} - x_{a})^{2} + (y_{b} - y_{a})^{2} r = \frac{1}{2} (1 - 1)^{2} + (0 - 1)^{2} r = \frac{1}{2} 0^{2} + (- 1)^{2} r = \frac{1}{2} 0 + 1 r = \frac{1}{2} (1) r = \frac{1}{2}$

Dikarenakan persamaan lingkaran melalui titik pusat $(1, \frac{1}{2})$ dan $r = \frac{1}{2}$ , maka diperoleh persamaan lingkaran sebagai berikut

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} (x - 1)^{2} + (y - \frac{1}{2})^{2} x^{2} - 2 x + 1 + y^{2} - y + \frac{1}{4} x^{2} + y^{2} - 2 x - y + 1 + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} x^{2} + y^{2} - 2 x - y + 1 = = = = = r^{2} (\frac{1}{2})^{2} \frac{1}{4} 00$