Pertanyaan

Akar-akar persamaan x 3 − 12 x 2 + 28 x + p = 0 adalah x 1 , x 2 , dan x 3 . Jika x 1 = x 2 + x 3 , hitunglah nilai p dan carilah akar-akarnya.

Akar-akar persamaan $x^{3} - 12 x^{2} + 28 x + p = 0$ adalah $x_{1}$ , $x_{2}$ , dan $x_{3}$ . Jika $x_{1} = x_{2} + x_{3}$ , hitunglah nilai p dan carilah akar-akarnya.

A. Acfreelance

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

nilai p adalah dan akar-akar polinomial tersebut adalah , , dan .

nilai p adalah

dan akar-akar polinomial tersebut adalah

, dan

Pembahasan

Diketahui: Dengan menerapkan rumus jumlah akar-akar polinomial berderajat tiga, diperoleh: Substitusi persamaan (1) ke (2): Nilai merupakan salah satu akar persamaan suku banyak. Akar-akar yang lain diperoleh dengan metode Horner dengan pembagi . Berdasarkan Teorema Faktor, apabila merupakan akar suku banyak, maka sisanya bernilai nol sehingga diperoleh: Akar-akar yang lain dapat ditentukan sebagai berikut. Jadi, nilai p adalah dan akar-akar polinomial tersebut adalah , , dan .

Diketahui:

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell x subscript 1 end cell equals cell x subscript 2 plus x subscript 3 space space... space left parenthesis 1 right parenthesis end cell row cell x cubed minus 12 x squared plus 28 x plus p end cell equals 0 row a equals 1 row b equals cell negative 12 end cell row c equals 28 row d equals p end table

Dengan menerapkan rumus jumlah akar-akar polinomial berderajat tiga, diperoleh:

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell x subscript 1 plus x subscript 2 plus x subscript 3 end cell equals cell negative b over a end cell row cell x subscript 1 plus x subscript 2 plus x subscript 3 end cell equals cell negative fraction numerator open parentheses negative 12 close parentheses over denominator 1 end fraction end cell row cell x subscript 1 plus x subscript 2 plus x subscript 3 end cell equals cell 12 space... space left parenthesis 2 right parenthesis end cell end table$

Substitusi persamaan (1) ke (2):

Nilai x subscript 1 equals 6 merupakan salah satu akar persamaan suku banyak.

Akar-akar yang lain diperoleh dengan metode Horner dengan pembagi x equals 6 .

Berdasarkan Teorema Faktor, apabila x subscript 1 equals 6 merupakan akar suku banyak, maka sisanya bernilai nol sehingga diperoleh:

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell p minus 48 end cell equals 0 row p equals 48 end table

Akar-akar yang lain dapat ditentukan sebagai berikut.

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell x squared minus 6 x minus 8 end cell equals 0 row a equals 1 row b equals cell negative 6 end cell row c equals cell negative 8 end cell row cell x subscript 2 comma 3 end subscript end cell equals cell fraction numerator negative b plus-or-minus square root of b squared minus 4 a c end root over denominator 2 a end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator negative open parentheses negative 6 close parentheses plus-or-minus square root of open parentheses negative 6 close parentheses squared minus 4 open parentheses 1 close parentheses open parentheses negative 8 close parentheses end root over denominator 2 open parentheses 1 close parentheses end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 6 plus-or-minus square root of 36 plus 32 end root over denominator 2 end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 6 plus-or-minus square root of 68 over denominator 2 end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 6 plus-or-minus 2 square root of 17 over denominator 2 end fraction end cell row blank equals cell 3 plus-or-minus square root of 17 end cell end table$

Jadi, nilai p adalah dan akar-akar polinomial tersebut adalah , 3 plus square root of 17 , dan 3 minus square root of 17 .

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

3.7 (4 rating)

Pertanyaan serupa

Akar-akar persamaan 2 x 3 + 10 x 2 − 8 x + 2 = 0 adalah x 1 , x 2 dan x 3 . Tentukan x 1 + x 2 + x 3 !

5.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui akar-akar polinomial 3 x 3 + 2 x 2 − 8 x − 5 = 0 adalah x 1 , x 2 , dan x 3 . Maka nilai x 1 ⋅ x 2 + x 1 ⋅ x 3 + x 2 ⋅ x 3 = ...

4.6

Jawaban terverifikasi

Akar-akar persamaan 2 x 3 + 10 x 2 − 8 x + 2 = 0 adalah x 1 , x 2 dan x 3 . Tentukan x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 !

4.6

Jawaban terverifikasi

Diketahui persamaan suku banyak f ( x ) = x 3 + p x 2 + q x + r = 0 dengan p = q + r , mempunyai akar-akar α , β , dan γ . Nilai α 2 + β 2 + γ 2 sama dengan...

5.0

Jawaban terverifikasi

Akar-akar persamaan suku banyak x 3 + 2 x 2 − 5 x − 6 = 0 adalah x 1 , x 2 , dan x 3 . Nilai dari x 1 2 ⋅ x 2 2 + x 1 2 ⋅ x 3 2 + x 2 2 ⋅ x 3 2 adalah...

3.7

Jawaban terverifikasi