Akar-akar kembar dari persamaan kuadrat k x 2 + 2 k x + 4 = 0 merupakan absis titik singgung garis terhadap kurva dengan persamaan y = x 3 + 8 x − 3 . Persamaan garis singgung tersebut adalah...

Pembahasan

Syarat persamaan kuadrat memiliki akar kembar adalah D = 0 . Pada persamaan kuadrat k x 2 + 2 k x + 4 = 0 , diketahui a = k , b = 2 k , c = 4 , sehingga D b 2 − 4 ac ( 2 k ) 2 − 4 ( k ) ( 4 ) 4 k 2 − 16 k k 2 − 4 k k ( k − 4 ) k ​ = = = = = = = ​ 0 0 0 0 0 0 0 atau k = 4 ​ Syarat pada persamaan kuadrat a  = 0 , maka k = 0 ​ . Untuk k = 4 , diperoleh persamaan kuadrat : k x 2 + 2 k x + 4 4 x 2 + 2 ( 4 ) x + 4 x 2 + 2 x + 1 ( x + 1 ) ( x + 1 ) x ​ = = = = = ​ 0 0 ( bagi 4 ) 0 0 − 1 ​ Diperoleh akar kembar tersebut x = − 1 yang merupakan absis titik singgung garis pada kurva y = x 3 + 8 x − 3 . Selanjutnya ingat aplikasi turunan untuk menentukan gradien garis singgung : m = f ′ ( x ) dengan x adalah absis titik singgung. Maka, y f ′ ( x ) m ​ = = = = = = ​ x 3 + 8 x − 3 3 x 2 − 24 x − 4 f ′ ( − 1 ) 3 ( − 1 ) 2 − 24 ( − 1 ) − 4 = 3 ( 1 ) − ( − 1 ) 4 24 ​ 3 − 24 − 21 ​ selanjutnya tentukan ordinat titik singgung: f ( x ) y 1 ​ y 1 ​ ​ = = = = = = ​ x 3 + 8 x − 3 f ( x 1 ​ ) f ( − 1 ) ( − 1 ) 3 + 8 ( − 1 ) − 3 = − 1 + ( − 1 ) 3 8 ​ − 1 − 8 − 9 ​ Sehingga diperoleh persamaan garis singgung kurva: y − y 1 ​ y − ( − 9 ) y + 9 y + 9 21 x + y + 30 ​ = = = = = ​ m ( x − x 1 ​ ) − 21 ( x − ( − 1 )) − 21 ( x + 1 ) − 21 x − 21 0 ​ Jadi, jawaban yang tepat adalah D.