Pertanyaan

P adalah titik potong garis x − 4 y + 4 = 0 dan 2 x + y = 10 . Persamaan lingkaran yang berpusat di P dan menyinggung garis 3 x + 4 y = 0 adalah ....

$P$ adalah titik potong garis $x - 4 y + 4 = 0$ dan $2 x + y = 10$ . Persamaan lingkaran yang berpusat di $P$ dan menyinggung garis $3 x + 4 y = 0$ adalah ....

$x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y - 2 = 0$
$x^{2} + y^{2} + 4 x - 2 y - 2 = 0$
$x^{2} + y^{2} + 4 x + 2 y + 4 = 0$
$x^{2} + y^{2} - 8 x - 4 y + 4 = 0$
$x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y + 4 = 0$

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

E. Lestari

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Sebelas Maret

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang benar adalah D.

Pembahasan

Ingat! Lingkaran yang berpusat di ( a , b ) dan menyinggung garis A x + B y + C = 0 mempunyai jari-jari: r = ∣ ∣ A 2 + B 2 A a + B b + C ∣ ∣ Kita cari koordinat titik P dengan cara eliminasi dan substitusi persamaan x − 4 y + 4 = 0 ⇔ x − 4 y = − 4 dan 2 x + y = 10 yaitu x − 4 y = − 4 2 x + y = 10 ∣ ∣ × 2 × 1 ∣ ∣ 2 x − 8 y = − 8 2 x + y = 10 − − 9 y = − 18 y = − 9 − 18 y = 2 Substitusikan y = 2 ke x − 4 y + 4 = 0 menjadi x − 4 y + 4 x − 4 ⋅ 2 + 4 x − 8 + 4 x − 4 x = = = = = 0 0 0 0 4 Dengan demikian, koordinat titik P adalah ( 4 , 2 ) . Lingkaran yang berpusat di P ( 4 , 2 ) dan menyinggung garis 3 x + 4 y = 0 mempunyai jari-jari: r = = = = = = = ∣ ∣ A 2 + B 2 A a + B b + C ∣ ∣ ∣ ∣ 3 2 + 4 2 3 ⋅ 4 + 4 ⋅ 2 + 0 ∣ ∣ ∣ ∣ 9 + 16 12 + 8 ∣ ∣ ∣ ∣ 25 20 ∣ ∣ ∣ ∣ 5 20 ∣ ∣ ∣ 4 ∣ 4 Jika pusat lingkaran di titik P ( 4 , 2 ) dan berjari-jari 4 , maka persamaan lingkaran tersebut adalah ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 ( x − 4 ) 2 + ( y − 2 ) 2 x 2 − 8 x + 16 + y 2 − 4 y + 4 x 2 + y 2 − 8 x − 4 y + 16 + 4 − 16 x 2 + y 2 − 8 x − 4 y + 4 = = = = = r 2 4 2 16 0 0 Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah D.

Ingat!

Lingkaran yang berpusat di $(a, b)$ dan menyinggung garis $A x + B y + C = 0$ mempunyai jari-jari:

$r = ∣ ∣ \frac{A a + B b + C}{A ^{2} + B ^{2}} ∣ ∣$

Kita cari koordinat titik $P$ dengan cara eliminasi dan substitusi persamaan $x - 4 y + 4 = 0 \Leftrightarrow x - 4 y = - 4$ dan $2 x + y = 10$ yaitu

$\underline{x - 4 y = - 4 2 x + y = 10 ∣ ∣ \times 2 \times 1 ∣ ∣ 2 x - 8 y = - 8 2 x + y = 10} - - 9 y = - 18 y = \frac{- 18}{- 9} y = 2$

Substitusikan $y = 2$ ke $x - 4 y + 4 = 0$ menjadi

$x - 4 y + 4 x - 4 \cdot 2 + 4 x - 8 + 4 x - 4 x = = = = = 00004$

Dengan demikian, koordinat titik $P$ adalah $(4, 2)$ .

Lingkaran yang berpusat di $P (4, 2)$ dan menyinggung garis $3 x + 4 y = 0$ mempunyai jari-jari:

$r = = = = = = = ∣ ∣ \frac{A a + B b + C}{A ^{2} + B ^{2}} ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{3 \cdot 4 + 4 \cdot 2 + 0}{3 ^{2} + 4 ^{2}} ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{12 + 8}{9 + 16} ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{20}{25} ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{20}{5} ∣ ∣ ∣ 4 ∣ 4$

Jika pusat lingkaran di titik $P (4, 2)$ dan berjari-jari $4$ , maka persamaan lingkaran tersebut adalah

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} (x - 4)^{2} + (y - 2)^{2} x^{2} - 8 x + 16 + y^{2} - 4 y + 4 x^{2} + y^{2} - 8 x - 4 y + 16 + 4 - 16 x^{2} + y^{2} - 8 x - 4 y + 4 = = = = = r^{2} 4^{2} 1600$