a. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui tiga titik ( 2 , 2 ) , ( 2 , − 4 ) , dan ( 5 , − 1 ) . b. Buktikan bahwa persamaan lingkaran yang konsentrik dengan lingkaran pada soal a dan melalui titik tengah ( 2 , − 4 ) dan ( 5 , − 1 ) adalah 2 x 2 + 2 y 2 − 8 x + 4 y + 5 = 0

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalahjawaban untuk soal a adalah x 2 + y 2 − 4 x + 2 y − 4 ​ = ​ 0 ​ sedangkan untuk soal b terbukti jika persamaanlingkaran yang konsentrik dengan lingkaran pada soal a dan melalui titik tengah dan adalah 2 x 2 + 2 y 2 − 8 x + 4 y + 1 = 0 . Bentuk umum persamaan lingkaran: x 2 + y 2 + A x + B y + C = 0 dengan A , B , dan C adalah bilangan real. Selanjutnya titik pusatnya adalah ( − 2 A ​ , − 2 B ​ ) dan jari-jari r = 4 A 2 ​ + 4 B 2 ​ − C ​ . Persamaan lingkaran dengan titik pusat ( a , b ) dan jari-jari r driumuskan: ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 Melalui titik ( 2 , 2 ) diperoleh: 2 2 + 2 2 + A ( 2 ) + B ( 2 ) + C 4 + 4 + 2 A + 2 B + C 2 A + 2 B + C + 8 2 A + 2 B + C ​ = = = = ​ 0 0 0 − 8 ... ( 1 ) ​ Melalui titik ( 2 , − 4 ) diperoleh: x 2 + y 2 + A x + B y + C 2 2 + ( − 4 ) 2 + A ( 2 ) + B ( − 4 ) + C 4 + 16 + 2 A − 4 B + C 2 A − 4 B + C + 20 2 A − 4 B + C ​ = = = = = ​ 0 0 0 0 − 20 ... ( 2 ) ​ Melalui titik ( 5 , − 1 ) diperoleh: x 2 + y 2 + A x + B y + C 5 2 + ( − 1 ) 2 + A ( 5 ) + B ( − 1 ) + C 25 + 1 + 5 A − B + C 5 A − B + C + 26 5 A − B + C ​ = = = = = ​ 0 0 0 0 − 26 ... ( 3 ) ​ Eliminasi variabel A dan C dari persamaan ( 1 ) dan ( 2 ) . 2 A 2 A ​ + − ​ 2 B 4 B ​ + + ​ C C ​ = = ​ − 8 − 20 − ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ 6 B B ​ = = ​ 12 2 ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ Substitusikan B = 2 ke persamaan ( 1 ) dan ( 3 ) . 2 A + 2 B + C 2 A + 2 ( 2 ) + C 2 A + 4 + C 2 A + C ​ = = = = ​ − 8 − 8 − 8 − 12 ... ( 4 ) ​ 5 A − B + C 5 A − 2 + C 5 A + C ​ = = = ​ − 26 − 26 − 24 ... ( 5 ) ​ Eliminasi variabel C dari persamaan ( 4 ) dan ( 5 ) . 2 A 5 A ​ + + ​ C C ​ = = ​ − 12 − 24 ​ − ​ ​ ​ ​ − 3 A A ​ = = ​ 12 − 4 ​ Substitusikan A = − 4 dan B = 2 ke persamaan ( 1 ) . 2 A + 2 B + C 2 ( − 4 ) + 2 ( 2 ) + C − 8 + 4 + C C − 4 C ​ = = = = = ​ − 8 − 8 − 8 − 8 − 4 ​ Sehingga diperoleh persamaan lingkaran: x 2 + y 2 + ( − 4 ) x + 2 y + ( − 4 ) x 2 + y 2 − 4 x + 2 y − 4 ​ = = ​ 0 0 ​ b. Titik pusat dan jari-jari pada persamaan lingkaran x 2 + y 2 − 4 x + 2 y − 4 ​ = ​ 0 ​ dapat ditentukan: titik pusat = ( − 2 ( − 4 ) ​ , − 2 2 ​ ) = ( 2 , − 1 ) Persamaan lingkaran dapat dituliskan: ( x − 2 ) 2 + ( y − ( − 1 ) ) 2 ( x − 2 ) 2 + ( y + 1 ) 2 ​ = = ​ r 2 r 2 ​ Selanjutnya titik tengah ( 2 , − 4 ) dan ( 5 , − 1 ) dapat ditentukan: ( x , y ) ​ = = = ​ ( 2 x 1 ​ + x 2 ​ ​ , 2 y 1 ​ + y 2 ​ ​ ) ( 2 2 + 5 ​ , 2 − 4 +− 1 ​ ) ( 2 7 ​ , 2 − 5 ​ ) ​ Substitusikantitik tengah ke persamaan lingkaran ( x + 2 ) 2 + ( y − 1 ) 2 ​ = ​ r 2 ​ . ( x + 2 ) 2 + ( y − 1 ) 2 ( 2 7 ​ − 2 ) 2 + ( 2 − 5 ​ + 1 ) 2 ( 2 7 − 4 ​ ) 2 + ( 2 − 5 + 2 ​ ) 2 ( 2 3 ​ ) 2 + ( 2 − 3 ​ ) 2 4 9 ​ + 4 9 ​ 4 18 ​ r 2 ​ = = = = = = = ​ r 2 r 2 r 2 r 2 r 2 r 2 4 18 ​ = 2 9 ​ ​ Diperoleh persamaan lingkaran berikut. ( x − 2 ) 2 + ( y + 1 ) 2 x 2 − 4 x + 4 + y 2 + 2 y + 1 x 2 + y 2 − 4 x + 2 y + 5 2 x 2 + 2 y 2 − 8 x + 4 y + 10 2 x 2 + 2 y 2 − 8 x + 4 y + 1 ​ = = = = = ​ 2 9 ​ 2 9 ​ 2 9 ​ ( kalikan 2 pada kedua ruas ) 9 0 ​ Terdapat ralat pada soal seharusnya 'Buktikan bahwa persamaan lingkaran yang konsentrik dengan lingkaran pada soal a dan melalui titik tengah ( 2 , − 4 ) dan ( 5 , − 1 ) adalah 2 x 2 + 2 y 2 − 8 x + 4 y + 1 = 0 ' Sehingga apabila persamaan pada soal adalah 2 x 2 + 2 y 2 − 8 x + 4 y + 1 = 0 ,maka terbuktibahwa persamaan lingkaran yang konsentrik dengan lingkaran pada soal a dan melalui titik tengah ( 2 , − 4 ) dan ( 5 , − 1 ) adalah 2 x 2 + 2 y 2 − 8 x + 4 y + 1 = 0 . Dengan demikian jawaban untuk soal a adalah x 2 + y 2 − 4 x + 2 y − 4 ​ = ​ 0 ​ sedangkan untuk soal b terbukti jika persamaanlingkaran yang konsentrik dengan lingkaran pada soal a dan melalui titik tengah ( 2 , − 4 ) dan ( 5 , − 1 ) adalah 2 x 2 + 2 y 2 − 8 x + 4 y + 1 = 0 .