Pertanyaan

Use the method of mathematical induction to prove that, for all positive integers n , ( 1 × 4 ) + ( 2 × 5 ) + ( 3 × 6 ) + ... + n ( n + 3 ) = 3 1 n ( n + 1 ) ( n + 5 )

Use the method of mathematical induction to prove that, for all positive integers $n$ ,

$(1 \times 4) + (2 \times 5) + (3 \times 6) + ... + n (n + 3)$ $= \frac{1}{3} n (n + 1) (n + 5)$

I. Sutiawan

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Pasundan

Jawaban terverifikasi

Jawaban

( 1 × 4 ) + ( 2 × 5 ) + ( 3 × 6 ) + ... + n ( n + 3 ) = 3 1 n ( n + 1 ) ( n + 5 ) adalah pernyataan benar.

(1 \times 4) + (2 \times 5) + (3 \times 6) + ... + n (n + 3)

= \frac{1}{3} n (n + 1) (n + 5)

adalah pernyataan benar.

Pembahasan

Langkah-langkah induksi: Buktikan untuk bilangan 1, pernyataan tersebut benar. Nyatakan untuk bilangan asli sembarang, misalnya , pernyataan tersebut diasumsikan benar. Buktikan untuk bilangan asli pernyataan tersebut juga benar. Maka: Langkah 1: Untuk n = 1 , maka 1 ( 1 + 3 ) 4 4 = = = 3 1 ( 1 ) ( 1 + 1 ) ( 1 + 5 ) 3 1 ( 12 ) 4 Benar untuk n = 1 . Langkah 2: Nyatakan untuk bilangan asli sembarang, misalnya k , pernyataan tersebut diasumsikan benar. ( 1 × 4 ) + ( 2 × 5 ) + ( 3 × 6 ) + ... + k ( k + 3 ) = 3 1 k ( k + 1 ) ( k + 5 ) Langkah 3: Untuk n = k + 1 , maka ( 1 × 4 ) + ( 2 × 5 ) + ( 3 × 6 ) + ... + ( k + 1 ) ( k + 1 ) + 3 ) = 3 1 ( k + 1 ) ( k + 1 ) + 1 ) ( k + 1 ) + 5 ) 3 1 k ( k + 1 ) ( k + 5 ) + ( k + 1 ) ( k + 1 ) + 3 ) 3 ( k 2 + k ) ( k + 5 ) + k 2 + 4 k + k + 4 3 k 3 + 5 k 2 + k 2 + 5 k + k 2 + 5 k + 4 3 k 3 + 6 k 2 + 5 k + 3 k 2 + 15 k + 12 3 k 3 + 9 k 2 + 20 k + 12 3 ( k + 1 ) ( k + 2 ) ( k + 6 ) 3 1 ( k + 1 ) ( k + 1 ) + 1 ) ( k + 1 ) + 5 ) Dengan demikian, ( 1 × 4 ) + ( 2 × 5 ) + ( 3 × 6 ) + ... + n ( n + 3 ) = 3 1 n ( n + 1 ) ( n + 5 ) adalah pernyataan benar.

Langkah-langkah induksi:

Buktikan untuk bilangan 1, pernyataan tersebut benar.
Nyatakan untuk bilangan asli sembarang, misalnya , pernyataan tersebut diasumsikan benar.
Buktikan untuk bilangan asli pernyataan tersebut juga benar.

Maka:

Langkah 1:

Untuk $n = 1$ , maka

$1 (1 + 3) 44 = = = \frac{1}{3} (1) (1 + 1) (1 + 5) \frac{1}{3} (12) 4$

Benar untuk $n = 1$ .

Langkah 2:

Nyatakan untuk bilangan asli sembarang, misalnya $k$ , pernyataan tersebut diasumsikan benar.

$(1 \times 4) + (2 \times 5) + (3 \times 6) + ... + k (k + 3)$ $= \frac{1}{3} k (k + 1) (k + 5)$

Langkah 3:

Untuk $n = k + 1$ , maka

$(1 \times 4) + (2 \times 5) + (3 \times 6) + ... + (k + 1) (k + 1) + 3)$ $= \frac{1}{3} (k + 1) (k + 1) + 1) (k + 1) + 5)$

$\frac{1}{3} k (k + 1) (k + 5) + (k + 1) (k + 1) + 3) \frac{( k ^{2} + k ) ( k + 5 )}{3} + k^{2} + 4 k + k + 4 \frac{k ^{3} + 5 k ^{2} + k ^{2} + 5 k}{3} + k^{2} + 5 k + 4 \frac{k ^{3} + 6 k ^{2} + 5 k + 3 k ^{2} + 15 k + 12}{3} \frac{k ^{3} + 9 k ^{2} + 20 k + 12}{3} \frac{( k + 1 ) ( k + 2 ) ( k + 6 )}{3} \frac{1}{3} (k + 1) (k + 1) + 1) (k + 1) + 5)$

Dengan demikian, $(1 \times 4) + (2 \times 5) + (3 \times 6) + ... + n (n + 3)$ $= \frac{1}{3} n (n + 1) (n + 5)$ adalah pernyataan benar.

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

0.0 (0 rating)

Pertanyaan serupa

Jika x  = 1 , buktikan bahwa: 1 + 2 x + 3 x 2 + ... + n x n − 1 = ( 1 − x ) 2 1 − x n − 1 − x n x n .

5.0

Jawaban terverifikasi

Buktikan masing-masing notasi sigma berikut. c. k = 1 ∑ n ( 5 k − 1 ) = 2 n ( 5 n + 3 )

5.0

Jawaban terverifikasi

Untuk setiap bilangan asli n , diketahui pernyataan-pernyataan sebagai berikut : Menggunakan induksi matematika, pernyataan yang bernilai benar ditunjukkan oleh nomor ....

3.5

Jawaban terverifikasi

Buktikan dengan prinsip induksi matematika. a. k = 1 ∑ n k ( 4 k 2 − 3 ) = 2 ( n 2 + n ) ( 2 n 2 + 2 n − 3 )

5.0

Jawaban terverifikasi

Jika r  = 1 , tunjukan dengan induksi matematika bahwa: 1 + r + r 2 + ... + r n − 1 = r − 1 r n − 1 untuk semua bilangan asli n .

5.0

Jawaban terverifikasi