Pertanyaan

Buktikan dengan prinsip induksi matematika. b. i = 1 ∑ n n 3 [ ( n i ) 2 + 1 ] = 2 n 2 ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) + 3

Buktikan dengan prinsip induksi matematika.

b. $i = 1 \sum n \frac{3}{n} [(\frac{i}{n})^{2} + 1] = \frac{( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{2 n ^{2}} + 3$

I. Sutiawan

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Pasundan

Jawaban terverifikasi

Jawaban

i = 1 ∑ n n 3 [ ( n i ) 2 + 1 ] = 2 n 2 ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) + 3 merupakan pernyataan yang salah.

i = 1 \sum n \frac{3}{n} [(\frac{i}{n})^{2} + 1] = \frac{( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{2 n ^{2}} + 3

merupakan pernyataan yang salah.

Pembahasan

Langkah-langkah induksi: Buktikan untuk bilangan 1, pernyataan tersebut benar. Nyatakan untuk bilangan asli sembarang, misalnya , pernyataan tersebut diasumsikan benar. Buktikan untuk bilangan asli pernyataan tersebut juga benar. Maka: Langkah 1: Untuk , maka 1 3 [ ( 1 1 ) 2 + 1 ] 3 × 2 6 = = = 2 ( 1 ) 2 ( 1 + 1 ) ( 2 ( 1 ) + 1 ) + 3 2 2 × 3 + 3 6 Pernyataan benar untuk . Langkah 2: Nyatakan untuk bilangan asli sembarang, misalnya , pernyataan tersebut diasumsikan benar. sehingga: i = 1 ∑ k k 3 [ ( k i ) 2 + 1 ] = 2 k 2 ( k + 1 ) ( 2 k + 1 ) + 3 Langkah 3: Untuk , maka i = 1 ∑ k + 1 k + 1 3 [ ( k + 1 i ) 2 + 1 ] = 2 ( k + 1 ) 2 ( k + 1 ) + 1 ) ( 2 ( k + 1 ) + 1 ) + 3 Pada tahap ini,Untuk dan n = k memiliki deret yang berbeda, sehingga untuk i = 1 ∑ n n 3 [ ( n i ) 2 + 1 ] = 2 n 2 ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) + 3 tidak dapat dibuktikan. Dengan demikian, i = 1 ∑ n n 3 [ ( n i ) 2 + 1 ] = 2 n 2 ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) + 3 merupakan pernyataan yang salah.

Langkah-langkah induksi:

Buktikan untuk bilangan 1, pernyataan tersebut benar.
Nyatakan untuk bilangan asli sembarang, misalnya , pernyataan tersebut diasumsikan benar.
Buktikan untuk bilangan asli pernyataan tersebut juga benar.

Maka:

Langkah 1:

Untuk n equals 1 , maka

$\frac{3}{1} [(\frac{1}{1})^{2} + 1] 3 \times 2 6 = = = \frac{( 1 + 1 ) ( 2 ( 1 ) + 1 )}{2 ( 1 ) ^{2}} + 3 \frac{2 \times 3}{2} + 3 6$

Pernyataan benar untuk n equals 1 .

Langkah 2:

Nyatakan untuk bilangan asli sembarang, misalnya , pernyataan tersebut diasumsikan benar. sehingga:

$i = 1 \sum k \frac{3}{k} [(\frac{i}{k})^{2} + 1] = \frac{( k + 1 ) ( 2 k + 1 )}{2 k ^{2}} + 3$

Langkah 3:

Untuk n equals k plus 1 , maka

$i = 1 \sum k + 1 \frac{3}{k + 1} [(\frac{i}{k + 1})^{2} + 1] = \frac{( k + 1 ) + 1 ) ( 2 ( k + 1 ) + 1 )}{2 ( k + 1 ) ^{2}} + 3$

Pada tahap ini, Untuk n equals k plus 1 dan $n = k$ memiliki deret yang berbeda, sehingga untuk $i = 1 \sum n \frac{3}{n} [(\frac{i}{n})^{2} + 1] = \frac{( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{2 n ^{2}} + 3$ tidak dapat dibuktikan.

Dengan demikian, $i = 1 \sum n \frac{3}{n} [(\frac{i}{n})^{2} + 1] = \frac{( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{2 n ^{2}} + 3$ merupakan pernyataan yang salah.

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

0.0 (0 rating)

Pertanyaan serupa

Use the method of mathematical induction to prove that, for all positive integers n , ( 1 × 4 ) + ( 2 × 5 ) + ( 3 × 6 ) + ... + n ( n + 3 ) = 3 1 n ( n + 1 ) ( n + 5 )

0.0

Jawaban terverifikasi

Dengan menggunakan induksi matematika, rumus deret 1 + 8 + 27 + 64 + 125 + ⋯ + n 3 adalah ....

3.0

Jawaban terverifikasi

Jika x  = 1 , buktikan bahwa: 1 + 2 x + 3 x 2 + ... + n x n − 1 = ( 1 − x ) 2 1 − x n − 1 − x n x n .

5.0

Jawaban terverifikasi

Buktikan ∑ i = 1 n i ( i + 1 ) = 3 n ( n + 1 ) ( n + 2 ) untuk setiap bilangan asli n !

4.7

Jawaban terverifikasi

Untuk setiap bilangan asli n , diketahui pernyataan-pernyataan sebagai berikut : Menggunakan induksi matematika, pernyataan yang bernilai benar ditunjukkan oleh nomor ....

3.5

Jawaban terverifikasi