Dengan menggunakan induksi matematika, rumus deret 1 + 8 + 27 + 64 + 125 + ⋯ + n 3 adalah ....

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah D. Langkah 1 : Tunjukkan bahwa rumus S ( n ) benar untuk n = 1 , diperoleh : S ( n ) S ( 1 ) ​ = = ​ n 3 1 3 = 1 ( benar ) ​ Untuk ruas kanan kita tunjukkan berlaku benar untuk setiap pilihan jawaban, yaitu : Pilihan A yaitu 2 1 ​ ( 1 ) 2 ( 2 ( 1 ) ) 2 = 2 1 ​ ( 4 ) = 2 ( salah ) Pilihan B yaitu 2 1 ​ ( 1 ) 2 ( 1 + 1 ) 2 = 2 1 ​ ( 2 ) 2 = 2 ( salah ) Pilihan C yaitu 4 1 ​ ( 1 ) 2 ( 2 ( 1 ) ) 2 = 4 1 ​ ( 4 ) = 1 ( benar ) PIlihan D yaitu 4 1 ​ ( 1 ) 2 ( 1 + 1 ) 2 = 4 1 ​ ( 2 ) 2 = 1 ( benar ) Pilihan E yaitu 4 1 ​ ( 1 + 1 ) 2 ( 1 + 2 ) 2 = 4 1 ​ ( 2 ) 2 ( 3 ) 2 = 9 ( salah ) Langkah 2 : Tunjukkan bahwa jika rumus S ( n ) benar untuk n = k , maka rumus S ( n ) juga benar untuk n = k + 1 . Untuk pilihan C yaitu : 1 + 8 + 27 + 64 + 125 + ⋯ + k 3 4 1 ​ k 2 ( 2 k ) 2 1 + 8 + 27 + 64 + 125 + ⋯ + k 3 ​ ​ + ( k + 1 ) 3 4 1 ​ k 2 ( 2 k ) 2 + ( k + 1 ) 3 4 1 ​ 4 k 4 + ( k + 1 ) 3 ​ = = =  = ​ 4 1 ​ k 2 ( 2 k ) 2 4 1 ​ ( k + 1 ) 2 ( 2 ( k + 1 ) ) 2 4 1 ​ ( k + 1 ) 2 ( 2 k + 2 ) 2 4 1 ​ ( k + 1 ) 2 ( 2 k + 2 ) ​ Karena ruas kiri dan ruas kanan tidak sama, maka pilihan C tidak memenuhi. Untuk pilihan D yaitu : 1 + 8 + 27 + 64 + 125 + ⋯ + k 3 4 1 ​ k 2 ( k + 1 ) 2 1 + 8 + 27 + 64 + 125 + ⋯ + k 3 ​ ​ + ( k + 1 ) 3 4 1 ​ k 2 ( k + 1 ) 2 + ( k + 1 ) 3 4 1 ​ k 2 ( k + 1 ) 2 + 4 4 ​ ( k + 1 ) 2 ( k + 1 ) 4 1 ​ ( k + 1 ) 2 ( k 2 + 4 ( k + 1 ) ) 4 1 ​ ( k + 1 ) 2 ( k 2 + 4 k + 4 ) 4 1 ​ ( k + 1 ) 2 ( k + 2 ) 2 ​ = = = = = = = ​ 4 1 ​ k 2 ( k + 1 ) 2 4 1 ​ ( k + 1 ) 2 ( ( k + 1 ) + 1 ) 2 4 1 ​ ( k + 1 ) 2 ( k + 2 ) 2 4 1 ​ ( k + 1 ) 2 ( k + 2 ) 2 4 1 ​ ( k + 1 ) 2 ( k + 2 ) 2 4 1 ​ ( k + 1 ) 2 ( k + 2 ) 2 4 1 ​ ( k + 1 ) 2 ( k + 2 ) 2 ​ Dengan demikian,rumus 1 + 8 + 27 + 64 + 125 + ⋯ + n 3 adalah 4 1 ​ n 2 ( n + 1 ) 2 . Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah D.