Pertanyaan

Untuk α + β + γ = π , tunjukkan bahwa cos α + cos β + cos γ − 1 = 4 sin 2 α ⋅ sin 2 β ⋅ sin 2 γ

Untuk $α + β + γ = π$ , tunjukkan bahwa $cos α + cos β + cos γ - 1 = 4 sin \frac{α}{2} \cdot sin \frac{β}{2} \cdot sin \frac{γ}{2}$

S. Nur

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

terbukti bahwa cos α + cos β + cos γ − 1 = 4 sin 2 α ⋅ sin 2 β ⋅ sin 2 γ

terbukti bahwa

cos α + cos β + cos γ - 1 = 4 sin \frac{α}{2} \cdot sin \frac{β}{2} \cdot sin \frac{γ}{2}

Pembahasan

Ingat bahwa: rumus sudut berelasi cos ( 90 − α ) = sin α sin ( − x ) = − sin x cos ( 18 0 ∘ − α ) = − cos α rumus sudut rangkap padacosinus cos 2 A = = = cos 2 A − sin 2 A 2 cos 2 A − 1 1 − 2 sin 2 A Rumus jumlahdan selisih pada cosinus cos A + cos B = 2 cos 2 1 ( A + B ) cos 2 1 ( A − B ) cos A − cos B = − 2 sin 2 1 ( A + B ) sin 2 1 ( A − B ) Dari soal diketahui α + β + γ α + β γ cos γ sin γ sin 2 γ = = = = = = = = = π π − γ π − ( α + β ) cos ( π − ( α + β ) ) − cos ( α + β ) sin ( π − ( α + β ) ) sin 2 1 ( π − ( α + β ) ) sin ( 2 π − 2 ( α + β ) ) cos ( 2 α + β ) maka cos α + cos β + cos γ − 1 = 2 cos 2 1 ( α + β ) cos 2 1 ( α − β ) + cos ( π − ( α + β ) ) − 1 = 2 cos 2 1 ( α + β ) cos 2 1 ( α − β ) − cos ( α + β ) − 1 = 2 cos 2 1 ( α + β ) cos 2 1 ( α − β ) − ( 2 cos 2 2 1 ( α + β ) − 1 ) − 1 = 2 cos 2 1 ( α + β ) cos 2 1 ( α − β ) − 2 cos 2 2 1 ( α + β ) + 1 − 1 = 2 cos 2 1 ( α + β ) ( cos 2 1 ( α − β ) − cos 2 1 ( α + β ) ) = 2 cos 2 1 ( α + β ) ( − 2 sin 2 1 ( 2 α − β + α + β ) sin 2 1 ( 2 α − β − α − β ) ) = 2 cos 2 1 ( α + β ) ( − 2 sin 2 1 α sin − 2 1 β ) = 2 cos 2 1 ( α + β ) ( 2 sin 2 α sin 2 β ) = 4 sin ( 2 π − ( 2 α + β ) ) ( sin 2 α sin 2 β ) = 4 sin 2 γ sin 2 α sin 2 β = 4 sin 2 α sin 2 β sin 2 γ ( terbukti ) Dengan demikian terbukti bahwa cos α + cos β + cos γ − 1 = 4 sin 2 α ⋅ sin 2 β ⋅ sin 2 γ

Ingat bahwa:

rumus sudut berelasi

$cos (90 - α) = sin α$

$sin (- x) = - sin x$

$cos (18 0^{\circ} - α) = - cos α$

rumus sudut rangkap pada cosinus

$cos 2 A = = = cos^{2} A - sin^{2} A 2 cos^{2} A - 1 1 - 2 sin^{2} A$

Rumus jumlah dan selisih pada cosinus

$cos A + cos B = 2 cos \frac{1}{2} (A + B) cos \frac{1}{2} (A - B) cos A - cos B = - 2 sin \frac{1}{2} (A + B) sin \frac{1}{2} (A - B)$

Dari soal diketahui

$α + β + γ α + β γ cos γ sin γ sin \frac{γ}{2} = = = = = = = = = π π - γ π - (α + β) cos (π - (α + β)) - cos (α + β) sin (π - (α + β)) sin \frac{1}{2} (π - (α + β)) sin (\frac{π}{2} - \frac{( α + β )}{2}) cos (\frac{α + β}{2})$

maka

$cos α + cos β + cos γ - 1 = 2 cos \frac{1}{2} (α + β) cos \frac{1}{2} (α - β) + cos (π - (α + β)) - 1 = 2 cos \frac{1}{2} (α + β) cos \frac{1}{2} (α - β) - cos (α + β) - 1 = 2 cos \frac{1}{2} (α + β) cos \frac{1}{2} (α - β) - (2 cos^{2} \frac{1}{2} (α + β) - 1) - 1 = 2 cos \frac{1}{2} (α + β) cos \frac{1}{2} (α - β) - 2 cos^{2} \frac{1}{2} (α + β) + 1 - 1 = 2 cos \frac{1}{2} (α + β) (cos \frac{1}{2} (α - β) - cos \frac{1}{2} (α + β)) = 2 cos \frac{1}{2} (α + β) (- 2 sin \frac{1}{2} (\frac{α - β + α + β}{2}) sin \frac{1}{2} (\frac{α - β - α - β}{2})) = 2 cos \frac{1}{2} (α + β) (- 2 sin \frac{1}{2} α sin - \frac{1}{2} β) = 2 cos \frac{1}{2} (α + β) (2 sin \frac{α}{2} sin \frac{β}{2}) = 4 sin (\frac{π}{2} - (\frac{α + β}{2})) (sin \frac{α}{2} sin \frac{β}{2}) = 4 sin \frac{γ}{2} sin \frac{α}{2} sin \frac{β}{2} = 4 sin \frac{α}{2} sin \frac{β}{2} sin \frac{γ}{2} (terbukti)$