Pertanyaan

Untuk 0 ∘ ≤ x ≤ 36 0 ∘ , tentukan himpunan penyelesaiandari persamaan trigonometri di bawah ini : 3 sin x + 5 cos x + 5 = 0

Untuk $0^{\circ} \leq x \leq 36 0^{\circ}$ , tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri di bawah ini :

$3 sin x + 5 cos x + 5 = 0$

S. Nur

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

himpunan penyelesaiannya adalah { 18 0 ∘ , 241 , 9 2 ∘ } .

himpunan penyelesaiannya adalah

{18 0^{\circ}, 241, 9 2^{\circ}}

Pembahasan

Ingat : R cos ( x − α ) = a cos x + b sin x , dengan R = a 2 + b 2 dan α = tan − 1 ( a b ) tan ( π + α ) = tan α Penyelesaian persamaan a cos x + b sin x = c , ∣ c ∣ ∈ R : x = α ± cos − 1 ( R c ) + k ⋅ 36 0 ∘ , k ∈ bilangan bulat Diketahui dari soal : 3 sin x + 5 cos x + 5 3 sin x + 5 cos x − 3 sin x − 5 cos x = = = 0 − 5 5 Karena ( − 3 , − 5 ) di kuadran ketiga maka α juga di kuadran ketiga.Perhatikan gambar : dimana α = π + θ θ α = = tan − 1 ( a b ) = tan − 1 ( 5 3 ) = 30 , 9 6 ∘ π + θ = 18 0 ∘ + 30 , 9 6 ∘ = 210 , 9 6 ∘ Berdasarkan konsep di atas maka diperoleh : R cos ( x − α ) 3 sin x + 5 cos x R R = = = = a cos x + b sin x R cos ( x − α ) a 2 + b 2 3 2 + 5 2 = 9 + 25 = 34 Sehingga diperoleh persamaan 34 cos ( x − 210 , 9 6 ∘ ) = 5 . Diperoleh penyelesaian sebagai berikut : 34 cos ( x − 210 , 9 6 ∘ ) cos ( x − 210 , 9 6 ∘ ) x − 210 , 9 6 ∘ x x 1 x 2 cos − 1 ( 34 5 ) u n t u k k x 1 x 2 = = = = = = = = = = 5 34 5 cos − 1 ( 34 5 ) α ± cos − 1 ( R c ) + k ⋅ 36 0 ∘ 210 , 9 6 ∘ + cos − 1 ( 34 5 ) + k ⋅ 36 0 ∘ 210 , 9 6 ∘ − cos − 1 ( 34 5 ) + k ⋅ 36 0 ∘ 30 , 9 6 ∘ 0 : 210 , 9 6 ∘ + 30 , 9 6 ∘ = 241 , 9 2 ∘ 210 , 9 6 ∘ − 30 , 9 6 ∘ = 18 0 ∘ Dengan demikian, himpunan penyelesaiannya adalah { 18 0 ∘ , 241 , 9 2 ∘ } .

Ingat :

$R cos (x - α) = a cos x + b sin x, dengan R = a^{2} + b^{2} dan α = tan^{- 1} (\frac{b}{a})$
$tan (π + α) = tan α$
Penyelesaian persamaan $a cos x + b sin x = c, ∣ c ∣ \in R$ :

$x = α \pm cos^{- 1} (\frac{c}{R}) + k \cdot 36 0^{\circ}, k \in bilangan bulat$

Diketahui dari soal :

$3 sin x + 5 cos x + 5 3 sin x + 5 cos x - 3 sin x - 5 cos x = = = 0 - 5 5$

Karena $(- 3, - 5)$ di kuadran ketiga maka $α$ juga di kuadran ketiga. Perhatikan gambar :

dimana $α = π + θ$

$θ α = = tan^{- 1} (\frac{b}{a}) = tan^{- 1} (\frac{3}{5}) = 30, 9 6^{\circ} π + θ = 18 0^{\circ} + 30, 9 6^{\circ} = 210, 9 6^{\circ}$

Berdasarkan konsep di atas maka diperoleh :

$R cos (x - α) 3 sin x + 5 cos x R R = = = = a cos x + b sin x R cos (x - α) a^{2} + b^{2} 3^{2} + 5^{2} = 9 + 25 = 34$

Sehingga diperoleh persamaan $34 cos (x - 210, 9 6^{\circ}) = 5$ . Diperoleh penyelesaian sebagai berikut :

$34 cos (x - 210, 9 6^{\circ}) cos (x - 210, 9 6^{\circ}) x - 210, 9 6^{\circ} x x_{1} x_{2} cos^{- 1} (\frac{5}{34}) u n t u k k x_{1} x_{2} = = = = = = = = = = 5 \frac{5}{34} cos^{- 1} (\frac{5}{34}) α \pm cos^{- 1} (\frac{c}{R}) + k \cdot 36 0^{\circ} 210, 9 6^{\circ} + cos^{- 1} (\frac{5}{34}) + k \cdot 36 0^{\circ} 210, 9 6^{\circ} - cos^{- 1} (\frac{5}{34}) + k \cdot 36 0^{\circ} 30, 9 6^{\circ} 0 : 210, 9 6^{\circ} + 30, 9 6^{\circ} = 241, 9 2^{\circ} 210, 9 6^{\circ} - 30, 9 6^{\circ} = 18 0^{\circ}$